暑假作业05 向量的数量积（巩固培优）高一数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 向量的数量积 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b， (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0； (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．15 2．设为坐标原点，、，则（    ） A． B．4 C． D．6 3．如图，在平行四边形中，已知，则的值是（    ） A．44 B．22 C．24 D．72 4．已知向量，，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知四边形是边长为2的菱形，，，分别是，上的点（不含端点），且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知是两个不共线的向量，且的最小值为，且对任意的，的最小值为1，的最小值为2，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D．5 二、多选题 7．下列命题正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．是向量的必要不充分条件 C．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 D．空间中任意两个向量，，则一定成立 8．已知平面向量的夹角为，且，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 9．设向量，且，则 10．已知向量，为单位向量，，则向量的坐标为 .（写出一个即可） 四、解答题 11．已知. (1)求和的夹角； (2)若向量为在上的投影向量，求.. 一、单选题 1．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知向量，则下列命题中真命题为（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 三、填空题 4．已知平面向量，满足，则向量的夹角为 . 四、解答题 5．已知向量，，向量与夹角为. (1)求； (2)求在上的投影. 已知平面向量，且． (1)求和； (2)若，求向量与向量的夹角的大小． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 向量的数量积 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b， (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0； (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．15 【答案】B 【分析】根据向量垂直的判断条件列方程，求解即得. 【详解】由，可得，解得. 故选：B. 2．设为坐标原点，、，则（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】运用平面向量数量积的坐标表示公式和平面向量数量积的运算性质求解即可. 【详解】， 故选：B 3．如图，在平行四边形中，已知，则的值是（    ） A．44 B．22 C．24 D．72 【答案】B 【分析】以为基底分别表示出，再利用平面向量数量积的运算律即可解出． 【详解】因为，所以，，而，所以， ，化简得：，即． 故选：B． 4．已知向量，，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据得出答案. 【详解】 故选：C 5．已知四边形是边长为2的菱形，，，分别是，上的点（不含端点），且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出A,B,C,D的坐标，从而得相关向量的坐标，再，设，进而得，坐标，利用公式计算，再转化为关于 的二次函数，求解最值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由是边长为2的菱形且，可得，，，， 所以，． 因为，所以，设，则， 则， ， 所以， 因为，所以， 故选：A． 6．已知是两个不共线的向量，且的最小值为，且对任意的，的最小值为1，的最小值为2，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设的夹角为，由题得可得，，可得，结合，可得到，由即可求得最小值. 【详解】设的夹角为，的最小值为，所以， 因为的最小值为1, 的最小值为2， 所以，，两式相乘可得，所以（*）， 又，结合（*）可得， 所以，所以， 解得，所以，所以，所以的最小值为. .故选：B. 二、多选题 7．下列命题正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．是向量的必要不充分条件 C．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 D．空间中任意两个向量，，则一定成立 【答案】AB 【分析】根据零向量及向量共线的性质直接可判断AC选项，根据向量的定义可判断B选项，根据向量的数量积公式可判断D选项. 【详解】A选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A选项正确； B选项：向量是即有方向又有大小的量，若，与反向，不一定成立，若，则，故B选项正确； C选项：向量与向量是共线向量，则与方向相同或相反，点，，，可能在同一条直线上，也可能组成平行四边形，故C选项错误； D选项：由，，，所以与不一定相等，D选项错误； 故选：AB. 8．已知平面向量的夹角为，且，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】对于A：判断是否等于0即可；对于B、C：利用数量积的运算律计算即可；对于D：先计算，再利用投影向量公式计算即可； 【详解】由题意得， 对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：， 则在上的投影向量为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题 9．设向量，且，则 【答案】 【分析】依题意可得，根据向量数量积的坐标表示计算可得； 【详解】解：因为，且， 所以，解得 故答案为： 10．已知向量，为单位向量，，则向量的坐标为 .（写出一个即可） 【答案】（或者） 【分析】设，根据向量垂直的坐标表示结合模长公式列式求解即可. 【详解】设， 由题意可得：，解得或， 所以或. 故答案为：（或者）. 四、解答题 11．已知. (1)求和的夹角； (2)若向量为在上的投影向量，求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据题意，求得向量，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由向量， 则，解得， 设向量和的夹角为，则，所以， 所以向量和的夹角为. （2）解：向量为在上的投影向量，可得， 则. 一、单选题 1．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】以为坐标原点建系，结合向量的数量积求解即可. 【详解】 结合题意知，， 设 因为 所以 所以 所以 故选：C. 2．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，然后结合欧拉线、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】是三角形的重心，所以， ，A错误. 根据欧拉线的知识可知，B选项正确. ，所以C选项正确. ，所以D选项正确. 故选：A 二、多选题 3．已知向量，则下列命题中真命题为（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的坐标表示对每个选项一一分析. 【详解】对A，因为，所以， 解得或，当时，，满足题意， 当时，，满足题意，故A正确； 对B，因为，所以，解得，故B错； 对C，时，，则， 所以，故C正确； 对D，时，， 则向量在向量上的投影为， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 4．已知平面向量，满足，则向量的夹角为 . 【答案】 【解析】首先化简得到，再计算即可得到. 【详解】，，解得. 因为，所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，同时考查了向量数量积的运算，属于简单题. 四、解答题 5．已知向量，，向量与夹角为. (1)求； (2)求在上的投影. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量夹角的坐标表示求得. （2）根据向量投影的计算公式，计算出在上的投影. 【详解】（1）. （2）在上的投影为. 已知平面向量，且． (1)求和； (2)若，求向量与向量的夹角的大小． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据平面向量平行，垂直的坐标表示，代入计算，即可解出； （2）求出向量，，再根据平面向量的夹角公式，结合坐标运算，即可解出. 【详解】（1）因为，则，所以. 因为，则，所以. 所以，； （2）因为，， 所以． 设与向量的夹角为，则 ， 因为，所以，即与的夹角为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$