第06讲 整式的除法（知识梳理+3课本习题典例+6题型+过关检测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第06讲 整式的除法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：六大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，m、n都是正整数，且 ）。 要点： 1. 同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算。 2. 被除式、除式的底数须相同，且0不能作除式 ；被除式的指数要大于除式指数。 3. 当三个或三个以上同底数幂相除时，同样适用该性质 。 4. 底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式。 知识点2 零指数幂法则 任何不等于0的数的0次幂都等于1 ，即（ ）。 要点：底数a不能为0，因为无意义 ；任何一个常数都可看作与字母0次方的积，所以常数项也叫0次单项式。 知识点3 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 。 要点： 1. 具体包含三个方面：系数相除；同底数幂相除；只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 2. 单项式除法实质是有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，结果仍为单项式 。 知识点4 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 。即 。 要点： 1. 多项式除以单项式可转化为单项式除以单项式来解决，实质是将其分解成多个单项式除以单项式 。 2. 计算时，多项式的各项要带上前面的符号，注意符号变化 。 同底数幂相除 底数不变，指数相减（） 单项式除以 单项式 ①系数相除； ②同底数幂相除； ③对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． 多项式除以 单项式 多项式除以单项式，把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明： ①多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式． ②多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 课本典例1（习题11.4第5题） 先化简，再求值：，其中， 课本典例2（习题11.4第6题） 聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1。你能说明其中的道理吗？ 课本典例3（习题11.4第7题） 已知多项式A与单项式5xy的差，除以，所得的商是，求A。 题型一 计算单项式除以单项式 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如果，则□内应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·青海海东·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东湛江·期末）若（    ），则括号内应填的单项式是：（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）计算的结果是 ． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算： ． 题型二 多项式除以单项式 6．（24-25八年级上·四川乐山·期末）计算： ． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： ． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： ． 9．（24-25八年级上·山东滨州·期中）与单项式的积是的多项式是 ． 10．（24-25八年级上·吉林·期中）计算： 题型三 整式的混合运算 11．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 12．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 13．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算 (1) (2)． 14．（24-25八年级上·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 题型四 整式的化简求值 15．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 16．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）先化简，再求值：，其中，满足． 17．（24-25八年级上·重庆·期中）化简，再求值：，其中，满足． 18．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 题型五 用科学记数法表示数的除法 19．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 20．（22-23七年级下·山东·期中）计算： ． 21．（22-23七年级下·广西崇左·期末）月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时．（结果用科学记数法表示） 22．（2023·河北唐山·一模）某市计划修建一个长为米，宽为米的矩形市民休闲广场． (1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 题型六 整式除法的应用 23．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）在信息传递的过程中，信息的发送方甲方，为了保护传输的数据信息不被第三方窃取，采用一个密钥将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙方用另一把密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密．若某种加密规则如图所示，当发送方发出，，求解密后，的值． 24．（23-24八年级上·全国·课堂例题）某高分子聚合材料的性能优于铝合金材料，密度为．又知铝合金的密度约为，求铝合金的密度是这种材料密度的多少倍． 25．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子结果要化简；并计算出当，时所需杯子的数目．    一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川资阳·期末）若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（    ） A．224 B．220 C．198 D．154 4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西朔州·期中）已知，则“★”所表示的单项式是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）长方形的面积是，若一边为，则另一边为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为，则宽为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（    ） （1）（2） （3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个长方形的面积为，它的长为，则它的宽为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）对于任意正整数n，按流程图的计算方式，得到的结果（   ） A．随n的变化而变化 B．不变，总是0 C．不变，总是1 D．不变，总是2 二、填空题 11．（24-25八年级上·吉林·期中）若 则□内应填的是 ． 12．（24-25八年级上·河南焦作·期末）一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为 ． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为被除式，要求商必须为．若小米报的整式是，则小花应报的整式是 ． 14．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）化简 ． 15．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，小明制作了一些类、类、类卡片，其中两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备类卡片 张． 三、解答题 16．（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：．其中，． 17．（24-25八年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 18．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 19．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）计算：． 20．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）阅读下面的材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，，则．例如：当，时，． 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时，_______________，_________________． (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，请直接写出的结果是_______________； (3)在（2）的条件下，已知，当，时，令，，，…，，且，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 整式的除法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：六大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，m、n都是正整数，且 ）。 要点： 1. 同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算。 2. 