第5章 5.3.2 第2课时 等比数列的前n项和的性质及应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第五章 <<< 等比数列的前n项和的性质及应用 第2课时 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 学习目标 同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质. 导 语 一、等比数列前n项和公式的灵活应用 二、等比数列中的片段和问题 课时对点练 三、等比数列前n项和公式的实际应用 随堂演练 内容索引 一 等比数列前n项和公式的灵活应用 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 问题1 提示　若等比数列{an}的项数有2n项，则 其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n， 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即 S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇，所以有=q. 若等比数列{an}的项数有2n+1项，则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n，其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，即S奇=a1+qS偶. 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，=q； (2)在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1= =(q≠-1)； S奇=a1+qS偶. 知识梳理 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80，则公比q=　　. 例 1 由题意知S奇+S偶=-240，S奇-S偶=80， ∴S奇=-80，S偶=-160， ∴q==2. 2 9 (2)若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为　　　.  由=2，S偶-S奇=100可知S偶=200，S奇=100，故S2n=300. 300 10 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住=q和S偶+S奇=S2n 这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n+1项，要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 反 思 感 悟 11 (1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为　　，项数为　　.  跟踪训练 1 2 9 由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q，所以q=2， S2n+1==341+170=511，解得n=4，即这个等比数列的项数为9. 12 (2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍， 前3项之积为64，则数列的通项公式an=　　 　　.  12× 13 设数列{an}的首项为a1，公比为q， 所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知， S奇+S偶=4S偶，即S奇=3S偶. 因为数列{an}的项数为偶数， 所以有q==. 又因为a1·a1q·a1q2=64，所以·q3=64， 即a1=12， 故所求通项公式为an=12×. 14 二 等比数列中的片段和问题 你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n？ 问题2 提示　思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+ anqm=Sm+qmSn. 思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn= Sn+qnSm. 类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗？ 问题3 提示　Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q=1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn=，S2n=， S3n=. S2n-Sn=-=， S3n-S2n=-=， 而=，Sn(S3n-S2n)=×， 故有=Sn(S3n-S2n)， 所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列. 思路二：由问题2中Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，故有S2n-Sn=qnSn， S3n=S2n+q2nSn，故有S3n-S2n=q2nSn，故有=Sn(S3n-S2n)， 所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列. 1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+ (n，m∈N+). 2.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn， ，…仍构成等比数列. qnSm S3n-S2n 知识梳理 等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 注 意 点 <<< 20 　在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n. 例 2 21 方法一　∵≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1+qn=， 即qn=， ③ ③代入①得=64， ∴S3n==64=63. 22 方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于-1， ∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列， ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)， ∴S3n=+S2n=+60=63. 方法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，即60=48+48qn，得qn=， ∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63. 23 (1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算. (2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. 反 思 感 悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 24 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12等于 A.8 B.6 C.4 D.2 跟踪训练 2 √ S4，S8-S4，S12-S8成等比数列. 即1，2，a9+a10+a11+a12成等比数列. ∴a9+a10+a11+a12=4. 25 三 等比数列前n项和公式的实际应用 　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为 A.96 B.126 C.192 D.252 例 3 √ 27 由题意得，该人每天走的路程里数形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有 S6==378， 解得a1=192， 所以该人第1天所走路程里数为192. 