专题02 集合及其逻辑用语、不等式4大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题02 集合及其逻辑用语、不等式 题型概览 题型01集合的运算 题型02充分条件与必要条件 题型03命题的否定和均值不等式 题型04集合的综合应用 ( 题型01 ) 集合的运算 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京·期末）设集合，，若，则实数的值为 A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京通州·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·北京怀柔·期末）集合， ，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·北京·期末）已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（    ） A． B．{–3，–2，2，3） C．{–2，0，2} D．{–2，2} 9．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·北京东城·期末）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·北京朝阳·期末）设集合，，则=（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高二下·北京延庆·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 充分条件与必要条件 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知数列是等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二下·北京昌平·期末）设，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（23-24高二下·北京东城·期末）已知函数，则“”是“为的极小值点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高二下·北京·期末）设为等比数列，若，，，，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（22-23高二下·北京·期中）设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（22-23高二下·北京延庆·期末）如果函数在区间上连续，在区间内可导，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2019高三·北京·专题练习）设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 12．（23-24高二下·北京·期末）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 命题的否定和均值不等式 1．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知命题：，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高二下·北京·期末）已知命题p：“”，则为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京昌平·期末）若，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（22-23高二下·北京延庆·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京丰台·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 6．（23-24高二下·北京昌平·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 7．（23-24高二下·北京东城·期末）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二下·北京延庆·期末）已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高二下·北京延庆·期末）函数的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 11．（23-24高二下·北京通州·期末）不等式的解集是 ． 12．（23-24高二下·北京·期末）命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为 ． 13．（23-24高二下·北京·期末）已知的最大值为 ． 集合的综合应用 1．（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知非空集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 2．（23-24高二下·北京·期末）已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． (1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． (2)若集合是集合的一个元基底，证明：； (3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 3．（23-24高二下·北京·期末）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，定义，，以及． (1)若，，，，求； (2)若，均为中的元素，且，，求的最大值； (3)若均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值． 4．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有． (1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； (2)若集合，具有性质，且，，求证：； (3)若存在集合，具有性质，求的最大值． 5．（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． (1)分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由； (2)若数集A具有性质P． ①当时，证明，且成等比数列； ②证明：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合及其逻辑用语、不等式 题型概览 题型01集合的运算 题型02充分条件与必要条件 题型03命题的否定和均值不等式 题型04集合的综合应用 ( 题型01 ) 集合的运算 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，所以. 故选：A 2．（23-24高二下·北京·期末）设集合，，若，则实数的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：因为集合，，且， 所以1,4是方程的根，所以p=1×4=4，故选B． 考点：本题主要考查集合的运算． 点评：简单题，直接按补集的定义及韦达定理建立p的方程． 3．（23-24高二下·北京·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合， 所以解不等式可得：， 所以， 所以. 故选：A. 4．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，在数轴上表示出集合，如图所示， 则. 故选：D. 5．（23-24高二下·北京通州·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：D 6．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 故选：D. 7．