第03讲 幂的运算（知识梳理+3课本习题典例+10题型+过关检测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第03讲 幂的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （m，n是正整数） （2）推广：（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如与，与，与等；②可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点2 幂的乘方与积的乘方 1．幂的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n=amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 2．积的乘方 （1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n=an•bn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点3 同底数幂的除法 1．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 2．零指数幂 零指数幂：a0=1（a≠0） 由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0） 注意：00无意义． 3．负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 4.【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律  x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数-1 |x|＜1 a×10-n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点4 幂的大小比较 1.比较大小的方法 1．作差法:比较、的大小， ２．作商法：比较、的大小，当时，可以采用作商法， 2.幂的比较大小的方法 1．同底数幂的比较大小:（1）当时，指数大的大；（2）当时，指数大的反而小； （3）当底数为负数时，先把底数变为正数再比较大小. ２．异底数幂的比较大小：（1）可以化为同底数幂的先化为同底数幂，再比较； （2）不能化为同底数幂的化为同指数幂，再比较；指数相同，底数大的大 课本典例1（习题11.1第2题） 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4)  【答案】 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 【详解】(1) 题： 根据幂的乘方法则（m、n为正整数），对于，这里，，，则。(2) 题： 同样依据幂的乘方法则，对于 ，a不变，指数相乘，即。(3) 题： 按照幂的乘方法则，中x不变，指数相乘，可得。(4) 题： 先根据幂的乘方法则计算，得到 ，再根据同底数幂相乘法则（m、n为正整数），计算，即。 【点睛】明确题目是幂运算，观察式子是幂的乘方形式还是幂的乘方与同底数幂相乘的混合形式。对于幂的乘方形式，直接运用幂的乘方法则；对于混合形式，先算幂的乘方，再算同底数幂相乘。 课本典例2（习题11.1第7题） 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 【答案】(1) a； (2) （或 ）； (3) ； (4) 。 【详解】(1) 题： 先根据幂的乘方法则分别计算， ，再根据同底数幂的除法法则（，m、n为正整数， ），计算。(2) 题： 把看作一个整体，根据同底数幂的除法法则， ，再根据积的乘方法则（n为正整数）展开得。(3) 题： 先算幂的乘方， ，再算同底数幂的乘法 ，最后算同底数幂的除法。(4) 题： 先算幂的乘方，， ，然后按照从左到右的顺序进行同底数幂的除法运算， ，。 【点睛】观察式子结构，判断包含幂的乘方、同底数幂的乘除、积的乘方等哪些运算。按照先算幂的乘方，再算同底数幂的乘除的顺序进行计算，有括号的先算括号里的，对于把多项式看作整体的情况，运用相应法则计算。 课本典例3（习题11.1第8题） 用多少张边长为a的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形？试写出三个答案，并用两种方法表示新正方形的面积。从不同的表示方法中，你能发现什么？ 【答案】答案不唯一，例如：4张时：一种表示方法是4个小正方形面积之和，即；另一种是新正方形边长为2a，面积为。9张时：一种表示方法是 ；另一种是新正方形边长为3a，面积为。16张时：一种表示方法是 ；另一种是新正方形边长为4a，面积为。 发现：用（n为正整数）张边长为a的正方形硬纸卡片拼成新正方形，新正方形面积既可以表示为，也可以表示为，即，符合积的乘方法则。 【详解】要拼成新正方形，卡片数量需是一个完全平方数。当数量为4时，因为，所以新正方形边长是2个小正方形边长，即2a ，根据正方形面积公式边长边长，可得面积为；同时4个小正方形面积和为。当数量为9时，，新正方形边长为3a ，面积是 ，9个小正方形面积和是。当数量为16时，，新正方形边长为4a ，面积是 ，16个小正方形面积和是。 通过对比两种面积表示方法，可验证积的乘方法则。 【点睛】理解问题核心是探究用小正方形拼成大正方形时卡片数量、边长与面积的关系。明确要找出卡片数量为完全平方数的情况，从面积的不同计算角度（小正方形面积累加和新正方形边长求面积）去分析和表示，进而发现规律。 题型一 同底数幂相乘 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘法运算法则是关键． 根据整式的混合运算计算即可． 【详解】解：，， ∴， 故选：B ． 2．（2024·河北邯郸·二模）若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 根据同底且幂相等，则可得关于n的方程，解方程即可． 【详解】解：∵有个相加，表示为． ∴ ∴ 解得：． 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·重庆忠县·期中）规定：若实数x，y，z满足，则记作．若记，，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用，由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式． 【详解】解：由定义可知：， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）计算  的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 题型二 同底数幂乘法的逆用 6．（24-25八年级上·湖北随州·期末）若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，即，那么把，，代入即可作答． 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为： 7．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，，则的值是（  ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】B 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法可得，再将代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 8．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法的逆用法则，将变形为 然后把代入计算即可解． 【详解】解：， 把代入得 ． 故选：D． 9．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）若 ，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，代数式求值等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则的逆用公式是解题的关键：． 由同底数幂的乘法法则的逆用公式即可直接得出答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 题型三 用科学记数法表示数的乘方 10．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【答案】胡夫金字塔总重约为千克 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案． 【详解】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 12．（23-24八年级上·甘肃天水·期中）光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可． 【详解】解：米； 故答案为： 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米． 【答案】 【分析】根据路程=速度×时间，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： （米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方的运算，同底数幂相乘，科学记数法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；以及科学记数法的表示方法． 题型四 幂的乘方运算 14．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方．根据幂的乘方解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴． 故选：D． 15．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法．熟练掌握法则是解题的关键．利用幂的乘方和同底数幂相乘的法则把进行变形后，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 16．（24-25八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考幂的定义及幂的乘方运算，根据幂的定义先化简，再由幂的乘方运算法则计算即可得到答案，熟记幂的定义及幂的乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 题型五 幂的乘方的逆用 17．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算．直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故选：A． 18．（24-25八年级上·四川乐山·期末）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ． 【答案】 d a c b 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，根据题意可得，， ，，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ∵， ∴， 故答案为：d；a；c；b． 19．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方是解题的关键；由题意可得，，，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴； 故选A． 20．（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知，则a，b的大小关系是 （用“>”号连接）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的应用，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方得出指数都是11的幂，再根据底数的大小比较即可． 【详解】解：，， ∵， ∴． 故答案为： 21．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】此题要考查了同底数幂的乘法及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘法及幂的乘方的运算法则计算得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：1 题型六 积的乘方运算 22．