暑假作业09 三角恒等变换的应用（巩固培优）高一数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 三角恒等变换的应用 1．两角和与差正切公式的变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－＝－1. 2．降幂公式：sinαcosα＝sin2α，cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝. 3．升幂公式：1－cosα＝2sin2，1＋cosα＝2cos2，1±sinα＝. 4．其他常用变形 sin2α＝＝， cos2α＝＝， tan＝＝. 5．半角公式 (1)sin＝±； (2)cos＝±； (3)tan＝±＝＝. 注：此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（     ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．若，为锐角.则（    ） A． B． C． D． 6．若，其中，，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B． C．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 D．函数与函数为同一个函数 8．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若，，则 ． 10．若＝2，则tan＝ . 四、解答题 11．已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2.5倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．1倍 C．倍 D．倍 二、多选题 3．下列各式中，值为的是（    ） A．2sin15°cos15° B．2sin215°-1 C． D． 三、填空题 4．已知，则 . 四、解答题 5．若，求的值． 6．如图，在中，，在中，，，，三点共线，于点，. （1）若，求； （2）求的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 三角恒等变换的应用 1．两角和与差正切公式的变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－＝－1. 2．降幂公式：sinαcosα＝sin2α，cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝. 3．升幂公式：1－cosα＝2sin2，1＋cosα＝2cos2，1±sinα＝. 4．其他常用变形 sin2α＝＝， cos2α＝＝， tan＝＝. 5．半角公式 (1)sin＝±； (2)cos＝±； (3)tan＝±＝＝. 注：此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简，再用同角关系变形求值即可． 【详解】由，可得，平方可得，所以． 所以． 故选：A. 2．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和为，顶角为，则底角，再有诱导公式即可求解． 【详解】设等腰三角形的顶角为，底角为，则.又， 即， 故选B. 【点睛】本题考查三角诱导公式，需熟记公式． 3．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换和同角三角函数关系得到，利用凑角法和正切差角公式求出答案. 【详解】因为，所以且， 所以， 又，所以. 故选：C 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值． 【详解】解：因为，所以 则，则， 故选：C 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 5．若，为锐角.则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，结合两角差余弦公式及已知条件求值即可. 【详解】由，为锐角，得，则 . 故选：A. 6．若，其中，，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】经过换元，二倍公式，降幂公式得到，然后利用正弦函数的有界性求出最值 【详解】设， 所以，即， 所以， 所以， 因为，所以， 将方程两边除以得， 所以， 令，， 所以， 其中，又， 所以， 则的最大值为. 故选：D 二、多选题 7．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B． C．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 D．函数与函数为同一个函数 【答案】AC 【分析】A选项，指数式化为对数式，结合换底公式和对数运算法则得到A正确；B选项，利用诱导公式和三角恒等变换，特殊角三角函数值得到答案；C选项，先求出扇形半径，利用扇形面积公式求出答案；D选项，解不等式，求出两函数定义域，得到D错误. 【详解】A选项，，故， 所以，A正确； B选项，，则 ，B错误； C选项，设扇形半径为，其中弧长为2，圆心角为， 则，该扇形的面积为，C正确； D选项，令，解得，的定义域为， 令，解得或，故的定义域为， 两函数定义域不同，D错误. 故选：AC 8．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二倍角的正余弦公式结合两角和的正弦公式化简，即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；先求出，再根据两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数的关系即可判断C；由C选项即可判断D. 【详解】对于A，由， 得，即， 所以， 所以， 所以或（舍去），故A正确； 对于B，由， 得， 即， 所以，故B正确； 对于C，由A选项得， 所以， 即，又， 所以（舍去），故C错误； 对于D，由C选项知，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．若，，则 ． 【答案】 【分析】应用切化弦与二倍角公式化简可得结果. 【详解】∵，   ∴，   ∴， 又∵，∴，∴， ∴，    ∴，   ∴， 故答案为：. 10．若＝2，则tan＝ . 【答案】 【分析】根据弦切互化可得，由正切的二倍角公式可得，进而利用正切的和角公式即可代入求值. 【详解】，解得， 所以，故 故答案为： 四、解答题 11．已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】（1），（2），时 【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解； （2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故的最小正周期； （2）由可得，， 当得即时，函数取得最小值．所以，时 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式进行三角恒等变形，即可求解. 【详解】等式左侧； 等式右侧， 即，解得． 故选：A. 2．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2.5倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．1倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【分析】由题意可得，，再根据结合两角差的正切公式即可得解. 【详解】由题意可得，， 所以， 即第二次的“晷影长”是“表高”的倍. 故选：A. 二、多选题 3．下列各式中，值为的是（    ） A．2sin15°cos15° B．2sin215°-1 C． D． 【答案】CD 【分析】A、B应用二倍角正余弦公式化简求值；C、D根据同角三角函数的商数关系及平方关系、二倍角正余弦及正切公式化简求值. 【详解】A：2sin15°cos15°，不合题设； B：2sin215°-1，不合题设； C：，符合题设； D：，符合题设. 故选：CD 三、填空题 4．已知，则 . 【答案】 【分析】利用两角和的余弦公式化简，再将含的三角函数弦化切，通过变形即可求出. 【详解】因为， 所以 ， 得， 所以， 则 . 故答案为：. 四、解答题 5．若，求的值． 【答案】 【分析】由已知条件，根据两角差的正切公式先求出，再由二倍角公式求出，最后由两角差的正切公式即可求解. 【详解】解：因为，， 所以， 所以， 又， 所以. 6．如图，在中，，在中，，，，三点共线，于点，. （1）若，求； （2）求的最小值. 【答案】（1）2；（2）. 【分析】（1）根据，及，求得，然后在中，由余弦定理求解. （2）设，则，在中，，，，然后由正弦定理得到，再化简转化为求解. 【详解】（1）由，及得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. （2）设，则， 在中，，，， 由正弦定理得， 所以 . 当，即时取等号. 所以的最小值为. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了辅助角法以及运算求解的能力，属于中档题. / 学科网（北京）股份有限公司 $$