被除式、除式的底数须相同，且0不能作除式 ；被除式的指数要大于除式指数。 3. 当三个或三个以上同底数幂相除时，同样适用该性质 。 4. 底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式。 知识点2 零指数幂法则 任何不等于0的数的0次幂都等于1 ，即（ ）。 要点：底数a不能为0，因为无意义 ；任何一个常数都可看作与字母0次方的积，所以常数项也叫0次单项式。 知识点3 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 。 要点： 1. 具体包含三个方面：系数相除；同底数幂相除；只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 2. 单项式除法实质是有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，结果仍为单项式 。 知识点4 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 。即 。 要点： 1. 多项式除以单项式可转化为单项式除以单项式来解决，实质是将其分解成多个单项式除以单项式 。 2. 计算时，多项式的各项要带上前面的符号，注意符号变化 。 同底数幂相除 底数不变，指数相减（） 单项式除以 单项式 ①系数相除； ②同底数幂相除； ③对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． 多项式除以 单项式 多项式除以单项式，把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明： ①多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式． ②多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 课本典例1（习题11.4第5题） 先化简，再求值：，其中， 【答案】化简： 当时，原式。 【解析】根据多项式除以单项式的分配律（），将展开为 ，然后根据同底数幂相除，底数不变指数相减（这里指数为1），得到，去括号、合并同类项得到化简结果2b，再代入求值。 【点睛】本题关键在于熟练运用多项式除以单项式法则以及整式运算规则，先化简再求值可简化计算过程。 课本典例2（习题11.4第6题） 聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1。你能说明其中的道理吗？ 【答案】设这个非零有理数为x，根据题意可得，化简： 所以无论取哪个非零有理数，按照此运算顺序结果总是1。 【解析】通过设未知数x表示这个非零有理数，然后根据题目描述的运算顺序列出式子，再根据多项式除以单项式法则（）展开为，计算后合并同类项得到结果1。 【点睛】用字母表示数是代数的重要思想，通过设未知数，依据运算规则列出式子并化简，能清晰揭示规律背后的数学原理。 课本典例3（习题11.4第7题） 已知多项式A与单项式5xy的差，除以，所得的商是，求A。 【答案】根据题意可得，由 “被除数 = 除数 × 商” 可知，展开： 又因为，所以。 【解析】先根据题目中的数量关系列出等式，利用除法运算中被除数、除数和商的关系得到 ，再根据多项式乘多项式法则（用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加）展开，最后通过移项求出A。 【点睛】本题重点考查了除法运算中各部分关系以及多项式乘法法则，通过逆向思维由商和除数求出被除数相关式子，进而求出多项式A。 题型一 计算单项式除以单项式 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如果，则□内应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则是解题的关键． 已知积和其中一个因式，求另外一个因式，可用积除以已知因式，得所求因式． 【详解】解：， ，故D正确． 故选：D 2．（24-25八年级上·青海海东·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，进行计算即可 本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除． 【详解】解： 故选：A 3．（24-25八年级上·广东湛江·期末）若（    ），则括号内应填的单项式是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式除以单项式，根据乘法的意义列式，再计算即可． 【详解】解：由题意可得：括号内应填的单项式是： ， 故选：B 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知其运算法则．根据整式的除法运算即可求解． 【详解】 故答案为：． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式除以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 题型二 多项式除以单项式 6．（24-25八年级上·四川乐山·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． 利用多项式除以单项式的法则，先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相减计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解； ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山东滨州·期中）与单项式的积是的多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法，掌握除法法则是解题的关键．根据题意求即可得出答案． 【详解】依题意：． 故答案为： 10．（24-25八年级上·吉林·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，利用多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 题型三 整式的混合运算 11．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查积的乘方，整式的混合运算，熟练掌握积的乘方，整式的混合运算是解题的关键． （1）先计算单项式乘多项式，积的乘方，最后合并同类项即可； （2）根据多项式除以单项式运算法则计算即可； （3）根据多项式乘多项式运算法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键； （1）根据多项式乘以多项式，即可求解； （2）根据多项式除以单项式，进行计算即可求解； （3）根据单项式乘以单项式，积的乘方，进行计算即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 13．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了关于幂的运算、整式的乘法．解决本题的关键是根据运算法则进行计算即可． 首先逆用同底数幂的乘法法则，可得：原式，再逆用积的乘方的法则，可得：原式，然后再根据乘方的运算法则和有理数的乘法法则进行计算即可； 首先根据平方差公式和多项式乘以多项式的法则进行计算，得到：原式，然后再根据合并同类项的法则合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2）解： ． 14．（24-25八年级上·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查整式的混合运算，正确的掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘法法则，单项式除法法则按顺序进行计算即可； （2）先利用完全平方公式，平方差公式计算展开，再计算即可； （3）先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式进行计算即可即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 题型四 整式的化简求值 15．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了乘法公式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式及化简求值等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘法公式、单项式乘以多项式，再计算单项式乘以多项式、括号内的加减法，然后计算多项式除以单项式，最后计算加减法，将，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将，代入得：原式． 16．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，非负性，熟练掌握相关运算法则，正确的化简，是解题的关键：先利用整式的混合运算法则进行化简，再根据非负性求出的值，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 17．（24-25八年级上·重庆·期中）化简，再求值：，其中，满足． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，完全平方公式，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据多项式乘多项式、完全平方公式进行展开，再合并同类项得，然后整理得，故，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 题型五 用科学记数法表示数的除法 19．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 【答案】8 【分析】根据整式除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是解题关键． 20．（22-23七年级下·山东·期中）计算： ． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了整式的除法，正确运用整式的除法运算法则是解题关键． 21．（22-23七年级下·广西崇左·期末）月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据时间路程速度，即可求解． 【详解】解：由题意得： 飞机飞行时间为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式除法的应用，掌握相关运算法则是解题关键． 22．