模拟卷02 高二期末模拟卷-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

高二数学期末模拟卷（二） 范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、统计概率 时间:120分钟 满分:150分 姓名 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京·期中）下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京·期中）设数列的前项和为．若，，则（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 4．（2025·北京昌平·二模）设函数．已知，且当时，的最小值为4，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高一上·广东佛山·期中）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 9．（2025高三·北京·专题练习）设，则下列结论不正确的是（ ） A． B．若，则的最小值为4 C． D． 10．（24-25高二下·北京·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．（24-25高二下·北京怀柔·期中）从这5人中选出4人，其中不相邻，则不同的安排方法有 种． 12．（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 13．（24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 14．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为 . 15．（20-21高二下·北京通州·期末）已知变量和变量的一组随机观测数据，，，，.如果关于的经验回归方程是，那么当时，残差等于 . 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（24-25高二下·北京·期中）已知函数的极值点构成数列(). (1)求； (2)求证：数列是等差数列； (3)求数列的前项和. 17．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间， (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 18．（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 19．（2025·北京·模拟预测）在中，，，______. 从①，②，③，这三个条件中选一个，补充在上面问题中，使存在并作答： (1)求； (2)求c以及的值. 20．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极值. (1)求实数、的值； (2)求函数在区间上的取值范围. 21．（20-21高二下·北京通州·期末）某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价（单位：万元/吨）和一天的销量吨）的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图. 0.33 10 3 0.164 100 68 350 表中. （Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个更适合作为关于的经验回归方程；（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立关于的经验回归方程； （Ⅲ）若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据（Ⅱ）的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？ （经验回归方程中，，） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学期末模拟卷（二） 范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、统计概率 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为或， 又， 所以. 故选：A. 2．下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知的最小正周期为，的最小正周期为； 而的最小正周期为，的最小正周期为. 故选：D 3．设数列的前项和为．若，，则（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，当时， 所以，即， 所以， 又，所以， 由，则，由，则，由，则， 由，则. 故选：B 4．设函数．已知，且当时，的最小值为4，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】因为的值域为，， 所以当函数值同时取最大值或最小值时，满足. 因为的最小值为4，所以函数的周期. 所以. 因为，所以. 又，所以，所以. 故选：C. 5．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，选项AC不满足； 当时，，此时恒成立，B不满足，D符合题意. 故选：D 6．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递增， 所以，对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 8．已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】A 【详解】求导得，则， 解得：或， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极小值， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极大值，故舍去， 故选：A. 9．设，则下列结论不正确的是（ ） A． B．若，则的最小值为4 C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，因为指数函数单调递增， ，即，故A正确； 对于B，， 等号成立条件，由于，显然等式不成立，故最大值比0小， 所以最小值不可能为4，故B错误； 对于C，由已知，，，即，故C正确； 对于D，，因为幂函数单调递增，，即，故D正确， 故选：B. 10．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项，根据对立事件概率公式，已知，则，所以选项正确. 对于选项 ，根据条件概率公式：.已知，，则，所以选项正确. 对于选项，因为，且，所以. 已知，，则，所以选项正确. 对于选项，根据概率的加法公式：. 已知，，，则，所以选项错误. 故选：D. 二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．从这5人中选出4人，其中不相邻，则不同的安排方法有 种． 【答案】84 【详解】解：从这5人中选出4人，其中A，B不相邻， 先在这5人中选出4人进行全排，然后减去相邻的情况即可， 即不同的安排方法有种． 故答案为： 12．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 【答案】1012 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 14．已知函数，则的图象在处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由题设，则，所以，， 则的图象在处的切线方程为，即. 故答案为： 15．已知变量和变量的一组随机观测数据，，，，.如果关于的经验回归方程是，那么当时，残差等于 . 【答案】 【详解】由已知条件可知：当时，观测值为， 将代入回归方程可得， 所以残差等于， 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知函数的极值点构成数列(). (1)求； (2)求证：数列是等差数列； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 因此是函数的极小值点，且是唯一极值点，则， 所以. （2）由（1）知，数列的通项公式为，则， 而， 所以数列是等差数列. （3）由（2）知，，则， ， 则， 两式相减，得， 所以. 17．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间， (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，则，， 所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为； （2）函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. （3）由（2）可知，当时在上单调递增，， 所以当，恒成立，符合题意； 当时， 若，即时在上单调递增，， 所以当，恒成立，符合题意； 若，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，不符合题意； 综上，当时，对任意的，恒成立，即实数的取值范围为. 18．某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【详解】（1）设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于．由频率分布直方图可知A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为， 所以． （2）B地区评分为的样本用户共有人， 其中评分不低于的人数为5人． 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则X的数学期望 （3）． 根据频率分布直方图A地区评分的平均值为， B地区评分的平均值为，所以A，B两地区评分的平均值； 19．在中，，，______. 从①，②，③，这三个条件中选一个，补充在上面问题中，使存在并作答： (1)求； (2)求c以及的值. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【详解】（1）选择①，在中，由，得，而，则，矛盾， 所以这样的不存在. 选择②，由及正弦定理得， 则，于是，解得， 所以. 选择③，，而， 则，即， 又，所以， 故. （2）选择②，由余弦定理得， 即，而，解得， 所以. 选择③，， 由正弦定理，则， 所以. 20．已知函数在处取得极值. (1)求实数、的值； (2)求函数在区间上的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由，得. 又当时，有极值，所以，解得. 所以， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以当时，有极小值，所以，. （2）由（1）知，， 令，得，， 、的值随的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为， 即在上的取值范围为. 21．某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价（单位：万元/吨）和一天的销量吨）的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图. 0.33 10 3 0.164 100 68 350 表中. （Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个更适合作为关于的经验回归方程；（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立关于的经验回归方程； （Ⅲ）若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据（Ⅱ）的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？ （经验回归方程中，，） 【答案】（Ⅰ）更适合；（Ⅱ）；（Ⅲ）每吨定价为万元时，该产品一天的销售利润最大，最大利润是万元. 【详解】（Ⅰ）根据散点图可知，更适合作为关于的经验回归方程； （Ⅱ）令，则， 所以， 所以， 所以， 故关于的经验回归方程为， （Ⅲ）一天的利润为 ， 当且仅当即时等号成立， 所以预计每吨定价为万元时，该产品一天的销售利润最大，最大利润是万元 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$