28 (1)解应用问题的核心是建立数学模型. (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型. (3)注意问题是求什么(n，an，Sn). 反 思 感 悟 29 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为　　.  跟踪训练 3 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3. 3 30 1.知识清单： (1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质. (2)等比数列中的片段和性质. (3)等比数列前n项和的实际应用. 2.方法归纳：公式法、分类讨论. 3.常见误区：应用等比数列的片段和性质时易忽略其成立的条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5等于 A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 √ 在等比数列{an}中，S5，S10-S5，S15-S10，…成等比数列，所以(S10-S5)2=S5(S15-S10)，因为S10∶S5=1∶2，所以S10=S5，S15=S5，得S15∶S5=3∶4，故选A. 1 2 3 4 2.在等比数列{an}中，a1a2a3=1，a4=4，则a2+a4+a6+…+a2n等于 A.2n-1 B. C. D. √ 由a1a2a3=1得a2=1，又a4=4，故q2=4，所以a2+a4+a6+…+a2n==. 3.《庄子》中说：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为 A.6 B.5 C.4 D.3 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 数列{an}是以为公比的等比数列， ∴Sn==1-， 若Sn>，则1->， 即>，∴2n>， 又n∈N+，24=16<，25=32>， ∴使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为5. 1 2 3 4 4.若等比数列{an}的公比为，且a1+a3+…+a99=60，则{an}的前100项和为　　. 80 令X=a1+a3+…+a99=60， Y=a2+a4+…+a100， 则S100=X+Y， 由等比数列前n项和性质知=q=， 所以Y=20，即S100=X+Y=80. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为 A.8 B.-2 C.4 D.2 √ 由=q，可知q=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9等于 A. B.- C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知q≠-1， 因为a7+a8+a9=S9-S6， 且S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列， 即8，-1，S9-S6成等比数列， 所以8(S9-S6)=1， 即S9-S6=， 所以a7+a8+a9=. 3.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？ A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3=50，则=50， 解得a1=，所以牛主人应偿还粟的量为a3=22a1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设等比数列{an}的前n项和为10，前2n项和为60，则该数列的前4n项和为 A.360 B.720 C.1 560 D.1 800 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q， 因为Sn=10，S2n=60， 则q≠-1，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n成等比数列，公比为qn， 又S2n-Sn=50，所以qn=5， 所以S3n-S2n=50×5=250， 所以S4n-S3n=250×5=1 250， 所以S4n=10+50+250+1 250=1 560. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　因为等比数列{an}有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设{an}的公比为q， 则1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1)=85， q+q3+q5+…+q2n-1=42，整体代入得q=2， 所以前2n+1项的和为=85+42=127，解得n=3. 方法二　设{an}的前n项和为Sn，公比为q， 因为等比数列{an}有2n+1项，则S奇=a1+qS偶， 即85=1+42q，解得q=2， 所以S2n+1==S奇+S偶=85+42=127，解得n=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则下列命题中正确的是 A.Sn+1=Sn+anq B.Sn+1=S1+qSn C.S2，S4-S2，S6-S4成等比数列 D.“q=-”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Sn+1-Sn=an+1=anq，故A正确； Sn+1-S1=a2+a3+…+an+1=q(a1+a2+…+an)=qSn，故B正确； 当q=-1时，有S2=a1+a2=a1-a1=0，等比数列不能有项为0，故C错误； 当q=-时，Sn+1+Sn=2Sn+2-2an+2-an+1=2Sn+2-(2q·an+1+an+1) =2Sn+2-(-an+1+an+1)=2Sn+2，故由“q=-”可得“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”； 当Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列时，可得Sn+Sn+1=2Sn+2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即Sn+Sn+1=2Sn+2=2Sn+1+2an+2=Sn+Sn+1+2an+2+an+1， 即2an+2+an+1=0，可得=-，即由“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”可得“q=-”， 故“q=-”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S4=7，S8=21，则S16=　 　. 105 由等比数列前n项和的性质得S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列， ∴7，14，S12-21，S16-S12成等比数列， ∴S12-21=28，S12=49，S16-49=56，∴S16=105. 8.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n=　　.(n∈N+) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列， 其前n项和Sn==2n+1-2. 由2n+1-2≥100，得2n+1≥102. 由于26=64，27=128， 则n+1≥7，即n≥6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N+). 由已知a1=1，q≠1，有 由②÷①，得q=2， ∴=85，4n=256，∴n=4. 故公比为2，项数为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　∵S偶=a2+a4+…+=a1q+a3q+…+q=(a1+a3+… +)q=S奇·q， ∴q===2. 