暑假作业11 正余弦定理的应用（巩固培优）高一数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 正余弦定理的应用 解三角形应用问题的步骤： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．某班同学利用课外实践课，测量两地之间的距离，在处测得两地之间的距离是4千米，两地之间的距离是6千米，且，则两地之间的距离是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：A 2．一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 【答案】D 【分析】由题意画出图形，结合余弦定理求解即可. 【详解】记轮船初始位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示． 则，，所以在中，由余弦定理得，所以． 故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里． 故选：D. 3．如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理求解即可 【详解】因为，故，由正弦定理，，故m 故选：D 4．在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为，卫星高度角为，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直角三角形的定义的应用求出结果． 【详解】解：如图所示，设，， 由于， 所以在中，． 在中，， 所以，解得， 所以 故选：B． 【点睛】本题考查解三角形的应用，本题是直角三角形，只要利用直角三角形中边角关系即可求解． 5．位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．20海里 【答案】B 【分析】根据题设画出示意图，利用余弦定理可得. 【详解】根据题意，画出示意图如下， 由余弦定理得 . 所以，则乙船航行的距离为海里. 故选：B. 6．下列四个命题： 函数的最大值为1； “，”的否定是“”； 若为锐角三角形，则有； “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件． 其中错误的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断. 【详解】解：由,得的最大值为,故错误; “,”的否定是“”,故正确; 为锐角三角形,,则， 在上是增函数,,同理可得，,,故正确; ,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴, 可得函数在区间内单调递增; 若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得, , “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确． 其中错误的个数是1. 故选:A. 【点睛】本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题． 7．如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走a km到达C处，这时他离出发点A的距离为km，那么的值可以是（    ）    A．1 B． C． D．2 【答案】AD 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】如图，       由条件可知 根据余弦定理可知，， 所以，解得或. 故选：AD. 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的面积是 D．是钝角三角形 【答案】CD 【分析】A选项，根据，求出，得到，由正弦定理推导出；B选项，计算出，从而得到；C选项，先求出，从而求出，利用面积公式进行求解；D选项，根据，得到A为钝角. 【详解】当时，， 显然， 由正弦定理得：， 所以，与已知矛盾，故A错误； 因为，所以不妨设， 故， 所以，B错误； 当时，，则， 因为，所以，故，C正确； 因为，所以A为钝角，故是钝角三角形,D正确. 故选：CD 9．在△ABC 中，若，则△ABC的形状是 . 【答案】钝角三角形 【分析】由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得可判断的取值范围 【详解】解：， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得 是钝角三角形 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题 10．如图，在梯形中，，，，，，，均为锐角，则对角线 . 【答案】25 【分析】过点作交于点，连接BD，在中，利用余弦定理求得，在中，再利用余弦定理即可的解. 【详解】解：过点作交于点，连接BD， 则，，. 在中，由余弦定理得， 在中，，解得. 故答案为：25. 11．如图，在中，已知，是边上的一点，，，. （1）求的面积； （2）求边的长. 【答案】（1）；（2） 【详解】分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长． 详解：（1）在中，由余弦定理得 ， ∵为三角形的内角， ，     ， ． （2）在中，， 由正弦定理得： ∴． 点睛：解三角形时首先要确定所要解的三角形，在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用． 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则是 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．对角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】分析：由利用余弦定理列可得为负值，角为钝角，可得三角形为钝角三角形. 详解：因为 所以可得， 再由余弦定理列可得 ， ， 为钝角， 为钝角三角形，故选A. 点睛：本题主要考查利用正弦定理、判断三角形形状问题，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 2．在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【详解】如图，在中，设,      因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以. 故选：D. 3．的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为直角或等腰三角形 C．若为非直角三角形，则 D．若，，则面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理即可判断A；利用正弦定理化边为角，化简整理即可判断B；根据两角和的正切公式及三角形内角和定理化简即可判断C；利用余弦定理结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，若，，，则， 因为，所以， 所以或， 又，所以，即仅有一解，故A错误； 对于B，因为， 由正弦定理可得， 又，所以，即， 所以，所以或， 所以或， 所以为直角或等腰三角形，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，若，， 则，即， 当且仅当时，取等号， 所以， 所以面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 4．设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】法一：由的几何意义借助三角形面积公式即可求解；法二：设，由正弦定理求得，再结合新定义即可求解. 【详解】    设，则，因为与的夹角为 如图由向量减法法则可知，已知一边长，其对角为， 设，则由余弦定理得， 由基本不等式得，所以，即，当且仅当时取等号， 因为，即的几何意义即为三角形面积的两倍， 所以 所以的最大值为； 【法二】    设，，则，因为与的夹角为 则 由正弦定理可知 ． 当时，取得最大值，所以的最大值为， 故答案为： 5．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，求A，B两点间的距离（参考数据：，，结果取整数）． 【答案】193海里 【分析】作于D，由题意解直角三角形，即可求得答案. 【详解】如图，作于D，则为等腰直角三角形， ，故, 又， 故A，B两点间的距离（海里）. 已知函数. （1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的值； （2）的内角、、的对边分别为、、，若，，求的最小值. 【答案】（1）当时，函数取最大值；（2）最小值为. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值； （2）由结合角的取值范围可求得角的值，再利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）函数 ， ，所以，， 当时，即当时，函数取最大值； （2）由题意，化简得， ，，，解得. 在中，根据余弦定理，得. 由，知，即， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为. 【点睛】方法点睛：求三角形边的最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 正余弦定理的应用 解三角形应用问题的步骤： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．某班同学利用课外实践课，测量两地之间的距离，在处测得两地之间的距离是4千米，两地之间的距离是6千米，且，则两地之间的距离是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 3．如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为，卫星高度角为，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（    ） A． B． C． D． 5．位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．20海里 6．下列四个命题： 函数的最大值为1； “，”的否定是“”； 若为锐角三角形，则有； “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件． 其中错误的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走a km到达C处，这时他离出发点A的距离为km，那么的值可以是（    ）    A．1 B． C． D．2 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，下列结论正确的是（    ） A． B． 9．在△ABC 中，若，则△ABC的形状是 . 10．如图，在梯形中，，，，，，，均为锐角，则对角线 . 11．如图，在中，已知，是边上的一点，，，. （1）求的面积； （2）求边的长. 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则是 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．对角三角形 D．等边三角形 2．在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 3．的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为直角或等腰三角形 C．若为非直角三角形，则 D．若，，则面积的最大值为 4．设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为 ． 5．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，求A，B两点间的距离（参考数据：，，结果取整数）． 已知函数. （1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的值； （2）的内角、、的对边分别为、、，若，，求的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$