暑假作业12 数列中的递推（巩固培优）高二数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 数列中的递推 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列{an}的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．已知数列满足关系：，，则（    ） A． B． C． D． 2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数:1，1，2，3，5，….其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.已知数列为“斐波那契数列”，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．39 3．已知，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D．n 4．数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．分形几何学是数学家伯努瓦-曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.记图2中第行黑圈的个数为，若，则（    ） A．5 B．6 C． D． 6．已知正项数列满足，设，当最小时，的值为 A．3 B． C．5 D． 二、多选题 7．已知数列中，，能使的n可以为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 三、填空题 8．已知数列中，，，则其第3项为 ． 9．若数列满足，若，则 的值为 . 四、解答题 10．在数列{an}中，an＝. （1）求数列的第7项； （2）求证：此数列的各项都在区间(0,1)内； （3）区间内有没有数列中的项？若有，有几项？ 一、单选题 1．已知数列，，，则（    ） A． B．2 C． D．1 2．已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题 3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数都是1，从第三项起每一个数是前面两个数的和，人们把这样的数组成的数列叫斐波那契数列，并将数列中各项除以4所得的余数按照原来的顺序组成的数列记为，则下列结论正确的是（    ） A．b2021＝1 B． C． D． 4．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数x，y都有，若数列的前n项和为，且满足，则下列正确的是（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 5．数列的通项，则数列中的最大项的值为 . 四、解答题 6．已知，且，． （1）求函数的表达式； （2）已知数列的项满足，试求，，，并猜想数列的通项公式（不需要证明）． 7．图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母表示．如图所示，边长为1的正三角形被层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为时，等圆的半径为，．图中给出等于1，2，10时的覆盖情形． （Ⅰ）写出，的值，并求数列的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%． （参考数据：，） / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 数列中的递推 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列{an}的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．已知数列满足关系：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用递推关系式依次倒序求值. 【详解】已知，， 则，解得， 则 ，解得， 故选：C. 2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数:1，1，2，3，5，….其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.已知数列为“斐波那契数列”，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．39 【答案】C 【分析】写出的前8项，进而可得. 【详解】由斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，知. 故选：C 3．已知，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D．n 【答案】D 【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 【详解】由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：D． 4．数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的递推关系式确定数列的周期性，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，，…… 则该数列的周期为， 所以. 故选：C. 5．分形几何学是数学家伯努瓦-曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.记图2中第行黑圈的个数为，若，则（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得出，代入初始值，利用递推，即可求得的值. 【详解】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数，由于每个白圈产生下一行的1个白圈1个黑圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈， 所以， 又，，， ， ， ，， ， ，所以. 故选:C. 6．已知正项数列满足，设，当最小时，的值为 A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由已知得，也即，可由基本不等式求得取最值的条件，从而可得选项. 【详解】由得，则０，，当且仅当时取得最小值，此时. 故选：B. 二、多选题 7．已知数列中，，能使的n可以为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】AD 【分析】通过计算找到数列的周期即可得出所求的答案． 【详解】由，，得：，，， 所以数列是周期为3的数列，所以， 故选：AD． 三、填空题 8．已知数列中，，，则其第3项为 ． 【答案】 【分析】根据递推公式及求出，进而求出，得到. 【详解】因为，所以， 故，所以. 故答案为： 9．若数列满足，若，则 的值为 . 【答案】 【分析】通过列举法,可以根据数列的前几项确定数列的周期,再根据周期即可求得. 【详解】解：因为数列中，满足 所以 所以数列是以3为周期的周期数列 所以 故答案为: 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用,周期数列的简单应用,属于中档题. 四、解答题 10．在数列{an}中，an＝. （1）求数列的第7项； （2）求证：此数列的各项都在区间(0,1)内； （3）区间内有没有数列中的项？若有，有几项？ 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）有且只有1项，为． 【分析】（1）令代入数列通项公式计算即可； （2）由于，根据的取值范围即可证明各项都在区间(0,1)内； （3）令，求解正整数即可． 【详解】（1）解： ＝. （2）证明：∵an＝＝1－，因为 ∴0<an<1，故数列的各项都在区间(0,1)内． （3）解：有．令<，则<n2<2，n∈N*， 故n＝1，即在区间内有且只有1项，为． 一、单选题 1．已知数列，，，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】求出前4项，可得数列是周期为3的周期数列，进而可得答案. 【详解】因为，， 所以；； , 所以数列是周期为3的周期数列， 所以， 故选：C. 2．已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由1，得1，利用等差数列的通项公式可得：an＝（2n﹣5）（n﹣6），当且仅当3≤n≤5时，an＜0．即可得出结论． 【详解】由1，即1，5． ∴数列{}为等差数列，首项为﹣5，公差为1． ∴5+n﹣1，可得：an＝（2n﹣5）（n﹣6）， 当且仅当3≤n≤5时，an＜0． 已知n，m∈，n＞m， 则Sn﹣Sm的最小值为＝﹣3﹣6﹣5＝﹣14． 故选A． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、多选题 3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数都是1，从第三项起每一个数是前面两个数的和，人们把这样的数组成的数列叫斐波那契数列，并将数列中各项除以4所得的余数按照原来的顺序组成的数列记为，则下列结论正确的是（    ） A．b2021＝1 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：归纳得数列是以6为最小正周期的数列，即可求解；对于B：由,代入求解；对于C：利用周期性即可求解；对于D：利用累加法求和. 【详解】对于A： 由此归纳得：数列是以6为最小正周期的数列,又2021=6×336+5,所以.故A正确； 对于B：斐波那契数列总有，所以,所以.故B正确； 对于选项C：.故C错误； 对于D：因为,所以 所以 . 故D正确. 故选：ABD 4．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数x，y都有，若数列的前n项和为，且满足，则下列正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题知，进而得，即数列是首项为1，公比为的等比数列，再求通项公式即可. 【详解】解：由题意，知，又， ∴，， 两式相减得． 又时，，∴， ∴数列是首项为1，公比为的等比数列，∴． 故选：AD 三、填空题 5．数列的通项，则数列中的最大项的值为 . 【答案】 【分析】由作商法求出数列的单调性，可得，即可求出数列中的最大项的值. 【详解】因为，则， 则， 令，即，因为， 解得，所以， 令，解得， 所以， 故数列中的最大项为，其值为. 故答案为：. 四、解答题 6．已知，且，． （1）求函数的表达式； （2）已知数列的项满足，试求，，，并猜想数列的通项公式（不需要证明）． 【答案】（1）；（2），，，，. 【分析】（1）把，，代入函数表达式得到方程组：，，解得，． （2），同理可得，，，由此可以猜想． 【详解】解：（1）把，， 代入得，整理得， 解得，∴． （2），， ，． ∵这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为，，，，，便可猜想． 7．图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母表示．如图所示，边长为1的正三角形被层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为时，等圆的半径为，．图中给出等于1，2，10时的覆盖情形． （Ⅰ）写出，的值，并求数列的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%． （参考数据：，） 【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）根据三角形性质求出，，再根据圆心距即可求出数列的通项公式； （Ⅱ）利用圆的面积和三角形面积公式，结合（Ⅰ）所得通项公式即可求解覆盖率． 【详解】（Ⅰ）由题意得，，． 当覆盖的等圆有层时，最下面一层的圆有个，相邻两圆的圆心距为，最左边与最右边的两圆的圆心距为． 又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为，则， ∴． （Ⅱ）证明：被覆盖面积，正三角形的面积． 被覆盖率， ∴对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%． / 学科网（北京）股份有限公司 $$