暑假作业10 等差数列（巩固培优）高二数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 等差数列 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．在等差数列中，若，，则=（    ） A．20 B．25 C．30 D．33 2．在等差数列中,,,则公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设等差数列的前项和为，且，则下列各项中值最大的为（    ） A． B． C． D． 4．设为等差数列的前项和，，，则（    ） A． B． C．0 D．4 5．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 6．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则（    ） A．S5＜S9 B．该数列的公差d＜0 C．a7＝0 D．S11＜0 三、填空题 9．已知数列的前项和为，若则 . 10．定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则 ． 四、解答题 11．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中. 问题：已知等差数列的公差为，前n项和为，满足，___________？ (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 一、单选题 1．等差数列的前项和为，若，是和的等比中项，则（    ） A． B． C．或 D． 2．数列满足，且对于任意都有成立，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．使得成立的最大正整数 C． D．中最小项为 三、填空题 4．已知等差数列的前n项和为，则的最大值为 . 四、解答题 5．在等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 6．设数列前项和为，若，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列前项和为，证明：； （3）是否存在自然数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 等差数列 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．在等差数列中，若，，则=（    ） A．20 B．25 C．30 D．33 【答案】D 【分析】将条件转化为基本量并解出，进而解得答案. 【详解】设数列的公差为d，，则. 故选：D. 2．在等差数列中,,,则公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果. 【详解】设公差为,则 , 解得. 故选:C. 3．设等差数列的前项和为，且，则下列各项中值最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列下标的性质，结合前项和公式逐一判断即可. 【详解】因为，所以.在中，最大，在中，是最小的正数，所以最大. 故选：A 4．设为等差数列的前项和，，，则（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】A 【分析】先由等差数列求和公式及等差数列的性质，求出，然后求出公差，得出. 【详解】因为，所以，即，所以，即， 又，所以公差，所以. 故选：A 5．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】B 【分析】可设年纪最大年龄为，年纪最小年龄为,根据其余19人的年龄依次相差一岁，得到，然后由最年长者的年龄大于90且不大于100求解. 【详解】由题意可设年纪最大年龄为，年纪最小年龄为， 则有， 所以 ， 因为， 解得，， 所以，， 所以极差为29， 故选：B. 6．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件求出的值，可得出的值，再利用等差数列求和公式结合等差中项的性质可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 故， 因此，. 故选：B. 二、多选题 7．下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确． 故选：ABD. 8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则（    ） A．S5＜S9 B．该数列的公差d＜0 C．a7＝0 D．S11＜0 【答案】BC 【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前6项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可. 【详解】解：由可得，， 得， 由得，所以等差数列的公差，故选项B正确. 所以为正，，从第8项起均为负. 故选项C正确. 所以，故选项A不正确. ，故选项D不正确. 故选：BC. 三、填空题 9．已知数列的前项和为，若则 . 【答案】 【分析】由分组求和法以及等差数列求和公式即可运算求解. 【详解】由题意. 故答案为：190. 10．定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】根据“等比差”数列的概念可得，进而得解. 【详解】由数列为“等比差”数列， 则， 所以，即数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，， 则， 所以， 故答案为:. 四、解答题 11．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中. 问题：已知等差数列的公差为，前n项和为，满足，___________？ (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1)选①②③，答案均为 (2)10 【分析】（1）根据得到，若选①，得到，联立求出公差和首项，得到通项公式；若选②，得到，联立得到公差和首项，得到通项公式；若选③，结合等差数列通项公式基本量计算出公差和首项，得到通项公式； （2）在（1）的基础上，利用等差数列求和公式得到方程，求出答案. 【详解】（1）因为等差数列的公差为， 由，得， 因为，所以，得， 即. 选①，，因为，即， 所以，得，解得， 故， . 选②，则，得，得， 即，得， 故， . 选③，则，得， 即，解得，故， ； （2）由（1）得，则， 解得或（舍去），所以的值为10 一、单选题 1．等差数列的前项和为，若，是和的等比中项，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由已知可得，即，从而可求，由等差数列的前项和公式可求. 【详解】解：由已知可得，， ∴ ∴或， 由等差数列的前项和公式可得， 或. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等比中项的定义，等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题. 2．数列满足，且对于任意都有成立，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对条件取倒数，构造等差数列，求得通项公式，再利用裂项相消法求结果. 【详解】为以2为首项，3 为公差的等差数列， 因此， 则数列的前10项和为 故选：A 【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、多选题 3．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．使得成立的最大正整数 C． D．中最小项为 【答案】ACD 【分析】A选项，根据题目条件得到，，从而得到，，A正确；B选项，，，B错误；C选项，先得到，从而得到；D选项，得到当时，，当时，，当时，，并得到. 【详解】A选项，，即，故， 故，故，故，A正确； B选项，，， 故使得成立的最大正整数，B错误； C选项，由于， 故， 则， 故，C正确； D选项，由于， 故当时，，当时，， 当时，，当时，， 故当时，，当时，，当时，， 由，得， ， 由不等式的同向可乘性可得，，故， 故中最小项为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 4．已知等差数列的前n项和为，则的最大值为 . 【答案】6 【分析】根据等差数列的基本量运算得出通项公式，再根据通项的正负得出和的最大值. 【详解】设公差为，因为， 所以，即， 因为， 所以. 故答案为：6. 四、解答题 5．在等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得，解方程组可求出，从而可求得通项公式； （2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法求解即可 【详解】（1）设数列的公差为， 则， 解得， 故. （2）由（1）知， 则， 所以. 6．设数列前项和为，若，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列前项和为，证明：； （3）是否存在自然数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）； 【分析】（1）利用，作差即可求出通项； （2）利用裂项相消求和，再结合数列的单调性可得到证明； （3）假设存在符合条件的，列出关于的方程即可解得值． 【详解】解：（1）因为， 当时，， ，又，所以是以为首项，为公差的等差数列， ． （2）由（1）可得， ， 单调递增， 又，，综上可得． （3）由（1）可得， 所以 ，或（舍去）． / 学科网（北京）股份有限公司 $$