第07讲 因式分解（知识梳理+4课本习题典例+13题型+过关检测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第07讲 因式分解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：13大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解 。它是整式乘法的逆过程。例如 ，是将多项式转化为两个整式与的乘积形式。 需注意： 1. 对象是多项式。 2. 结果是整式乘积形式。 3. 要分解到每一个因式都不能再分解。 4. 公式中的字母可表示单项式或多项式。 5. 相同因式写成幂的形式。 6. 未指定范围时，一般在有理数范围内分解 。 知识点2 因式分解的方法 1. 提公因式法 定义：若多项式各项有公因式，把公因式提到括号外，将多项式写成因式乘积形式。 公因式确定：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的字母，指数取相同字母的最低次幂 。比如对于多项式，系数6和9的最大公约数是3，相同字母x最低次幂是 ，y最低次幂是y ，公因式就是 。 步骤：先找出公因式，再用原多项式除以公因式确定另一个因式。如 。若多项式第一项有负号，先提取负号 。 2. 运用公式法 逆用平方差公式： 。适用于二项式，且两项都能写成平方形式，符号相反 。例如 。 逆用完全平方公式： ， 。用于三项式，其中两项是平方项，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍 。比如 。 逆用立方和公式（拓展）： 。 逆用立方差公式（拓展）： 。 3. 分组分解法（拓展） 分组后提公因式：如 ，将多项式合理分组，使组内有公因式可提，再提公因式。 分组后运用公式：例如 ，先分组让部分可构成公式形式，再用公式分解。 4. 十字相乘法：对于二次三项式 ，可分解为 。即将常数项pq拆成两个因数p和q ，使它们的和等于一次项系数 。比如 ，常数项6可拆成 ，且（一次项系数） ，则 。 知识点3 因式分解的一般步骤 1. 先看多项式有无公因式，有则先提公因式。 2. 无公因式时，二项式考虑平方差公式，三项式尝试完全平方公式或十字相乘法。 3. 四项或四项以上多项式，常用分组分解法。 4. 持续分解，直到每个因式都不能再分解，且结果为几个整式的积的形式 。 课本典例1（习题11.5第3题） 先分解因式，再求值：，其中，，。 课本典例2（习题11.5第6题） 已知二次三项式含有一个因式，求a的值。 课本典例3（习题11.5第7题） 无论x为何实数，二次三项式的值均不小于1，为什么？ 课本典例4（习题11.5第8题） 用总长度为4a的篱笆围成一个长方形区域，相邻两边的长度相差，求篱笆所围成区域的面积。当b取何值时，篱笆所围成区域的面积最大？ 题型一 公因式 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）和的公因式是 ． 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（   ） A．x B． C． D． 题型二 提公因式法分解因式 6．（2023·广西·中考真题）分解因式： ． 7．（22-23八年级上·贵州遵义·期中）把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）已知，则的值是 ． 9．（2017·山东济宁·一模）因式分解： ． 10．（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解： ． 题型三 判断能否用公式法分解因式 11．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 13．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 题型四 平方差公式分解因式 16．（2013·江苏泰州·二模）分解因式： ． 17．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解： ． 18．（24-25七年级下·浙江·期中）分解因式： ． 19．（24-25八年级上·吉林·期末）分解因式： ． 20．（2020·江苏镇江·中考真题）分解因式： 题型五 完全平方公式分解因式 21．（2017·江苏无锡·二模）因式分解： ． 22．（24-25八年级上·山东东营·期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·吉林长春·期末）因式分解：． 24．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）分解因式：． 25．（24-25八年级上·福建泉州·期末）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（     ） A．4xy B．2xy C． D． 题型六 综合运用公式法分解因式 26．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）对于形如．的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，利用“配方法”把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)． 27．（24-25八年级上·福建泉州·期中）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成， ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 28．（17-18八年级下·四川成都·期末）因式分解： ． 题型七 综合提公因式和公式法分解因式 29．（24-25八年级上·广东广州·期中）将多项式因式分解，结果是 30．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 31．（2019·江苏徐州·二模）因式分解： ． 32．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）因式分解： ． 33．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）因式分解： ． 题型八 因式分解在有理数简算中的应用 34．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）计算 等于（    ） A． B． C． D． 35．（2024八年级上·全国·专题练习）简便计算： (1) (2)． 36．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）先将分解因式，然后当时，求A的值，并写出你对本题求值过程的感受． 37．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 38．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： ． 题型九 十字相乘法 39．（24-25八年级上·四川乐山·期末）因式分解： 40．（24-25八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 41．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 42．（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 题型十 分组分解法 43．（24-25八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 44．（24-25八年级上·重庆合川·期末）分解因式： 45．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 46．（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：． 47．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)分解因式：______． 题型十一 因式分解的应用 48．（24-25八年级上·山东济宁·期中）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（    ） A． B． C． D． 49．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 50．（24-25八年级上·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 51．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，若，则的值为 ． 题型十二 判断因式分解 52．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列各式变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25八年级上·山东济宁·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 55．