第5章 拓视野 斐波那契数列（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦斐波那契数列这一核心知识点，从兔子繁殖问题引出定义，梳理递推公式与通项公式，系统讲解求和（前n项和、奇偶项和）及平方和等性质的推导过程，通过“黄金螺旋线”“台阶走法”等典例与训练题构建从概念到应用的学习支架。 该资料以生活实例和数学史为情境，引导学生用数学眼光观察自然与生活中的数列规律，通过性质证明培养逻辑推理的数学思维，借助典例训练提升用数学语言解决实际问题的能力。课中辅助教师开展探究式教学，课后帮助学生通过分层训练巩固知识、查漏补缺。

拓视野　斐波那契数列 1.斐波那契数列的由来 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{Fn}称为“斐波那契数列”，递推公式：Fn＝Fn－1＋Fn－2（n>2），通项公式：Fn＝. 2.斐波那契数列的性质 （1）求和问题：①Sn＝an＋2－1；②a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n；③a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－1. [证明]　①Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝（a3－a2）＋（a4－a3）＋（a5－a4）＋…＋（an＋1－an）＋（an＋2－an＋1）＝an＋2－a2＝an＋2－1，即Sn＝an＋2－1. ②由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2n－1＝a2n－a2n－2，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n. ③由a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2n＝a2n＋1－a2n－1，可得a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－a1＝a2n＋1－1. （2）平方和问题：a＋a＋a＋…＋a＝anan＋1，即\i\su(i＝1,n,a)＝anan＋1. [证明]　斐波那契数列总有an＋2＝an＋1＋an，则a＝a2a1， a＝a2（a3－a1）＝a2a3－a2a1， a＝a3（a4－a2）＝a3a4－a2a3， … a＝an （an＋1－an－1）＝anan＋1－anan－1， 所以a＋a＋a＋…＋a＝anan＋1，即＝anan＋1. [典例1] (多选)若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn，数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是(　　) A．a9＝34 B．a2 024是奇数 C．a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a2 025 D．＝ 【解析】　该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…， 所以a9＝34，A正确； 由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数，后一个为偶数， 且2 024＝3×674＋2，所以a2 024是奇数，B正确； 由an－1＝an－an－2(n≥3)，得a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2 024＝a2 025－a2 023， 累加得a2＋a4＋…＋a2 024＝a2 025－a1，C错误； 由an＝an－1＋an－2(n≥3)， 得a＋a＋a＋…＋a＝a1a2＋a＋a＋…＋a ＝a2(a1＋a2)＋a＋…＋a＝a2a3＋a＋…＋a ＝a3(a2＋a3)＋…＋a＝a3a4＋…＋a ＝…＝a2 023a2 024， 所以S2 023＝(a＋a＋a＋…＋a)＝a2 023a2 024，所以＝，D正确．故选ABD. 【答案】　ABD [典例2] 某校教学楼内有一段楼梯共有11级台阶，假如你要登上第11级台阶，要求你每一步只能跨一级或两级台阶，那么你会有________种不同的走法． 【解析】　登上第一级台阶，有一种走法，记a1＝1， 登上第二级台阶，可以一次跨两级台阶，也可以一次跨一级台阶，所以a2＝2，登上第n(n≥3)级台阶，可以在第n－1级台阶的基础上跨一级台阶和第n－2(n≥3)级台阶的基础上跨两级台阶得到，故an＝an－2＋an－1(n≥3)，则{an}是斐波那契数列．因为1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，所以a11＝144. 【答案】　144 [尝试训练] 1．在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝ak－a2，则k＝(　　) A．12 B．13 C．89 D．144 解析：选A.由斐波那契数列的性质可得，a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝a4＋a5＋a7＋a9＋a11＝a6＋a7＋a9＋a11＝a8＋a9＋a11＝a10＋a11＝a12，所以k＝12.故选A. 2．已知斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)，记其前n项和为Sn，设a2 025＝t(t为常数)，则S2 023＋S2 022－S2 021－S2 020＝(　　) A．t B．2t C．3t D．4t 解析：选A.由题意可得，S2 023＋S2 022－S2 021－S2 020＝a2 023＋a2 022＋a2 022＋a2 021＝a2 024＋a2 023＝a2 025＝t.故选A. 3．意大利数学家斐波那契的《算盘书》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，该数列的前2 024项中奇数的个数为____________． 解析：对数列中的数据归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，又2 024＝3×674＋2，故该数列前2 024项中有674×2＋2＝1 350个奇数． 答案：1 350 4．斐波那契数列{an}的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．记Sn是数列{an}的前n项和，则(a3－S1)＋(a4－S2)＋(a5－S3)＋…＋(a200－S198)＝____________． 解析：当n≥2时，an－1＋an＝an＋1，则an＝an＋1－an－1， 则当n≥2时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋(a3－a1)＋(a4－a2)＋…＋(an＋1－an－1)＝(a1＋a3＋a4＋…＋an＋1)－(a1＋a2＋a3＋…＋an－1)＝(Sn＋1－1)－Sn－1＝an＋1＋an－1， 因此an＋2－Sn＝an＋1＋an－(an＋1＋an－1)＝1， 而a3－S1＝2－1＝1，所以(a3－S1)＋(a4－S2)＋(a5－S3)＋…＋(a200－S198)＝198. 答案：198 学科网（北京）股份有限公司 $