暑假作业07 二元一次方程（组）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（人教版2024）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 二元一次方程（组） 1、 二元一次方程 1. 二元一次方程的定义：含有 2个未知数，且含有未知数的项的次数是 1 的整式方程叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值是二元一次方程的解。二元一次方程有无数组解。 3. 解二元一次方程：求出二元一次方程的解的过程。 2、 二元一次方程组： 1. 二元一次方程组的定义：方程组中含有 2 个未知数，且未知数的项的次数都是 1的整式方程组叫做二元一次方程组。常见的二元一次方程组就是两个含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组。 2. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程同时成立的未知数的值叫做二元一次方程组的解。 3. 解二元一次方程组：求出二元一次方程组的解的过程。常用的方法有带入消元法和加减消元法。 （1）代入消元法：具体步骤： ①变形：即把其中一个方程中一个未知数用另一个未知数表示出来。 ②代入：将变形得到的式子代入另一个方程。得到消元后的一元一次方程。 ③求解：解消元后的一元一次方程。 ④回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值。 ⑤写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 注意：代入消元法多使用于方程组中未知数系数为±1时的方程，有直接代入，变形代入与整体代入。 （2）加减消元法：在二元一次方程组的两个方程中，若同一个未知数的系数相等或互为相反数 时，把这两个方程分别相减或相加 就能消除这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。 具体步骤： ①变形：把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成相等或互为相反数。 ②加减：当方程组中同一个未知数的系数化相等时，则把两个方程相减 ，当方程组中同一个未知数的系数化为相反数时，则把两个方程相加。消元得到一元一次方程。 ③求解：解一元一次方程得到其中一个未知数的值。 ④回代：将求出的未知数的值带入其中任意一个方程求另一个未知数的值。 ⑤写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．在下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（　　） A．m＝0，n＝2 B．m＝0，n＝﹣2 C．m＝2，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝1 3．已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 4．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 5．若|x﹣y﹣2|+（2x+y﹣4）2＝0，则x，y的值是（　　） A． B． C． D． 6．已知关于x，y的方程组，若x﹣2y＝1，则k的值为（　　） A． B． C． D． 7．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+2y＝8的解，则常数m的值为 　 　 ． 8．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则a＝　0.25　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． 9．解方程组： （1）； （2）． 10．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”． （1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值； （3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值． 1．已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么2a+b值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝a+3的解； ②若2x+y＝3，则a＝﹣1； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．对实数x，y定义一种新的运算G，规定G（x，y）＝mx+ny，例如：G（1，4）＝m+4n，若G（2，3）＝8，G（3，2）＝2，则　 　 ． 4．对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为4＞3，所以，x*y＝mx+ny+1，m，n为常数，若4*（﹣1）＝1，1*2＝4，则m◆n＝　 　 ． 5．规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c有无数组解，每组解记为M（x，y），称M（x，y）为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，回答下列问题： （1）已知A（﹣1，3），B（4，﹣1），C（1，2），则是“合作线”2x+3y＝8的“团结点”的是 　 　 ； （2）设P（1，﹣1），Q（4，4）是“合作线”（m2+1）x+ny＝8的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解； （3）已知h，t是实数，且，若是“合作线”2x﹣4y＝s的一个“团结点”，求s的最大值与最小值的和． 1．对于实数a，我们定义如下运算：若a为非负数，则[a]＝a；若a为负数，则[a]＝a．例如：[1]＝1，[﹣0.5]＝﹣0.50．则方程组的解为 　 ． 2．阅读与思考： 【阅读材料】： 把y＝ax+b（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝ax+b中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝4x﹣9化为x＝4x﹣9，其“完美值”为x＝3． 【任务】： （1）求“雅系二元一次方程”y＝2x﹣8的“完美值”； （2）x＝﹣8是“雅系二元一次方程的“完美值”，求m的值； （3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4n+1（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 二元一次方程（组） 1、 二元一次方程 1. 