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 题型十三 利用因式分解的结果求参数 56．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）若多项式可分解因式为的形式，则m的值为 ． 57．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 58．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 59．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 60．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知边长为、的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．70 B．60 C．35 D．24 2．（21-22八年级上·重庆江津·期末）已知，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）本学期学校升级学生午餐的供餐方式为自助餐．餐盘里有若干块质量相等的鸡米花，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示鸡米花的数量不可能是…（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·北京·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，，则多项式的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·四川乐山·期末）若、、是正整数，，，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（20-21九年级下·浙江·期末）因式分解： ． 12．（24-25八年级上·河南南阳·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）． 13．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 14．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）若，，则的值为 ． 15．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）因式分解： ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25八年级上·福建泉州·期末）若一个两位正整数a的十位上的数字为m，个位上的数字为n，且满足． (1)写出符合条件的所有数a； (2)若，，且p，q为正整数，求的值． 18．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路： 将“”看成一个整体，设， 则：原式 再将“”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设， 则：原式 问题： (1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解． 19．（24-25七年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） _____．（第四步） _____．（第五步） 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法） (2)在横线上继续完成对本题的因式分解． (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 20．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）计算与因式分解： (1)计算； (2)计算； (3)因式分解. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 因式分解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：13大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解 。它是整式乘法的逆过程。例如 ，是将多项式转化为两个整式与的乘积形式。 需注意： 1. 对象是多项式。 2. 结果是整式乘积形式。 3. 要分解到每一个因式都不能再分解。 4. 公式中的字母可表示单项式或多项式。 5. 相同因式写成幂的形式。 6. 未指定范围时，一般在有理数范围内分解 。 知识点2 因式分解的方法 1. 提公因式法 定义：若多项式各项有公因式，把公因式提到括号外，将多项式写成因式乘积形式。 公因式确定：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的字母，指数取相同字母的最低次幂 。比如对于多项式，系数6和9的最大公约数是3，相同字母x最低次幂是 ，y最低次幂是y ，公因式就是 。 步骤：先找出公因式，再用原多项式除以公因式确定另一个因式。如 。若多项式第一项有负号，先提取负号 。 2. 运用公式法 逆用平方差公式： 。适用于二项式，且两项都能写成平方形式，符号相反 。例如 。 逆用完全平方公式： ， 。用于三项式，其中两项是平方项，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍 。比如 。 逆用立方和公式（拓展）： 。 逆用立方差公式（拓展）： 。 3. 分组分解法（拓展） 分组后提公因式：如 ，将多项式合理分组，使组内有公因式可提，再提公因式。 分组后运用公式：例如 ，先分组让部分可构成公式形式，再用公式分解。 4. 十字相乘法：对于二次三项式 ，可分解为 。即将常数项pq拆成两个因数p和q ，使它们的和等于一次项系数 。比如 ，常数项6可拆成 ，且（一次项系数） ，则 。 知识点3 因式分解的一般步骤 1. 先看多项式有无公因式，有则先提公因式。 2. 无公因式时，二项式考虑平方差公式，三项式尝试完全平方公式或十字相乘法。 3. 四项或四项以上多项式，常用分组分解法。 4. 持续分解，直到每个因式都不能再分解，且结果为几个整式的积的形式 。 课本典例1（习题11.5第3题） 先分解因式，再求值：，其中，，。 【答案】分解因式： 代入求值：当，，时， 【解析】先将式子变形，把化为，这样两项就有公因式了，提取公因式得到 。再把a、x、y的值代入化简后的式子计算。 【点睛】本题关键在于通过变形找到公因式，运用提公因式法分解因式，再代入求值，体现了因式分解在简化计算中的作用。 课本典例2（习题11.5第6题） 已知二次三项式含有一个因式，求a的值。 【答案】因为含有因式，设，展开。 则，由得，把代入，得。 【解析】根据因式分解的意义，若有因式，则可设它分解为的形式，展开后根据对应项系数相等列方程组求解。 【点睛】本题运用了待定系数法，通过设出因式分解的形式，利用等式两边对应项系数相等来确定未知系数，是解决此类问题的常用方法。 课本典例3（习题11.5第7题） 无论x为何实数，二次三项式的值均不小于1，为什么？ 【答案】对进行配方： 因为无论x取何值，，所以，即二次三项式的值均不小于1 。 【解析】通过配方法将二次三项式转化为完全平方式加常数的形式，再根据完全平方式的非负性来判断原式的取值范围。 【点睛】配方法是处理二次多项式问题的重要方法，利用完全平方式的非负性可以解决很多与二次式取值范围相关的问题。 课本典例4（习题11.5第8题） 用总长度为4a的篱笆围成一个长方形区域，相邻两边的长度相差，求篱笆所围成区域的面积。当b取何值时，篱笆所围成区域的面积最大？ 【答案】设长方形较短边为x，则较长边为。 因为长方形周长（长 + 宽），所以， 则较长边为，面积。 因为，当时，S取得最大值。 【解析】先根据长方形周长公式求出长和宽，再根据长方形面积公式得出面积表达式，最后根据平方的非负性分析面积最大值情况。 【点睛】本题综合运用了长方形周长和面积公式，通过建立面积关于b的表达式，利用平方的性质求解最值，体现了数学知识在实际问题中的应用。 题型一 公因式 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：和的公因式的是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，根据公因式的确定方法解答即可，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是， 故选：． 3．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求多项式的公因式，根据多项式的公因式是指各项都含有的相同的因式即可得解，熟练掌握多项式的公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式的公因式是， 故选：D． 4．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）和的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．根据公因式的确定方法找出公因式即可． 【详解】解：和的公因式是， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（   ） A．