暑假作业11 等比数列（巩固培优）高二数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 等比数列 1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比数列． 2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 4．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数． 6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 7．若{an}为正项等比数列，则{logcan}(c>0，c≠1)为等差数列． 8．若{an}为等差数列，则{can}(c>0，c≠1)为等比数列． 9．若{an}既是等差数列又是等比数列⇔{an}是非零常数列． 10．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q. ①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q； ②若共有2n＋1项，则＝q. (2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)． 11．等比数列的单调性 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等比数列通项公式写出，再结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】由等比数列的通项公式可知， 当时，可得到，即充分性成立； 反之，若，如，不符合，所以必要性不成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 2．在等比数列{an}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（    ） A．128或﹣128 B．128 C．64或﹣64 D．64 【答案】A 【分析】先由等比数列的性质可得a1a34，求出a2的值，再由a9＝256求出公比q，从而可求出a8的值. 【详解】解：由等比数列的性质可得，a1a34， ∴a2＝2或﹣2， ∵a9＝256，当a2＝2时，q7＝128即q＝2，则a8＝128， 当a2＝﹣2时，q7＝﹣128即q＝﹣2，则a8＝﹣128， 故选：A. 【点睛】此题考查了等比数列的性质和基本量计算，属于基础题. 3．各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】设公比为，根据等差中项的性质得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得； 【详解】解：设公比为，因为，，成等差数列，所以， 即，即， 所以或（不符合题意，舍去）. 所以， 故选：B. 4．已知数列的前n项和为，且，，若，则k的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由得数列的递推式，构造新数列是等比数列，求出后解不等式可得． 【详解】, ，，， 所以是等比数列，公比为2，所以，， ，．的最小值为6． 故选：B． 5．若等比数列的第4项和第6项分别是1和16，则其第5项为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质可得选项. 【详解】解：由已知得，所以，所以， 故选：D. 6．已知数列的前项和为，，，且对于任意，，恒成立，则下列说法正确的是（   ） A．是等差数列 B．是等比数列 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用变形给定等式，再结合等差数列、等比数列定义判断各项. 【详解】对于AB，在数列中，对于任意，，满足， 则，即，且， 因此数列不是等差数列，也不是等比数列，A B错误； 对于C，当时，，则， 因此，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 二、多选题 7．已知是等比数列，，，则公比（    ） A． B． C．2 D． 【答案】AD 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解 【详解】由题意可得，解得或 故选：AD 8．在等比数列中,是方程的两个根,则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】AC 【分析】因为是方程的两个根,根据韦达定理,判断得到,求出的值,利用等比数列的性质和等比数列的定义即可逐个判断正误. 【详解】因为是方程的两个根, 所以, 所以,且,所以,故A正确，B错误; 由解得或, 当时,,则, 当时,,则,故C正确，D错误. 故选:AC. 三、填空题 9．已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比 . 【答案】3 【分析】利用等比数列的通项公式及等差数列的性质建立方程可求得结果. 【详解】∵成等差数列， ∴，即， ∴， ∴，解得或（舍）， ∴. 故答案为：3. 10．已知正项等差数列中，若，若成等比数列，则等于 ． 【答案】21 【分析】由等差数列与等比数列的性质求解 【详解】由题意得，得， 成等比数列，则， 而，解得，故， 故答案为：21 四、解答题 11．已知数列是公差为正的等差数列，其前项和为；各项都为正数的等比数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）根据求出的通项公式，设等比数列的公比为（），即可得到方程组，解得、，从而求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为前项和为， 当时，当时， 经检验当时成立，所以； 设等比数列的公比为（），又，，所以， 解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可得， 所以 . 一、单选题 12．已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（    ） A．8 B．9 C．12 D．13 【答案】C 【分析】先求出，，再求出，接着求出并建立不等式，最后求解即可. 【详解】解：因为，，公比为正数显然不为1，所以，解得，， 所以，则， 要使，则，解得， 故n的最大值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题. 13．在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数列{an}递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】运用判断充分条件、必要条件的方法进行判断. 【详解】当a1<a2<a3时，设公比为q， 由a1<a1q<a1q2得 若a1>0，则1<q<q2，即q>1， 此时，显然数列{an}是递增数列， 若a1<0，则1>q>q2，即0<q<1， 此时，数列{an}也是递增数列， 反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1<a2<a3. 故“a1<a2<a3”是“等比数列{an}递增”的充要条件． 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查充分必要条件与等比数列的单调性结合的简单应用，本题的关键是当时，讨论和两种情况，求等比数列的公比，判断函数的单调性. 二、多选题 14．已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列满足，， ； ； ； 数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题． 