（24-25八年级上·吉林松原·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，先根据同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可．理清指数的变化是解题的关键． 【详解】解： ． 23．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 24．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A正确； ，故选项B错误； 和不是同类项，无法进行计算，故选项C错误； 和不是同类项，无法进行计算，故选项D错误； 故选A． 25．（24-25八年级上·吉林四平·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 题型七 积的乘方的逆用 26．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，根据运算法则将式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 27．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解：原式 故选：C． 28．（24-25八年级上·北京海淀·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方，逆用积的乘方运算法则是解题的关键．逆用积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：1． 29．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方运算逆应用，解方程，含有乘方的有理数混合运算，同底数幂相乘，熟练掌握公式，运算法则是解题的关键．（1）逆用积的乘方运算法则解答即可． （2）逆用积的乘方运算法则，解方程，解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型八 同底数幂相除 30．（24-25八年级上·四川资阳·期末）若，则的值为 ． 【答案】81 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再根据幂的乘方、同底数幂的除法法则计算即可得． 【详解】解：由得：， 则 ， 故答案为：81． 31．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则 的值为（   ） A． B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则及整体代入思想，解题关键是利用幂的性质对变形后，将作为整体代入求值 ． 根据幂的运算法则对进行化简得，然后由，可得，再代入求值即可解答 【详解】 ， ∵， ∴， ∴原式， 故选：B． 32．（17-18八年级上·河南南阳·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 33．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】 我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： _____； _____； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，， 例如，． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算，写出计算过程； （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，4；（2）；（3）6 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设，，则，，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为3，4； （2）设，，则，， 因为，所以， 所以； （3）， 理由如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以． 题型九 同底数幂相除的逆用 34．（24-25八年级上·广东广州·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法逆用，熟练掌握同底数幂除法运算法则是解题的关键．逆用同底数幂除法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 35．（24-25八年级上·湖南永州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法逆用，解题的关键是熟知其运算法则． 根据同底数幂的除法逆用得到，再代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 36．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 把变形为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2． 37．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知，，则的值为（　　） A．9 B．39 C．2 D．108 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的法则，逆用法则是关键．倒用同底数幂的除法的法则，将所求的幂拆分成已知条件的幂，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 38．（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂除法及幂的乘方，将进行正确的变形是解题的关键． 利用同底数幂除法及幂的乘方法则将变形后可得，将已知数值代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 题型十 幂的混合运算 39．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法，整式的加减、积的乘方等知识点，掌握以上知识是解题的关键； 根据相关运算法则逐项判断，即可解答． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 40．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方是解题的关键．根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方解决此题． 【详解】解：A．根据幂的乘方，，故此选项符合题意； B．根据同底数幂的乘法，，故此选项不符合题意； C．根据积的乘方，，故此选项不符合题意； D．根据同底数幂的除法，，故此选项不符合题意． 故选：A． 41．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）（1）已知，，求的值． （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据已知可得得出，即可求解； （2）根据幂的运算法则进行计算，最后合并，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2） ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除运算、合并同类项以及幂的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则以及幂的乘方法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A．与不能计算，故此选项计算错误，不符合题意； B. ，故此选项计算错误，不符合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，积的乘方的逆运算，代数式求值，利用非负数的性质求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质及积的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列选项中，运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法依次对各选项中的算式进行计算即可作出判断． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算法则．熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 幂的乘方公式为，积的乘法公式为．先分别对、进行计算，再将结果相乘即可． 【详解】解：， ， ， 故选B． 6．（24-25八年级上·吉林·期中）下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则分别对各项进行运算即可． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 7．（24-25八年级上·河北保定·期末）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方．根据运算法则逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 8．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）若则的值为（   ） A．2 B．0.5 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的除法与幂的乘方的性质；把9变成3的平方，利用同底数幂的除法逆运算可以得出结果． 【详解】解： ； 故选：A． 9．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方等知识逐项判断解答即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方等知识，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 10．（24-25八年级上·北京西城·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂相乘，幂的乘方与积的乘方即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 11．（2023·湖北襄阳·模拟预测） ． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，幂的乘方和同底数幂的乘除．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如果，那么a的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法可得，从而可求出的值， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 13．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据，得到，再计算，即可解答． 本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 【详解】，， ． ． ． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算，首先逆用同底数幂的乘法法则，可得：原式，再逆用积的乘方的运算法则，可得：原式，然后再根据乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： ． 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果，那么的值为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25八年级上·福建福州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项运算法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 17．