x B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法是解题关键．根据和均含有即可得出答案． 【详解】解：用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是， 故选：A． 题型二 提公因式法分解因式 6．（2023·广西·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握是解题的关键． 根据提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 7．（22-23八年级上·贵州遵义·期中）把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化． 将变形为，再提公因式即可． 【详解】解： 故选：B． 8．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子中括号内的式子提出公因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．（2017·山东济宁·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提取公因式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键．利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型三 判断能否用公式法分解因式 11．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，，故选项不符合题意； B中，，故选项不符合题意； C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意； D中，，故选项不符合题意； 故选：C． 12．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 13．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次各选项分解因式，即可求解， 本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式． 【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意， B、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， C 、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， D、，应用平方差公式分解因式，符合题意， 故选：D． 14．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； B. ，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意； C. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意． 故选：B． 题型四 平方差公式分解因式 16．（2013·江苏泰州·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．直接利用平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·浙江·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，掌握是解题的关键． 直接由平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·吉林·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，利用平方差公式分解因式即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 20．（2020·江苏镇江·中考真题）分解因式： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式进行分解即可 【详解】解： 故答案为： 题型五 完全平方公式分解因式 21．（2017·江苏无锡·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 22．（24-25八年级上·山东东营·期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另－项是这两个数（或式）的积的 2 倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A，，不符合完全平方公式，故此选项错误； B，，不符合完全平方公式，故此选项错误； C，，符合完全平方公式，故此选项正确； D，，不符合完全平方公式，故此选项错误； 故选：C． 23．（24-25八年级上·吉林长春·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式分解因式，先把展开，然后合并同类项再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 24．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，原式整理后，利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 25．（24-25八年级上·福建泉州·期末）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（     ） A．4xy B．2xy C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是4xy， 故选：A． 题型六 综合运用公式法分解因式 26．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）对于形如．的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，利用“配方法”把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行配方、利用平方差公式进行因式分解，解题中注意整体法的运用． （1）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 27．（24-25八年级上·福建泉州·期中）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成， ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 ． 28．（17-18八年级下·四川成都·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解．熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用平方差、完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型七 综合提公因式和公式法分解因式 29．（24-25八年级上·广东广州·期中）将多项式因式分解，结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，然后用平方差公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 30．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式分解即可； （2）先提公因式，然后再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 31．（2019·江苏徐州·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．掌握平方差公式是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 32．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据提公因式及平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式； 故答案为． 33．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查提公因式法和公式法分解因式．先提公因式，再运用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型八 因式分解在有理数简算中的应用 34．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）计算 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握提公因式法．首先提取公因式，得到，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 35．