又Sn=85+170=255，由Sn=，得=255， ∴2n=256， ∴n=8.即公比q=2，项数n=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3=7，S6=63. (1)求数列{an}的通项公式； 由题意知S6≠2S3，q≠1， 由等比数列的前n项和的性质知， q3===8，故q=2， ∴S3==7，代入q=2可得a1=1， ∴an=2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若bn=an+log2an，求数列的前n项和Tn. 由(1)知bn=2n-1+n-1， ∴Tn=+[1+2+…+(n-1)] =2n+-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1+a2+a3=4，a4+a5+a6=8，则S12等于 A.40 B.60 C.32 D.50 √ 综合运用 由等比数列前n项和的性质可知，数列S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9是等比数列，即数列4，8，S9-S6，S12-S9是等比数列，因此S12=4+8+16+ 32=60. 12.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为 A. B. C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}共有(2m+1)项，由题意得 S奇=a1+a3+…+a2m+1=， S偶=a2+a4+…+a2m=， 因为项数为奇数时，=q， 即2+q=，所以q=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以Tn=a1·a2·…·an =q1+2+…+n-1=， 故当n=1或2时，Tn取最大值2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6-3S3=4，则S9-S6的最小值为　　. 32 由等比数列的性质，知S3，S6-S3，S9-S6成等比数列.又S6-3S3=4， ∴S9-S6== =4S3++16≥2+16=32， 当且仅当S3=2时，等号成立， ∴S9-S6的最小值为32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，画一个边长为4 cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是　　　 cm2. 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记这些正方形的边长为an cm，则a1=4，a2=2，…，故这些正方形的面积是以16为首项，以为公比的等比数列，所以这5个正方形面 积的和为S5==32=31(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=，an=f(n)(n∈N+)，则数列{an}的前n项和Sn=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x=n，y=1，则f(n)·f(1)=f(n+1)， 又an=f(n)，∴==f(1)=a1=， ∴数列{an}是以为公比的等比数列， ∴Sn==1-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an与bn的表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第1年投入为800万元，第2年投入为800万元，…，第n年投入为800万元， ∴n年内的总投入an=800+800+…+800=4 000. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400万元，…，第n年旅游业收入为400万元， ∴n年内的旅游业总收入bn=400+400+…+400= 1 600. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 旅游业的总收入超过总投入，即bn-an>0， 即1 600-4 000>0， 化简得5×+2×-7>0. 设x=，代入上式并整理得5x2-7x+2>0，解得x<或x>1(舍去)， ∴<.又n∈N+，由此可得n≥5. 故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 第五章 <<< $$ 第2课时　等比数列的前n项和的性质及应用 ［学习目标］　1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 导语　 同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质. 一、等比数列前n项和公式的灵活应用 问题1　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示　若等比数列{an}的项数有2n项，则 其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n， 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即 S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇，所以有=q. 若等比数列{an}的项数有2n+1项，则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n，其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，即S奇=a1+qS偶. 知识梳理 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，=q； (2)在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1= =(q≠-1)； S奇=a1+qS偶. 例1　(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80，则公比q=　　　　.  答案　2 解析　由题意知S奇+S偶=-240，S奇-S偶=80， ∴S奇=-80，S偶=-160， ∴q==2. (2)若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为　　　　.  答案　300 解析　由=2，S偶-S奇=100可知S偶=200，S奇=100，故S2n=300. 反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n+1项，要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 跟踪训练1　(1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为　　　　，项数为　　　　.  答案　2　9 解析　由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q，所以q=2， S2n+1==341+170=511，解得n=4，即这个等比数列的项数为9. (2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an=　　　　.  答案　12× 解析　设数列{an}的首项为a1，公比为q， 所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知， S奇+S偶=4S偶，即S奇=3S偶. 因为数列{an}的项数为偶数， 所以有q==. 又因为a1·a1q·a1q2=64，所以·q3=64， 即a1=12， 故所求通项公式为an=12×. 二、等比数列中的片段和问题 问题2　你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n？ 