（23-24高二下·北京怀柔·期末）集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：A. 8．（23-24高二下·北京·期末）已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（    ） A． B．{–3，–2，2，3） C．{–2，0，2} D．{–2，2} 【答案】D 【详解】因为， 或， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题. 9．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，而， 所以. 故选：B 10．（23-24高二下·北京东城·期末）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意或，但是，所以，， 因为，所以. 故选：B. 11．（23-24高二下·北京朝阳·期末）设集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】故， 故, . 故选：B. 12．（22-23高二下·北京延庆·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：，或. 可得，故B错误； 可得或，可知集合不是集合的子集，故AC错误； 可得，故D正确. 故选：D. ( 题型02 ) 充分条件与必要条件 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 由，可得圆心，半径， 又， 当且仅当时，等号成立， 此时， 由等面积可得点到直线的距离， 又点到直线的距离， 解得，， 因此“”是“的面积取得最大值”的充分必要条件. 故选：C. 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：等差数列的前项和为， 前项和可看做关于的函数，若有最大值，则不满足充分性； 必要性：等差数列的前项和为，若、公差，则等差数列每一项都是负数，显然取到最大值，必要性成立. 故选：B. 3．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】时，对应点在虚轴上，充分性成立， 当复数对应的点在虚轴上，一定有，必要性成立， “”是“复数对应的点在虚轴上”的充分必要条件． 故选：C． 4．（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 反之，，，，取，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知数列是等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】， 而，所以，充分性成立； 反过来若，若，则一定有， 所以，，故，必要性成立； 也就是说，已知数列是等比数列，则“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 6．（23-24高二下·北京昌平·期末）设，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由可以得到，故充分性成立， 当，时满足，但是推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 7．（23-24高二下·北京东城·期末）已知函数，则“”是“为的极小值点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题设，， 若，则，故上，上， 所以在上递增，上递减，故为的极小值点，从而条件是充分的； 当，时，有，则， 显然上，上， 所以在上递减，上递增， 此时为的极小值点，但此时并不成立，从而条件不是必要的. 故选：A. 8．（23-24高二下·北京·期末）设为等比数列，若，，，，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】根据等比数列的性质设为等比数列，若，，，，则 ，反过来设数列为常数列1，1，1，1……,任意两项的积相等，但项数和不等，所以不必要，那么为等比数列，若，，，，则是的充分不必要条件,选A. 9．（22-23高二下·北京·期中）设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，数列不一定是递增数列， 例如, , ； 当数列为递增数列时，也不一定成立，例如，此时单调递增， 所以“”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 10．（22-23高二下·北京延庆·期末）如果函数在区间上连续，在区间内可导，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为函数在区间上连续，在区间内可导， 若，例如，则符合题意， 但在上不单调，即充分性不成立； 若在上单调递增，即在上单调递增， 可得，即必要性成立； 综上所述：“”是“在上单调递增”的必要而不充分条件. 故选：B. 11．（23-24高二下·北京·期末）设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当m＜0时，不等式m+＞4不成立， 当m＞0时，m+≥2=4，当且仅当m=，即m=2时，取等号， A．当m=2时，满足m＞0，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件， B．当m=2时，满足m＞1，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件， C．当m＞2时，不等式m+＞4成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件． D．当m=2时，满足m≥2，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件， 故选C． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键． 12．（23-24高二下·北京·期末）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“”为真命题，可化为“”恒成立， 即只需， 所以命题“”为真命题的一个充要条件是， 而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集， 由选项可知A符合题意. 故选:A. ( 题型03 ) 命题的否定和均值不等式 1．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知命题：，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】方法一：使用命题取否定的通法： 将命题的特称量词改为全称量词，论域不变，结论改为其否定的结论. 得到命题的否定是：，. 方法二：命题的含义是，存在一个上的实数满足. 那么要使该结论不成立，正是要让每个上的实数都不满足. 也就是对任意的上的实数，都有. 所以的否定是：，. 故选：B. 2．（23-24高二下·北京·期末）已知命题p：“”，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】特称命题的否定是全称命题． 命题p：“”，的否定为：． 故选：C． 3．（23-24高二下·北京昌平·期末）若，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】:，, 故选：A 4．（22-23高二下·北京延庆·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：命题“”的否定是“”. 故选：B. 5．（23-24高二下·北京丰台·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 【答案】C 【详解】∵， 所以，当且仅当时等号成立， ，所以，当且仅当时取等号， 故选：C． 6．（23-24高二下·北京昌平·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最大值为， 故选：B 7．