（2024八年级上·全国·专题练习）简便计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． （1）直接提取公因式，进而求出答案； （2）将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 36．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）先将分解因式，然后当时，求A的值，并写出你对本题求值过程的感受． 【答案】，4047，感受是先分解因式后再计算本题较为简便 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法．后三项结合，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解因式即可，再将a、b的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， ， 感受是先分解因式后再计算较为简便． 37．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 38．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 题型九 十字相乘法 39．（24-25八年级上·四川乐山·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法因式分解，直接利用十字相乘法分解因式即可得答案，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 40．（24-25八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． 直接运用十字相乘法进行因式分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 41．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 42．（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数a的所有可能的值是， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为， 则； （2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 题型十 分组分解法 43．（24-25八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式； （1）把原式化为，再进一步分解因式即可； （2）把原式化为，再进一步分解因式即可； 【详解】解：（1） ； （2） ； 44．（24-25八年级上·重庆合川·期末）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键．利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 45．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用分组分解法分解即可． 【详解】解： ． 46．（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．利用分组分解法因式分解即可． 【详解】解：原式 47．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)分解因式：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2），， ． （3） ． 故答案为：． 题型十一 因式分解的应用 48．（24-25八年级上·山东济宁·期中）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，图1中，阴影部分的面积大长方形的面积长是宽是的长方形的面积长是宽是的长方形的面积边长是的正方形的面积，图2中，阴影部分的长为，宽为，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：图1中，阴影部分的面积大长方形的面积长是宽是的长方形的面积长是宽是的长方形的面积边长是的正方形的面积， ∴图1中阴影部分的面积， 图2中，阴影部分的长为，宽为， ∴图2中阴影部分的面积， ∴， 故选：D． 49．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 【答案】(1)小磊； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意，掌握题目提供的方法． （1）根据题目中提供的信息进行解答即可； （2）根据老师提供的方法进行解答即可； （3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，得出，求出m、n的值． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式是， ∴小磊同学的想法是对的； （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为： ． （3）解：根据题意得： ∴，， ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴，． 50．（24-25八年级上·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值20 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将变形为，再利用完全平方式的性质即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 当时，多项式有最大值20． 51．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，若，则的值为 ． 【答案】900 【分析】本题考查了因式分解的应用、求代数式的值，设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为，则，，结合题意得出，求出，，代入代数式计算即可得解． 【详解】解：设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型十二 判断因式分解 52．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列各式变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意； B、等式右边分母含有字母不是因式分解，故本选项不符合题意； C、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 53．（24-25八年级上·山东济宁·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、是乘法运算，故不符合题意； B、符合因式分解的定义，故符合题意； C、中等号右边不是积的形式，故符合题意； D、是乘法运算，故不符合题意； 故选：B． 54．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，理解因式分解的定义：把一个多项式分成几个因式的积的形式．据此进行解答即可． 【详解】解：A．，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合题意； B．，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合题意； C．，把一个多项式写成几个因式的积的形式，它属于因式分解，故此项符合题意； D．，故原选项计算错误，故此项不符合题意． 故选：C． 55．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意； B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 题型十三 利用因式分解的结果求参数 56．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）若多项式可分解因式为的形式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，求项的系数中的字母，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．由题意得，按照系数对应，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 57．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 58．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，先得出，结合多项式可因式分解为，列式，即可作答． 【详解】解：， ∵多项式可因式分解为， ∴， ∴， 故选：B 59．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 60．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式，则，，根据m、p，q都为整数确定m的值即可． 