暑假作业02 组合（巩固培优）高二数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 组合 1.组合数常用公式 (1)k=n. (2)++…++=. 2.解决组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理. (7)分排问题直排处理. (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (9)构造模型. (10)正难则反,等价转化. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 2．若，则的值可能为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 3．6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取3件检查，则抽到2件正品的概率为（    ） A． B． C． D． 4．从甲乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲乙不同时入选有（    ）种情况 A． B． C． D． 5．若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（    ） A． B． C． D． 6．中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等名航天员都去开展实验，三舱中每个舱至少一人，且甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．以上都不对 二、多选题 7．下面几个问题中是组合问题的有（　　） A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成无重复数字的两位数 D．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数（假设票价只与距离有关） 8．下列四个关系式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有 种（用数字作答）． 10．已知（），则 . 四、解答题 11．计算下列各式． (1)； (2)； (3)解方程：.. 一、单选题 1．某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头LED灯出现故障都是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．432 二、多选题 3．6名学生站成一排照相留念，其中男同学4名，女同学2名，则下面正确的有（    ） A．两位女生必须相邻的站法有120种 B．两个女生不相邻的站法有480种 C．有5个不同的拍照工具只分发给4名男生，每名男生至少1个，则不同的分发方法有240种 D．现有16个相同口罩全部发给这6名学生，每名学生至少发2个口罩，则不同发放方法有126种 三、填空题 4．用组成四位数，数字最多用次，其中，则满足条件的四位数共有 个． 四、解答题 5．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广. (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，. 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 组合 1.组合数常用公式 (1)k=n. (2)++…++=. 2.解决组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理. (7)分排问题直排处理. (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (9)构造模型. (10)正难则反,等价转化. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 【答案】D 【分析】根据组合数公式的性质求解即可. 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：D. 2．若，则的值可能为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】AD 【分析】根据组合数的计算以及性质即可求解. 【详解】因为，故为2或7， 故选：． 3．6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取3件检查，则抽到2件正品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合组合数的计算公式，以及古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从6件产品任取3件，共有种不同的取法； 其中抽到的3件产品中，恰有2件正品，有种不同的取法， 所以其概率为. 故选：B. 4．从甲乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲乙不同时入选有（    ）种情况 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用组合数的运算和间接法求解即可. 【详解】若随机选3名，则有种情况，其中甲乙同时入选有种情况， 甲乙不同时入选有种情况. 故选：C. 5．若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出甲单独去分配的社区，甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，从而得到总的分配方法，再计算出甲乙分配到同一舍去的方法，得到乙与甲分配到不同社区的方法，根据古典概型求概率公式进行计算. 【详解】甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有种方法； 甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有种方法； 其中甲乙分配到同一社区的方法有种， 则乙与甲分配到不同社区的方法有种， 所以乙与甲分配到不同社区的概率是 故选：B 6．中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等名航天员都去开展实验，三舱中每个舱至少一人，且甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．以上都不对 【答案】B 【分析】利用间接法，：先考虑将四人分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组人分配给三个舱；其次考虑虑甲、乙两人在同一舱时，分配的方法种数，作差可得结果. 【详解】利用间接法：先考虑将四人分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组人分配给三个舱， 不同的分配方法种数为； 然后考虑甲、乙两人在同一舱的情形，只需将另外两人分成两组，每组一人，再将这三组人分配给三个舱， 此时，不同的分配方法种数为种. 综上所述，甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法种数为种. 故选：B. 二、多选题 7．下面几个问题中是组合问题的有（　　） A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成无重复数字的两位数 D．