（23-24高二下·北京东城·期末）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取，则，无意义，故ABC错误； 对于D，由指数函数在实数域上关于单调递增，且，所以，故D正确. 故选：D. 8．（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：若，满足，但是，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递减，当时，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递增，当时，故C正确； 对于D：当时，故D错误. 故选：C 9．（22-23高二下·北京延庆·期末）已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，（当且仅当时取等号），又，，故A正确； 对于B，当，时，，，则，故B错误； 对于C，当，时，，，则，故C错误； 对于D，当，时，，故D错误. 故选：A. 10．（22-23高二下·北京延庆·期末）函数的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 【答案】D 【详解】函数， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时最小值为. 故选：D. 11．（23-24高二下·北京通州·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】因为, 所以或. 故答案为： 12．（23-24高二下·北京·期末）命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为 ． 【答案】∃x0∈R，x02+2x0+2≤0 【详解】：因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为：命题“∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”． 故答案为∃x0∈R，x02+2x0+2≤0． 13．（23-24高二下·北京·期末）已知的最大值为 ． 【答案】 【详解】由基本不等式得. 故答案为：1 集合的综合应用 1．（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知非空集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，即，解得或， 所以或， 当时， 所以. （2）若，则，又非空集合，则， 所以，又或， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 2．（23-24高二下·北京·期末）已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． (1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． (2)若集合是集合的一个元基底，证明：； (3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 【详解】（1）①不是的一个二元基底. 理由是； ②是的一个二元基底. 理由是， . （2）不妨设，则 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数至多有个； 形如 的正整数至多有个. 又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底. 故，即. （3）由（2）可知，所以. 当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设为的一个4元基底， 不妨设，则. 当时，有，这时或. 如果，则由，与结论*矛盾. 如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，均不可能是的4元基底. 当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可. 综上，的最小可能值为5. 3．（23-24高二下·北京·期末）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，定义，，以及． (1)若，，，，求； (2)若，均为中的元素，且，，求的最大值； (3)若均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值． 【详解】（1）设，则由，，知. 所以，得. 而，故，从而. 所以. （2）由已知有，， 这些条件的含义是，都恰有个分量等于，且任意两个不同向量没有同时为的分量. 由于，故一共只有个分量，这表明全体的所有分量中，至多有个. 而显然一共有个，故，得. 显然，，满足条件，此时. 这就说明的最大值是. （3）由，，知，. 而条件的含义是，在序列中，任意一对相邻的向量都恰有个分量不相等. 根据题目内容，已有. 若，则，，且恰有个分量不相等，恰有个分量不相等. 换言之，恰有个分量相等，恰有个分量相等. 而，故一定存在，使得的第个分量不相等，的第个分量也不相等. 这就表明的第个分量相等，但，，它们没有相等的分量，矛盾； 这就表明. 注意到，，，满足全部条件，此时. 所以的最小值是. 4．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有． (1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； (2)若集合，具有性质，且，，求证：； (3)若存在集合，具有性质，求的最大值． 【详解】（1）所有的集合为，，； （2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①， 记“对任意不相等的，，都有”为条件②． 由条件②得． 由，和条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 所以，即 （3）的最大值为32．证明如下： 一方面，当时，可构造集合， 具有性质； 另一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，． 证明如下： 由（2）知，，且当，时，， 此时不存在具有性质的集合，． 由条件①得2，3不能同时属于集合． 下面讨论2和3一个属于集合，一个属于集合的情况： （1）当，时，由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即，． 因为，，，， 由条件②得，， 即，． 由条件①得，，即，． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． （2）当，时，由条件②得4，5不能同时属于集合， 下面分三种情形： 情形一：若，，由条件①得，即． 由条件②得，，即，． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形二：若，，由条件①得，， 即，． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形三：若，，由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合， 综上，的最大值为32． 5．（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． (1)分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由； (2)若数集A具有性质P． ①当时，证明，且成等比数列； ②证明：． 【详解】（1）数集具有性质，不具有性质，理由如下： 因为，，，，，都属于数集，所以具有性质； 因为，都不属于数集，所以不具有性质． （2）①当时，，． 因为，所以，，所以与都不属于A， 因此，，所以． 因为，且，所以， 且，所以，所以成等比数列． ②因为具有性质，所以，至少有一个属于A， 因为，所以，，因此，． 因为，所以（）， 故当时，，，（）， 又因为， 则，，，，， 可得， 所以. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$