【详解】解：由题意可得， 则，， ∵m、p，q都为整数， ∴，或，， 则或， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知边长为、的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．70 B．60 C．35 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值等知识点，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和整体代入的数学思想． 利用矩形的面积和周长公式求出代数式和的值，对原式进行因式分解，然后整体代入即可求出结果． 【详解】解：根据矩形的周长为14得：，所以， 根据矩形的面积为10得：， ∴ 将，代入上式得 原式 故选：A． 2．（21-22八年级上·重庆江津·期末）已知，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，分解因式，根据平方差公式把所求式子变形为，代入可得所求式子，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提公因式因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据提公因式法、公式法分解因式进行判断即可． 本题考查了因式分解-提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：A、，原结果错误，故此选项不符合题意； B、在有理数范围内不能因式分解，故此选项不符合题意； C、，原结果错误，故此选项不符合题意； D、，结果正确，故此选项符合题意： 故选：D． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．根据十字相乘法，平方差公式和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）本学期学校升级学生午餐的供餐方式为自助餐．餐盘里有若干块质量相等的鸡米花，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示鸡米花的数量不可能是…（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的乘法．根据题意可得纪念品的数量为，进而根据多项式的乘法进行计算求解即可． 【详解】解：根据题意可得，这些鸡米花的数量可能是， 也可能是或， 不可能是， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 7．（24-25八年级上·北京·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； B、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； C、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； D、等式的右边是几个整式积的形式，且左、右两边相等，则此项是因式分解，符合题意； 故选：D． 8．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，，则多项式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用因式分解把代数式变形，首先把代数式分组，把每一组配成完全平方式，再利用完全平方公式分解因式，可得：原式，把、、分别代入整理后的代数式中计算求值即可． 【详解】解： ， 当，，时， 原式 故选：D． 10．（24-25八年级上·四川乐山·期末）若、、是正整数，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解的应用，构造二元一次方程组求解，解题的关键是将原等式因式分解． 首先得出，然后将左边因式分解为，然后根据题意得到，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵、、是正整数， ∴ ∴得，． 故选：A． 二、填空题 11．（20-21九年级下·浙江·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·河南南阳·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据或或或或或，把代入即可得到答案． 【详解】解：或或或或或， 当时，，， 六位数密码为或或或或或， 故答案为：（或或或或或）． 13．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了多项式的值、因式分解的应用，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式分解因式是解题关键．先根据多项式的值可得，，再将两个等式相减可得，利用因式分解可得，然后根据即可得． 【详解】解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为， ∴①，②， 由①②得：，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：2023． 14．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先提取公因式分解因式，在把，，代入原式计算即可． 【详解】解：， 把，，代入， 原式， 故答案为：． 15．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． 先提取公因式y，然后运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底； （3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可； （4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1） （2） （3） （4） 17．（24-25八年级上·福建泉州·期末）若一个两位正整数a的十位上的数字为m，个位上的数字为n，且满足． (1)写出符合条件的所有数a； (2)若，，且p，q为正整数，求的值． 【答案】(1)12或21或30； (2)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）由，对m，n进行取值即可解决问题． （2）由，得出，，进而得出的值，进一步得出的值，分类讨论即可解决问题． 【详解】（1）因为，且为两位正整数的十位上的数 字，为其个位上的数字， 所以，或，或，， 所以为12或21或30； （2）因为， 所以，， 所以． 由得， ． 又因为，为正整数， 所以， 则，，， 解得(舍去) 或或(舍去)， 所以． 18．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路： 将“”看成一个整体，设， 则：原式 再将“”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设， 则：原式 问题： (1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解． 【答案】(1)不彻底；见解析 (2) 【分析】本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：分解不彻底；分解过程如下： 设 则：原式 ； （2）解：设， 则 ． 19．（24-25七年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） _____．（第四步） _____．（第五步） 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法） (2)在横线上继续完成对本题的因式分解． (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【答案】(1)提公因式法，公式法，分组分解法； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）根据所给因式分解过程即可得到答案； （2）先利用平方差公式把第二次式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可； （3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可． 【详解】（1）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； （2）解：原式（第四步） （第五步） （3）解： ． 20．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）计算与因式分解： (1)计算； (2)计算； (3)因式分解. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，整式的混合运算，掌握运算法则和因式分解的常用方法是解题的关键． （1）先计算括号内单项式与多项式的乘法，再合并，最后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （3）先将原式变形，再提取公因式，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$