提示　思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm=Sm+qmSn. 思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn=Sn+qnSm. 问题3　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗？ 提示　Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q=1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn=，S2n=， S3n=. S2n-Sn=-=， S3n-S2n=-= ， 而=，Sn(S3n-S2n)=×， 故有=Sn(S3n-S2n)， 所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列. 思路二：由问题2中Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，故有S2n-Sn=qnSn， S3n=S2n+q2nSn，故有S3n-S2n=q2nSn，故有=Sn(S3n-S2n)， 所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列. 知识梳理　 1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm(n，m∈N+). 2.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍构成等比数列. 注意点： 等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 例2　在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n. 解　方法一　∵≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1+qn=， 即qn=， ③ ③代入①得=64， ∴S3n==64=63. 方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于-1， ∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列， ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)， ∴S3n=+S2n=+60=63. 方法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，即60=48+48qn，得qn=， ∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63. 反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算. (2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. 跟踪训练2　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12等于(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 答案　C 解析　S4，S8-S4，S12-S8成等比数列. 即1，2，a9+a10+a11+a12成等比数列. ∴a9+a10+a11+a12=4. 三、等比数列前n项和公式的实际应用 例3　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为(　　) A.96 B.126 C.192 D.252 答案　C 解析　由题意得，该人每天走的路程里数形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有 S6==378， 解得a1=192， 所以该人第1天所走路程里数为192. 反思感悟　(1)解应用问题的核心是建立数学模型. (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型. (3)注意问题是求什么(n，an，Sn). 跟踪训练3　我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为　　　　.  答案　3 解析　设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3. 1.知识清单： (1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质. (2)等比数列中的片段和性质. (3)等比数列前n项和的实际应用. 2.方法归纳：公式法、分类讨论. 3.常见误区：应用等比数列的片段和性质时易忽略其成立的条件. 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5等于(　　) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 答案　A 解析　在等比数列{an}中，S5，S10-S5，S15-S10，…成等比数列，所以(S10-S5)2=S5(S15-S10)，因为S10∶S5=1∶2，所以S10=S5，S15=S5，得S15∶S5=3∶4，故选A. 2.在等比数列{an}中，a1a2a3=1，a4=4，则a2+a4+a6+…+a2n等于(　　) A.2n-1 B. C. D. 答案　B 解析　由a1a2a3=1得a2=1，又a4=4，故q2=4，所以a2+a4+a6+…+a2n==. 3.《庄子》中说：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 答案　B 解析　数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn==1-， 若Sn>，则1->， 即>，∴2n>， 又n∈N+，24=16<，25=32>， ∴使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为5. 4.若等比数列{an}的公比为，且a1+a3+…+a99=60，则{an}的前100项和为　　　　.  答案　80 解析　令X=a1+a3+…+a99=60， Y=a2+a4+…+a100， 则S100=X+Y， 由等比数列前n项和性质知=q=， 所以Y=20，即S100=X+Y=80. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为(　　 ) A.8 B.-2 C.4 D.2 答案　D 解析　由=q，可知q=2. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9等于(　　) A. B.- C. D. 答案　A 解析　易知q≠-1， 因为a7+a8+a9=S9-S6， 且S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列， 即8，-1，S9-S6成等比数列， 所以8(S9-S6)=1， 即S9-S6=， 所以a7+a8+a9=. 3.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3=50，则=50， 解得a1=，所以牛主人应偿还粟的量为a3=22a1=. 4.设等比数列{an}的前n项和为10，前2n项和为60，则该数列的前4n项和为(　　) A.360 B.720 C.1 560 D.1 800 答案　C 解析　设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q， 因为Sn=10，S2n=60， 则q≠-1，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n成等比数列，公比为qn， 又S2n-Sn=50，所以qn=5， 所以S3n-S2n=50×5=250， 所以S4n-S3n=250×5=1 250， 所以S4n=10+50+250+1 250=1 560. 