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数（假设票价只与距离有关） 【答案】ABD 【分析】根据组合的定义一一分析即可. 【详解】对A：选项中集合的元素可以是无序的，故A选项为组合问题； 对B：选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，故B选项为组合问题； 对C：如与为不同的数字，故需要考虑顺序，故C选项为排列问题； 对D：由甲到乙或乙到甲的距离是相同的，故此时票价相同，故D选项为组合问题. 故选：ABD. 8．下列四个关系式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据排列数的计算可判断A,B,根据组合数的计算以及性质可求解C,D. 【详解】,故A错误，，故B对， ,故C对， 由可得：，故D错误 故选：BC 三、填空题 9．某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有 种（用数字作答）． 【答案】20 【分析】先分为两组，再利用全排列知识求解. 【详解】由题意得，5位学生中有3位学生选取同一名导师， 先将5人分为2组，一组3人，一组2人，再将2组对应两名导师， 故有种方案. 故答案为：20 10．已知（），则 . 【答案】8 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解. 【详解】由组合数性质知，，因为，所以， 所以，得. 故答案为：8. 四、解答题 11．计算下列各式． (1)； (2)； (3)解方程：. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由排列数的定义即可算得； （2）由排列数的定义即可算得，注意提取公因式约分； （3）组合数的性质可知可知或，由此解得. 【详解】（1）由排列数的定义可得； （2）由排列数的定义可得； （3）由组合数的性质可知或，解得或， 验证发现其满足，故原方程的解为或. 一、单选题 1．某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头LED灯出现故障都是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出横向、纵向相邻的LED灯总对数，再应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】每列相邻的LED灯共4对，共有5列，故横向相邻有种；同理纵向相邻也有种， 所以这2头故障LED灯相邻的概率为． 故选：A 2．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．432 【答案】C 【分析】先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分到三个检测点，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，由乘法原理计算可得． 【详解】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案. 故选：C. 二、多选题 3．6名学生站成一排照相留念，其中男同学4名，女同学2名，则下面正确的有（    ） A．两位女生必须相邻的站法有120种 B．两个女生不相邻的站法有480种 C．有5个不同的拍照工具只分发给4名男生，每名男生至少1个，则不同的分发方法有240种 D．现有16个相同口罩全部发给这6名学生，每名学生至少发2个口罩，则不同发放方法有126种 【答案】BCD 【分析】利用捆绑法判断A，利用插空法判断B，先分组、再分配，即可判断C，首先没人发1个口罩，再利用隔板法计算剩下的10个口罩发放方法数，即可判断D. 【详解】对于A，两位女生必须相邻的站法有种，故A错误； 对于B，两个女生不相邻的站法有种，故B正确； 对于C，有5个不同的拍照工具只分发给4名男生，每名男生至少1个， 则不同的分发方法有种，故C正确； 对于D，每名学生先发1个口罩，剩余的10个口罩再分给6名学生，每人至少1个， 再利用隔板法，10个口罩9个空位，插入5个挡板，分成6组即可， 则不同发放方法有种，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 4．用组成四位数，数字最多用次，其中，则满足条件的四位数共有 个． 【答案】 【分析】分四个不同数字各出现一次，一个数字出现两次，一个数字出现三次，两个不同数字各出现两次和一个数字出现四次，五种情况讨论即可. 【详解】当四个不同数字各出现一次时，有个； 当一个数字出现两次，其他两个数字各出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现三次，另一个数字出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当两个不同数字各出现两次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现四次时，则仅有数字符合条件，则有个， 综上所述，满足条件的四位数共有个. 故答案为：. 四、解答题 5．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广. (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）按题中定义计算即可； （2）由定义可知m是正整数，所以只需要判断①；②中的、、是否只能是整数即可； （3）分类讨论、、三种情况，其中当时可将的分子转换为正数进行计算证明. 【详解】（1）. （2）性质①不能推广，例如当时，有定义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，是正整数， 证明：当时，有， 当时， （3）证明：当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以 因为组合数是正整数，所以. 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】(1)256(种) (2)24(种) (3)144(种) (4)12(种) 【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可； （2）根据排列的定义求解即可； （3）（方法1）先将4个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，结合排列组合知识求解；（方法2）利用捆绑法结合排列组合知识求解； （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解. 【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法. （2）这是全排列问题，共有(种)放法. （3）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个 盒子，有种投放方法，故共有(种)放法. （方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法， 所以共有(种)放法. （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球， 余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题， 故共有(种)放法. （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法， 由分步计数原理得，共有(种)放法. / 学科网（北京）股份有限公司 $$