暑假作业01 计数原理、排列-【暑假分层作业】2025年高二数学暑假培优练（人教B版2019）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 计数原理、排列 1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终. (1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类. (2)分步乘法计数原理中,各个步骤中的方法相互依存,步与步之间“相互独立,分步完成”. 2、排列数、常用公式 (1)=(n-m+1). (2)=n. (3)(n+1)!-n!=n·n!. 2.解决排列问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理. (7)分排问题直排处理. (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (9)构造模型. (10)正难则反,等价转化. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为（    ） A．240 B．120 C．96 D．60 3．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ）    A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种 4．某校举行文艺汇演，甲、乙、丙等6名同学站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相邻，丙不在两端，则不同的排列方式共有（    ） A．72种 B．144种 C．336种 D．432种 5．甲、乙等5人排成一列，若甲需要站两侧，则排法总数为（    ） A．120 B．24 C．12 D．48 6．桌子上有一本数学书和一本英语书，从桌子上任取一本书，不同的取法数有（    ）种. A．-1 B．0 C．1 D．2 二、多选题 7．下列各式中，等于的是（    ） A． B． C． D． 8．从集合中任取两个互不相等的数组成复数，下列说法错误的有（    ） A．其中虚数有30个 B．其中虚数有42个 C．其中虚数有36个 D．其中虚数有35个 三、填空题 9．个人排成一排，甲、乙两人相邻的排法有 种． 10．某小组共有4名男生，和3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有 种不同的结果. 四、解答题 11．现从一副扑克牌中抽取红桃A、红桃2、红桃3到红桃10、小王和大王共12张牌 (1)从这12张牌中随机抽取3张，求红桃A被抽到，且小王和大王只有一个被抽到的抽取方法共有多少种？ (2)从这12张牌中随机抽取3张，求小王和大王2张中至少有1张被抽到，且红桃A没有被抽到的不同抽取方法共有多少种？ (3)将红桃5到红桃10这6张扑克牌摆成一排，使得红桃9和红桃10相邻，且红桃5、红桃6、红桃7恰有两张相邻，求不同的摆放方法共有多少种？ 一、单选题 1．某公司举办了教职工运动会，设置了三大类项目：个人项目､集体项目､趣味项目，其中个人项目包括100米､200米､1000米三种比赛，集体项目只有4*100米接力赛，趣味项目包括嘉嘉传真情､跳跳一家亲两种比赛.该公司一名员工从这三类项目中只选两类且每类项目中只能选一种比赛参加，则该员工共有（    ）种不同的选法. A．6 B．7 C．11 D．14 2．给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．48 B．60 C．72 D．84 二、多选题 3．某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的概率为 ． 四、解答题 5．解方程： 身高各不相同的六位同学站成一排照相， (1)A与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答） (2)三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答） / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 计数原理、排列 1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终. (1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类. (2)分步乘法计数原理中,各个步骤中的方法相互依存,步与步之间“相互独立,分步完成”. 2、排列数、常用公式 (1)=(n-m+1). (2)=n. (3)(n+1)!-n!=n·n!. 2.解决排列问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理. (7)分排问题直排处理. (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (9)构造模型. (10)正难则反,等价转化. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由排列数公式2）， 可知. 故选：B. 2．A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为（    ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】A 【分析】利用捆绑法求得正确答案. 【详解】将捆绑在一起，然后进行全排列， 故共有种排法. 故选：A 3．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ）    A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种 【答案】C 【分析】由题意可得，只需确定区域的颜色，先涂区域1，再涂区域2，再分区域3与区域1涂的颜色不同、区域3与区域1涂的颜色相同，最后根据分步乘法原理即可求解. 【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定整个伞面的涂色. 先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择. 当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择. 当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择. 故不同的涂色方案有种. 故选：C 4．某校举行文艺汇演，甲、乙、丙等6名同学站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相邻，丙不在两端，则不同的排列方式共有（    ） A．72种 B．144种 C．336种 D．432种 【答案】C 【分析】根据不相邻问题插空法，分甲乙两人中间是否有除甲乙丙外的三个人中的任何一人分类，即可求解. 【详解】若甲乙之间有除甲乙丙外的三个人中的任何一人时，先将甲乙丙外的三个人排一排有种排法，此时将甲乙插空有种排法，这时甲乙包括剩下三个人形成了6个空，去掉首尾的，则丙有4种排法，共有种排法； 若甲乙之间只有丙，先将甲乙丙三人排成一排，乙在中间，有种排法，再将甲乙丙看成一个整体，与其余三人全排列，有种排法，共有种排法； 所以符合题意的排法共有种. 故选：C 5．甲、乙等5人排成一列，若甲需要站两侧，则排法总数为（    ） A．120 B．24 C．12 D．48 【答案】D 【分析】按照分布乘法计数原理结合排列组合运算即可. 【详解】解：甲在两侧选一种站法为，剩余4人全排列有种 共计种安排方法. 故选：D. 6．