（2023·河北唐山·一模）某市计划修建一个长为米，宽为米的矩形市民休闲广场． (1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1) (2)块 【分析】(1)根据面积公式，单项式乘以单项式法则计算即可． (2)根据总面积除以单块大理石的面积计算即可． 【详解】（1）根据题意，得（）． 答：广场的面积为． （2）∵单块大理石的面积是， ∴． 答：需要块大理石地砖． 【点睛】本题考查了整式的除法与乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型六 整式除法的应用 23．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）在信息传递的过程中，信息的发送方甲方，为了保护传输的数据信息不被第三方窃取，采用一个密钥将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙方用另一把密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密．若某种加密规则如图所示，当发送方发出，，求解密后，的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的除法运算，涉及单项式除以单项式，多项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键；分别按单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则计算，再代入求值即可． 【详解】解：由题意可知，， ； 将，代入，得， ； ∴，． 24．（23-24八年级上·全国·课堂例题）某高分子聚合材料的性能优于铝合金材料，密度为．又知铝合金的密度约为，求铝合金的密度是这种材料密度的多少倍． 【答案】铝合金的密度是这种材料密度的3倍 【分析】本题考查了整式的除法运用，用铝的密度除以这种材料的密度列式计算即可，掌握整式的除法的运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 答：铝合金的密度是这种材料密度的3倍． 25．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子结果要化简；并计算出当，时所需杯子的数目．    【答案】，个 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，利用圆柱体的容积等于底面积乘以高，以及杯子的数量等于瓶子的容积除以杯子的容积，列出代数式，再将，代入，求值即可．掌握的列出代数式是解题的关键． 【详解】解：由题意，得 ． 当，时， 原式 个． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】A．，不是同类项，不能合并，故该选项错误； B．，故该选项错误； C．，故该选项错误； D．，故该选项正确； 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，熟知整式的运算公式是解题的关键；根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及单项式除以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川资阳·期末）若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（    ） A．224 B．220 C．198 D．154 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是表示出这两个数的平方差． 设两个连续偶数为和（k为正整数），表示出这两个数的平方差，然后逐项验证即可． 【详解】解：设两个连续偶数为和（k为正整数）， ∴， 若，解得， ∵k为正整数， ∴A选项不合题意； 若，解得， ∵k为正整数， ∴B选项符合题意； 若，解得， ∵k为正整数， ∴C选项不合题意； 若，解得， ∵k为正整数， ∴D选项不合题意； 故选：B． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】 解： ； 故选：D． 5．（24-25八年级上·山西朔州·期中）已知，则“★”所表示的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握此运算法则是关键；由乘除法的关系得，利用单项式除以单项式的法则进行即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：C． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）长方形的面积是，若一边为，则另一边为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，长方形面积等于相邻两边的乘积，据此列式求解即可． 【详解】解：， ∴另一边为， 故选：A． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为，则宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式除法的应用．用长方形的面积除以长可得． 【详解】解：宽为： ． 故选：C． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（    ） （1）（2） （3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的乘除运算法则进行判断即可． 【详解】解：，原选项正确； ，原选项正确； ，原选项错误； ，原选项错误； 故选B． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个长方形的面积为，它的长为，则它的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：一个长方形的面积为，长为， 长方形的宽为：． 故选：D． 10．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）对于任意正整数n，按流程图的计算方式，得到的结果（   ） A．随n的变化而变化 B．不变，总是0 C．不变，总是1 D．不变，总是2 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算．根据计算程序列出算式化简，即可得出答案． 【详解】解：由题意得， ． 得到的结果是不变，总是2． 故选：D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·吉林·期中）若 则□内应填的是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·河南焦作·期末）一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是多项式除以单项式的应用，本题利用长方形的面积除以宽即可得到长方形的长． 【详解】解：长方形的长为：； 故答案为： 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为被除式，要求商必须为．若小米报的整式是，则小花应报的整式是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键．根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用整式除法运算法则求解即可． 【详解】解：根据题意，小花报的整式为 ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式展开，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，小明制作了一些类、类、类卡片，其中两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备类卡片 张． 【答案】25 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以乘以多项式，单项式除以单项式，正确理解题意是解题的关键．先计算大长方形的面积为，而卡片的面积为，即可确定需要25张卡片． 【详解】解：， 而卡片的面积为， ∴， ∴小明需要准备类卡片25张， 故答案为：25． 三、解答题 16．（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：．其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，乘法公式及实数的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．先根据完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则计算，得出最简结果，再代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 17．（24-25八年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可； （2）根据单项式除以单项式运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 18．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类 项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 19．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘除，先计算积的乘方，再计算单项式的乘除即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）阅读下面的材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，，则．例如：当，时，． 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时，_______________，_________________． (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，请直接写出的结果是_______________； (3)在（2）的条件下，已知，当，时，令，，，…，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，代数式求值， （1）根据平方差公式整理，再代入可得答案； （2）结合（1），可得，再代入即可； （3）将原式化为，再代入数值计算． 【详解】（1）解：， ， 当，时， ， ， 答案为：，； （2）解：， 当时， 原式 ， 答案为：； （3）解：当，时， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$