5.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　B 解析　方法一　因为等比数列{an}有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设{an}的公比为q， 则1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1)=85， q+q3+q5+…+q2n-1=42，整体代入得q=2， 所以前2n+1项的和为=85+42=127，解得n=3. 方法二　设{an}的前n项和为Sn，公比为q， 因为等比数列{an}有2n+1项，则S奇=a1+qS偶， 即85=1+42q，解得q=2， 所以S2n+1==S奇+S偶=85+42=127， 解得n=3. 6.(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则下列命题中正确的是(　　) A.Sn+1=Sn+anq B.Sn+1=S1+qSn C.S2，S4-S2，S6-S4成等比数列 D.“q=-”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件 答案　ABD 解析　Sn+1-Sn=an+1=anq，故A正确； Sn+1-S1=a2+a3+…+an+1=q(a1+a2+…+an)=qSn，故B正确； 当q=-1时，有S2=a1+a2=a1-a1=0，等比数列不能有项为0，故C错误； 当q=-时，Sn+1+Sn=2Sn+2-2an+2-an+1=2Sn+2-(2q·an+1+an+1) =2Sn+2-(-an+1+an+1)=2Sn+2，故由“q=-”可得“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”； 当Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列时，可得Sn+Sn+1=2Sn+2， 即Sn+Sn+1=2Sn+2=2Sn+1+2an+2=Sn+Sn+1+2an+2+an+1， 即2an+2+an+1=0，可得=-，即由“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”可得“q=-”， 故“q=-”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件，故D正确. 7.(5分)已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S4=7，S8=21，则S16=　　　　.  答案　105 解析　由等比数列前n项和的性质得S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列， ∴7，14，S12-21，S16-S12成等比数列， ∴S12-21=28，S12=49，S16-49=56，∴S16=105. 8.(5分)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n=　　　　.(n∈N+) 答案　6 解析　每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列， 其前n项和Sn==2n+1-2. 由2n+1-2≥100，得2n+1≥102. 由于26=64，27=128， 则n+1≥7，即n≥6. 9.(10分)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数. 解　方法一　设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N+). 由已知a1=1，q≠1，有 由②÷①，得q=2， ∴=85，4n=256，∴n=4. 故公比为2，项数为8. 方法二　∵S偶=a2+a4+…+=a1q+a3q+…+q=(a1+a3+…+)q=S奇·q， ∴q===2. 又Sn=85+170=255，由Sn=， 得=255， ∴2n=256， ∴n=8.即公比q=2，项数n=8. 10.(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3=7，S6=63. (1)求数列{an}的通项公式；(7分) (2)若bn=an+log2an，求数列的前n项和Tn.(5分) 解　(1)由题意知S6≠2S3，q≠1， 由等比数列的前n项和的性质知， q3===8，故q=2， ∴S3==7，代入q=2可得a1=1， ∴an=2n-1. (2)由(1)知bn=2n-1+n-1， ∴Tn=+［1+2+…+(n-1)］ =2n+-1. 11.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1+a2+a3=4，a4+a5+a6=8，则S12等于(　　) A.40 B.60 C.32 D.50 答案　B 解析　由等比数列前n项和的性质可知，数列S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9是等比数列，即数列4，8，S9-S6，S12-S9是等比数列，因此S12=4+8+16+32=60. 12.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案　D 解析　设数列{an}共有(2m+1)项，由题意得 S奇=a1+a3+…+a2m+1=， S偶=a2+a4+…+a2m=， 因为项数为奇数时，=q， 即2+q=，所以q=. 所以Tn=a1·a2·…·an =q1+2+…+n-1=， 故当n=1或2时，Tn取最大值2. 13.(5分)已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6-3S3=4，则S9-S6的最小值为　　　　.  答案　32 解析　由等比数列的性质，知S3，S6-S3，S9-S6成等比数列.又S6-3S3=4， ∴S9-S6== =4S3++16≥2+16=32， 当且仅当S3=2时，等号成立， ∴S9-S6的最小值为32. 14.(5分)如图，画一个边长为4 cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是　　　 cm2. 答案　31 解析　记这些正方形的边长为an cm，则a1=4，a2=2，…，故这些正方形的面积是以16为首项，以为公比的等比数列，所以这5个正方形面积的和为S5==32=31(cm2). 15.(5分)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=，an=f(n)(n∈N+)，则数列{an}的前n项和Sn=　　　　.  答案　1- 解析　令x=n，y=1，则f(n)·f(1)=f(n+1)， 又an=f(n)，∴==f(1)=a1=， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn==1-. 16.(12分)某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an与bn的表达式；(7分) (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(5分) 解　(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800万元，…，第n年投入为800万元， ∴n年内的总投入an=800+800+…+ 800=4 000. 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400万元，…，第n年旅游业收入为400万元， ∴n年内的旅游业总收入bn=400+400+…+400=1 600. (2)旅游业的总收入超过总投入，即bn-an>0， 即1 600-4 000>0， 化简得5×+2×-7>0. 设x=，代入上式并整理得5x2-7x+2>0，解得x<或x>1(舍去)， ∴<.又n∈N+，由此可得n≥5. 故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 学科网（北京）股份有限公司 $$