二元一次方程的定义：含有 2个未知数，且含有未知数的项的次数是 1 的整式方程叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值是二元一次方程的解。二元一次方程有无数组解。 3. 解二元一次方程：求出二元一次方程的解的过程。 2、 二元一次方程组： 1. 二元一次方程组的定义：方程组中含有 2 个未知数，且未知数的项的次数都是 1的整式方程组叫做二元一次方程组。常见的二元一次方程组就是两个含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组。 2. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程同时成立的未知数的值叫做二元一次方程组的解。 3. 解二元一次方程组：求出二元一次方程组的解的过程。常用的方法有带入消元法和加减消元法。 （1）代入消元法：具体步骤： ①变形：即把其中一个方程中一个未知数用另一个未知数表示出来。 ②代入：将变形得到的式子代入另一个方程。得到消元后的一元一次方程。 ③求解：解消元后的一元一次方程。 ④回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值。 ⑤写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 注意：代入消元法多使用于方程组中未知数系数为±1时的方程，有直接代入，变形代入与整体代入。 （2）加减消元法：在二元一次方程组的两个方程中，若同一个未知数的系数相等或互为相反数 时，把这两个方程分别相减或相加 就能消除这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。 具体步骤： ①变形：把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成相等或互为相反数。 ②加减：当方程组中同一个未知数的系数化相等时，则把两个方程相减 ，当方程组中同一个未知数的系数化为相反数时，则把两个方程相加。消元得到一元一次方程。 ③求解：解一元一次方程得到其中一个未知数的值。 ④回代：将求出的未知数的值带入其中任意一个方程求另一个未知数的值。 ⑤写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．在下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、该方程组属于二元二次方程组，不符合题意； B、该方程组中的第一个方程不是整式方程，不符合题意； C、该方程组符号二元二次方程组的定义，不符合题意； D、该方程组属于二元一次方程组，符合题意． 故选：D． 2．若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（　　） A．m＝0，n＝2 B．m＝0，n＝﹣2 C．m＝2，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝1 【答案】A 【解答】解：根据题意得m+1＝1，2n﹣3＝1， 解得m＝0，n＝2， 故选：A． 3．已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 【答案】B 【解答】解：把代入mx+ny＝7得：2m+3n＝7， ∴4m+6n﹣3 ＝2（2m+3n）﹣3 ＝2×7﹣3 ＝14﹣3 ＝11， 故选：B． 4．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：， ①﹣②得2x﹣2y＝2m+6， ∴x﹣y＝m+3， 代入x﹣y＝4，可得m+3＝4， 解得：m＝1， 故选：C． 5．若|x﹣y﹣2|+（2x+y﹣4）2＝0，则x，y的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵|x﹣y﹣2|+（2x+y﹣4）2＝0， ∴， ①+②得：3x﹣6＝0， 解得：x＝2， 将x＝2代入①得：y＝0， ∴方程组的解为． 故选：D． 6．已知关于x，y的方程组，若x﹣2y＝1，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：， ②﹣①，得2x﹣4y＝﹣4k+3， ∴x﹣2y， ∵x﹣2y＝1， ∴， 解得k， 故选：A． 7．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+2y＝8的解，则常数m的值为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：， ①+②得：x＝2m， 把x＝2m代入②得：y＝m， 把x＝2m，y＝m代入x+2y＝8得： 2m+2m＝8， 4m＝8， m＝2， 故答案为：2． 8．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则a＝　0.25　 ，b＝　0.75　 ，c＝　﹣3　 ． 【答案】0.25，0.75，﹣3． 【解答】解：∵解方程组时，甲同学正确解得， ∴， 解得c＝﹣3， ∵乙同学因把c写错而得到， ∴﹣a+3b＝2， ∴， ①+②×2，可得8b＝6， 解得b＝0.75， 把b＝0.75代入②，可得：﹣a+3×0.75＝2， 解得a＝0.25， ∴原方程组的解是， ∴a＝0.25，b＝0.75，c＝﹣3． 故答案为：0.25，0.75，﹣3． 9．解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①×2得，4x+6y＝20③， ③﹣②得，5y＝15， 解得y＝3， 把y＝3代入①得，x＝0.5， 所以方程组的解是； （2）， 方程组可化为， ①×3得，6x﹣9y＝57③， ②﹣③得，13y＝0， 解得y＝0， 把y＝0代入①得，x＝9.5， 所以方程组的解是． 10．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”． （1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值； （3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值． 【答案】（1）点A，理由见解答；（2）﹣6；（3）p＝0，q． 