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）已知，，，求，，之间的数量关系． （2）已知是正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法． （1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方，即可得出结论； （2）根据幂的乘方与积的乘法将原式化简，再代入即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵， ∴． 18．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知n为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2)56 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）先根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则把原式变形为，再计算求解即可； （2）先根据幂的乘方计算法则求出，再把所求式子通过积的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴，， ∴ ∴ ． 19．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法， （1）将原式化为，再将代入计算即可； （2）将原式化为，再将，，代入计算即可； 掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，，， ∴ ． 20．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查了幂的运算公式的逆用，能熟练利用幂的运算公式的逆用进行求解是解题的关键． （1）由同底数幂的乘法公式逆用得，即可求解； （2）由幂的乘方及同底数幂的除法公式逆用得，即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴． ； （2）解：∵，， ∴ ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 幂的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （m，n是正整数） （2）推广：（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如与，与，与等；②可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点2 幂的乘方与积的乘方 1．幂的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n=amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 2．积的乘方 （1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n=an•bn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点3 同底数幂的除法 1．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 2．零指数幂 零指数幂：a0=1（a≠0） 由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0） 注意：00无意义． 3．负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 4.【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律  x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数-1 |x|＜1 a×10-n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点4 幂的大小比较 1.比较大小的方法 1．作差法:比较、的大小， ２．作商法：比较、的大小，当时，可以采用作商法， 2.幂的比较大小的方法 1．同底数幂的比较大小:（1）当时，指数大的大；（2）当时，指数大的反而小； （3）当底数为负数时，先把底数变为正数再比较大小. ２．异底数幂的比较大小：（1）可以化为同底数幂的先化为同底数幂，再比较； （2）不能化为同底数幂的化为同指数幂，再比较；指数相同，底数大的大 课本典例1（习题11.1第2题） 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4)  课本典例2（习题11.1第7题） 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 课本典例3（习题11.1第8题） 用多少张边长为a的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形？试写出三个答案，并用两种方法表示新正方形的面积。从不同的表示方法中，你能发现什么？ 题型一 同底数幂相乘 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·二模）若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）计算： ． 4．（24-25八年级上·重庆忠县·期中）规定：若实数x，y，z满足，则记作．若记，，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 5．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）计算  的结果是（    ） A． B． C． D． 题型二 同底数幂乘法的逆用 6．（24-25八年级上·湖北随州·期末）若，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，，则的值是（  ） A．7 B．12 C．64 D．81 8．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 9．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）若 ，，则的值为 ． 题型三 用科学记数法表示数的乘方 10．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 11．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 12．（23-24八年级上·甘肃天水·期中）光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 13．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米． 题型四 幂的乘方运算 14．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 16．（24-25八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型五 幂的乘方的逆用 17．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·四川乐山·期末）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ． 19．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知，则a，b的大小关系是 （用“>”号连接）． 21．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知，则 ． 题型六 积的乘方运算 22．（24-25八年级上·吉林松原·期中）计算：． 23．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）计算： ． 24．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·吉林四平·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七 积的乘方的逆用 26．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）计算： ． 27．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·北京海淀·期中）计算： ． 29．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 题型八 同底数幂相除 30．（24-25八年级上·四川资阳·期末）若，则的值为 ． 31．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则 的值为（   ） A． B．8 C．7 D．6 32．（17-18八年级上·河南南阳·期末）计算： ． 33．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】 我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： _____； _____； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，， 例如，． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算，写出计算过程； （3）猜想，并说明理由． 题型九 同底数幂相除的逆用 34．（24-25八年级上·广东广州·期中）若，，则 ． 35．（24-25八年级上·湖南永州·期中）已知，，则的值为 ． 36．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知，则的值为 ． 37．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知，，则的值为（　　） A．9 B．39 C．2 D．108 38．（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 题型十 幂的混合运算 39．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）（1）已知，，求的值． （2）计算：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列选项中，运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·吉林·期中）下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北保定·期末）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）若则的值为（   ） A．2 B．0.5 C．4 D．1 9．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·北京西城·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023·湖北襄阳·模拟预测） ． 12．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如果，那么a的值为 ． 13．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则的值为 ． 14．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）计算： ． 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果，那么的值为 ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·福建福州·期中）计算：． 17．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）已知，，，求，，之间的数量关系． （2）已知是正整数，且，求的值． 18．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知n为正整数，且，求的值． 19．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 20．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$