桌子上有一本数学书和一本英语书，从桌子上任取一本书，不同的取法数有（    ）种. A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据分类加法计数原理来计算从桌子上任取一本书的不同取法数． 【详解】从桌子上任取一本书，有两类取法： 第一类，取数学书，有种取法； 第二类，取英语书，有种取法． 根据分类加法计数原理，不同的取法数共有（种）． 不同的取法数有种． 故选：D． 二、多选题 7．下列各式中，等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据排列数公式依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，，故A错误. 对选项B，，故B错误. 对选项C，，故C正确. 对选项D，，故D正确. 故选：CD 8．从集合中任取两个互不相等的数组成复数，下列说法错误的有（    ） A．其中虚数有30个 B．其中虚数有42个 C．其中虚数有36个 D．其中虚数有35个 【答案】ABD 【分析】根据虚数的概念，结合分步乘法计数原理，即可得出答案. 【详解】根据选项，可知本题只考虑为虚数， 则虚数虚部不能为0，第一步选虚部，有6种选择； 第二步，选择实部，有6种选择. 根据分步乘法计数原理可得，虚数有36个，故A、B、D错误，C正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．个人排成一排，甲、乙两人相邻的排法有 种． 【答案】240 【分析】利用捆绑法求解即可得解. 【详解】先将甲、乙两人捆绑，再将所得5个元素全排，有种. 故答案为：. 10．某小组共有4名男生，和3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有 种不同的结果. 【答案】24 【分析】根据题意结合分步乘法计数原理分析求解. 【详解】因为4名男生选一名男生共有4种不同的结果； 3名女生选一名女生共有3种不同的结果； 一名男生和一名女生分别担任组长和干事共有2种不同的方法， 根据分步乘法计数原理可知：共有种不同的结果. 故答案为：24. 四、解答题 11．现从一副扑克牌中抽取红桃A、红桃2、红桃3到红桃10、小王和大王共12张牌 (1)从这12张牌中随机抽取3张，求红桃A被抽到，且小王和大王只有一个被抽到的抽取方法共有多少种？ (2)从这12张牌中随机抽取3张，求小王和大王2张中至少有1张被抽到，且红桃A没有被抽到的不同抽取方法共有多少种？ (3)将红桃5到红桃10这6张扑克牌摆成一排，使得红桃9和红桃10相邻，且红桃5、红桃6、红桃7恰有两张相邻，求不同的摆放方法共有多少种？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【分析】（1）从大小王中选一个，有2种方式，然后从剩余9张中选1张，根据乘法原理，计算即可; （2）考虑抽到2张王和1张非红桃A的牌，以及抽到1张王和2张非红桃A的牌两种情况，计算后相加; （3）红桃9和红桃10捆绑，红桃5、6、7选2张捆绑在一起，再利用插空法计算，即可得出结果. 【详解】（1）若小王和大王有且只有一个被抽到，其抽取方法有2种， 又红桃被抽到，则在剩余的9张牌中随机抽取1张，其抽取方法有9种，则不同的抽取方法共有种． （2）根据题意，分2种情况讨论： ①小王和大王2张都被抽到，且红桃A没有被抽到，不同的抽取方法有种， ②小王和大王2张中有且只有1张被抽到，且红桃A没有被抽到，不同的抽取方法有种． 则共有种不同的抽取方法． （3）第一步：将红桃9和红桃10捆绑在一起有种方法， 第二步：将红桃5，红桃6，红桃7抽出2张捆绑在一起有种方法， 第三步：将红桃9，10组成的整体与红桃8排，共有中排法， 第四步：将红桃种组成的两部分插空到第三步排列形成的三个空中，有种， 故共有种． 一、单选题 1．某公司举办了教职工运动会，设置了三大类项目：个人项目､集体项目､趣味项目，其中个人项目包括100米､200米､1000米三种比赛，集体项目只有4*100米接力赛，趣味项目包括嘉嘉传真情､跳跳一家亲两种比赛.该公司一名员工从这三类项目中只选两类且每类项目中只能选一种比赛参加，则该员工共有（    ）种不同的选法. A．6 B．7 C．11 D．14 【答案】C 【分析】根据题意列式求解即可. 【详解】由题意知种. 故选：C. 2．给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．48 B．60 C．72 D．84 【答案】C 【分析】分为同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案. 【详解】由题意知，与任意一点均不同色. 只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为； 用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色. 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为； 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为. 根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为. 故选：C 二、多选题 3．某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】按照乙安排在周一和乙不安排在周一分类讨论求解判断CD，先求出所有的排法，然后排除甲排在周一及乙排在周三的情况求解判断B，先求出周一不安排甲的排法数,再排除乙排在周三的情况求解判断A. 【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法． 当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法； 当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确． （2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法， 其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的， 故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确. 故选：ABD 三、填空题 4．3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的概率为 ． 【答案】/0.7 【分析】根据排列数求3名男同学、2名女同学排成一行与至多2名男生相邻的方法总数，在利用古典概型公式求解概率即可. 【详解】解：3名男同学、2名女同学排成一行的总的方法数为：， 则至多2名男生相邻的方法总数为：， 所以多2名男生相邻的概率为. 故答案为：. 四、解答题 5．解方程： 【答案】 【分析】先由题意求得且，再根据排列公式展开求解即可. 【详解】解：由题意可得 ，解得且， 原方程化为， 即， 因为且， 所以， 所以， 即， 因为且， 所以. 身高各不相同的六位同学站成一排照相， (1)A与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答） (2)三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答） 【答案】(1)480 (2)120 【分析】（1）先排其余4人，再利用插空法分析运算； （2）先对人全排列，再根据部分定序问题运算求解. 【详解】（1）先排列除A与外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空， 利用插空法将A和插入5个空，有种方法， 所以共有种方法. （2）对6个人全排列有种方法，全排列有种方法， 则从左到右按高到矮的排列有种方法. / 学科网（北京）股份有限公司 $$