三、填空题 15．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，通常是一个粗糙或零碎的几何形状，并可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，即具有自相似的特征．如图，有一列曲线，，…，，…，且是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉记曲线的周长依次为，，…，，…，则 ． 【答案】. 【分析】根据题意，先分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律即可求出第个图形的周长，从而可求出周长和 【详解】由题意可知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，第3个图形的边长又是第2个图形边长的，……， 所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列， 所以第个图形的边长为， 由图可知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列， 所以第个图形的边数为， 所以第个图形的周长为， 所以， 令， 所以 ， 故答案为： 四、解答题 16．设是数列的前n项和，已知． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）当时，由，可得，又，从而根据等比数列的定义即可求解. （2）由（1）可得，利用裂项相消法即可求解. 【详解】解：（1）当时，，则， 当时，，则， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）知， 所以 . 17．已知数列{}，其n项和为，满足 ✮ ． 请你从①，；②；③，．这三个条件中任选一个，补充在上面的“✮”处，并回答下列问题： (1)求数列{}的通项公式； (2)当，求n的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）若选①，则可得数列{}是4为公差，1为首项的等差数列，从而可求出其通项公式，若选②，利用求解通项公式，若选③，则可得数列{}为常数列，从而可求出其通项公式， （2）若选①，则利用等差数列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若选②，则利用等比数列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若选③，则求出常数列的前项和，然后解不等式可得答案， 【详解】（1）若选①，因为，所以， 所以数列{}是4为公差，1为首项的等差数列， 所以， 若选②，当时，，得， 当时，由，得， 所以，得， 所以数列{}是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以， 若选③，因为， 所以， 所以（），即（）， 因为，，所以， 所以数列{}为常数列，所以 （2）若选①，由（1）可知数列{}是4为公差，1为首项的等差数列， 所以， 当时，，即， 解得（）， 所以n的最大值为7， 若选②，由（1）可知数列{}是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以， 当时，， 解得（）， 所以n的最大值为6， 若选③，由（1）可知数列{}为常数列，且， 所以， 当时，（）， 所以n的最大值为100 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 等比数列 1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比数列． 2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 4．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数． 6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 7．若{an}为正项等比数列，则{logcan}(c>0，c≠1)为等差数列． 8．若{an}为等差数列，则{can}(c>0，c≠1)为等比数列． 9．若{an}既是等差数列又是等比数列⇔{an}是非零常数列． 10．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q. ①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q； ②若共有2n＋1项，则＝q. (2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)． 11．等比数列的单调性 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在等比数列{an}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（    ） A．128或﹣128 B．128 C．64或﹣64 D．64 3．各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 4．已知数列的前n项和为，且，，若，则k的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．若等比数列的第4项和第6项分别是1和16，则其第5项为（    ） A． B． C．4 D． 6．已知数列的前项和为，，，且对于任意，，恒成立，则下列说法正确的是（   ） A．是等差数列 B．是等比数列 C． D． 二、多选题 7．已知是等比数列，，，则公比（    ） A． B． C．2 D． 8．在等比数列中,是方程的两个根,则（    ） A． B．或 C．或 D．或 三、填空题 9．已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比 . 10．已知正项等差数列中，若，若成等比数列，则等于 ． 四、解答题 11．已知数列是公差为正的等差数列，其前项和为；各项都为正数的等比数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 一、单选题 12．已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（    ） A．8 B．9 C．12 D．13 13．在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数列{an}递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 14．已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，通常是一个粗糙或零碎的几何形状，并可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，即具有自相似的特征．如图，有一列曲线，，…，，…，且是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉记曲线的周长依次为，，…，，…，则 ． 四、解答题 16．设是数列的前n项和，已知． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17．已知数列{}，其n项和为，满足 ✮ ． 请你从①，；②；③，．这三个条件中任选一个，补充在上面的“✮”处，并回答下列问题： (1)求数列{}的通项公式； (2)当，求n的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$