【解答】解：（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，理由如下： ∵， ∴， ∵2×6＝8+4， ∴点A是爱心点； ∵， ∴， ∵2×5≠8+10， ∴点B不是爱心点； （2）∵点C为爱心点， ∴， ∴n＝﹣18， 又∵2m＝8+n， ∴2m＝8+（﹣18）， 解得m＝﹣5， ∴﹣5﹣1＝a，即a＝﹣6； （3）解方程组得 ， 又∵点B是爱心点满足：， ∴， ∵2m＝8+n， ∴2 p﹣2q+2＝8+4q﹣2， 整理得：2 p﹣6q＝4， ∵p，q是有理数， ∴p＝0，﹣6q＝4， ∴p＝0，q． 1．已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么2a+b值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：， 求得， ∵关于x，y的方程组和有相同的解， 将代入， 得， 解得， ∴2a+b＝2×（﹣2）+8＝4， 故选：B． 2．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝a+3的解； ②若2x+y＝3，则a＝﹣1； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：将a＝1代入原方程组得， 解得， 将代入方程x+y＝a+3左右两边， 左边＝5﹣1＝4，右边1+3＝4， ∴当a＝1时，方程组的解也是x+y＝a+3的解，故①正确； 方程组①+②得2x+y＝6+3a， 若2x+y＝3，则6+3a＝3，解得a＝﹣1，故②正确； ∵x+2y＝6﹣3a，2x+y＝6+3a， ∴两方程相加得3x+3y＝12， ∴x+y＝4， ∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确； ∵x+y＝4， ∴x，y都为自然数的解有共5对， 故④正确． 故选：D． 3．对实数x，y定义一种新的运算G，规定G（x，y）＝mx+ny，例如：G（1，4）＝m+4n，若G（2，3）＝8，G（3，2）＝2，则　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由题意得：， ②+①得：5m+5n＝10， ∴m+n＝2， ∴2m+2n＝4， ∴； 故答案为：2． 4．对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为4＞3，所以，x*y＝mx+ny+1，m，n为常数，若4*（﹣1）＝1，1*2＝4，则m◆n＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵4*（﹣1）＝1，1*2＝4，x*y＝mx+ny+1， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为：． 5．规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c有无数组解，每组解记为M（x，y），称M（x，y）为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，回答下列问题： （1）已知A（﹣1，3），B（4，﹣1），C（1，2），则是“合作线”2x+3y＝8的“团结点”的是 　C（1，2）　 ； （2）设P（1，﹣1），Q（4，4）是“合作线”（m2+1）x+ny＝8的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解； （3）已知h，t是实数，且，若是“合作线”2x﹣4y＝s的一个“团结点”，求s的最大值与最小值的和． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将A，B，C三点坐标代入方程2x+3y＝8，只有是方程2x+3y＝8的解， ∴“合作线”的团结点的是C（1，2）． 故答案为：C（1，2）． （2）将代入P（1，﹣1），Q（4，4）方程（m2+1）x+ny＝8得： 得：． 解得：． 代入方程得：5x+6y＝26． ∴此方程的正整数解为：． （3）∵， ∴6﹣2|t|，|t|． ∵是“合作线”2x﹣4y＝s的一个“团结点”， ∴s＝24|t|． ∴s＝2（6﹣2|t|）﹣4|t|＝12﹣8|t|， 或s＝24412． ∵0，|t|≥0， ∴由s＝12﹣8|t|，可得s有最大值12． 由s＝412，可得s有最小值﹣12． ∴s的最大值与最小值的和为12﹣12＝0． 1．对于实数a，我们定义如下运算：若a为非负数，则[a]＝a；若a为负数，则[a]＝a．例如：[1]＝1，[﹣0.5]＝﹣0.50．则方程组的解为 　和　 ． 【答案】和． 【解答】解：当m﹣1≥0，n﹣2≥0，即m≥1，n≥2时， 方程组变形得：， 两方程相减得：6（n﹣2）， 解得：n， 把n代入得：m﹣14（2）＝2 解得：m， 此时方程组的解为； 当m﹣1≥0，n﹣2＜0，即m≥1，n＜2时， 方程组变形得：， 两方程相减得：6（n﹣2）， 解得：n， 把n代入得：m﹣14（2）＝2， 解得：m， 此时方程组的解为； 当m﹣1＜0，n﹣2≥0，即m＜1，n≥2时， 方程组变形得：， 两方程相减得：6（n﹣2）， 解得：n2，不符合题意，舍去； 当m﹣1＜0，n﹣2＜0，即m＜1，n＜2时， 方程组变形得：， 两方程相减得：6（n﹣2）， 解得：n， 把n代入得：m﹣14（2）＝2， 解得：m1，不符合题意，舍去， 综上所述，方程组的解为和． 2．阅读与思考： 【阅读材料】： 把y＝ax+b（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝ax+b中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝4x﹣9化为x＝4x﹣9，其“完美值”为x＝3． 【任务】： （1）求“雅系二元一次方程”y＝2x﹣8的“完美值”； （2）x＝﹣8是“雅系二元一次方程的“完美值”，求m的值； （3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4n+1（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8； （2）m＝﹣6； （3）不存在，见解析． 【解答】解：（1）解：根据定义，得x＝2x﹣8， 解得x＝8， ∴“雅系二元一次方程”y＝2x﹣8的“完美值”为8； （2）根据定义，得到， ∵x＝﹣8是“雅系二元一次方程”的“完美值”， ∴， 解得m＝﹣6； （3）不存在，理由如下： 根据定义，得， 解得， 假设存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4n+1（n是常数）的“完美值”相同， 则，无解， ∴不存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4n+1（n是常数）的“完美值”相同． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$