专题03 一元一次不等式-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

专题03 一元一次不等式 核心考点聚焦 【知识点1】不等式的概念： 一般的，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式。 不等式中可以含有未知数，也可以不含用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式。 【知识点2】不等式的性质： 性质1：如果a>b, b >c那么a >c 性质2：如果a>b,那么a±c>b±c 即不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 性质3：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或a/c>b/c) 如果a>b，c<0，那么ac<bc(或a/c<b/c) 即不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 注；不等式的两边都乘以0,不等号变等号。 【知识点3】一元一次不等式： 1.左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的不等式，叫做一元一次不等式。 2.一元一次不等式的解集： （1） 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （2）一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 (3) 求一元一次不等式解集的过程叫做解不等式。 (4) 不等式(组)的特殊解——有限的一个或几个解。[来源:Z§xx§k.Com] 【知识点4】解一元一次不等式的一般步骤： 1、去分母 （不等式性质2） (没分母的也要乘，多项式分子放进括号内) 2、去括号 (去括号法则) (负数乘进去时每项都变号) 3、移项 （不等式性质1） (移动的项要变号) 4、合并同类项（合并同类项法则） (运算法则要熟练) 5、将未知数的系数化为1 （不等式性质2） (乘、除以负数时要变向) 6、在数轴上表示不等式的解集 【知识点5】一元一次不等式组： （1） 一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 （2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。[来源:学,科,网] (3) 不等式组的解的求解过程 分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）。 口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解 【知识点6】列一元一次不等式(组)解应用题： 步骤参照列一元一次方程解应用题，只是最后答的时候写的数值可能要用到取近似数的各种方法。[来源:方案设计题主要通过解不等式组解决。 【知识点7】不等式解集的表示方法： （1） 用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来， （2） 用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。 【知识点8】解一元一次不等式组的步骤： （1） 求出每个不等式的解集； （2） 求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴） （3） 用代数符号语言来表示公共部分。（也可以说成是下结论） 【知识点9】几种特殊的不等式组的解集： （1） 关于x不等式（组）：{x≥a} { x≤a}的解集为：x=a （2） 关于x不等式（组）：{x>a} {x<a}的解集是空集。[来源:学#科#网] 题型归纳 题型一、解一元一次不等式（组） 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）解下列不等式，并把解集表示到数轴上． (1)； (2)． 2．（22-23七年级下·四川泸州·期末）解不等式：． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解不等式组 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) 题型二、解特殊不等式组 5．（24-25七年级下·四川内江·期中）数学乐园：解二元一次方程组，，得，当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：． 设，，，那么方程组的解就是． (1)求二行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 题型三、求一元一次不等式（组）的整数解 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）求不等式的最小整数解． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）求不等式的正整数解． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式组：，并写出它的正整数解． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）求适合不等式的最小负整数； （2）求不等式组的正整数解． 题型四、解|x|≥a型不等式 11．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 12．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 题型五、由一元一次不等式组的解集求参数 13．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 题型六、由不等式组解集情况求参数 16．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若不等式组无解，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 17．（2025·广东广州·一模）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 18．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是 ． 题型七、不等式组和方程组结合问题 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 22．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）已知方程组的解满足， (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，若m为整数，则____，不等式的解集为． 23．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 24．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 题型八、不等式（组）的应用 类型1经济问题 25．（24-25七年级下·重庆·期中）某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． (1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ (2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 26．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； (2)若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ (3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ 27．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元． (1)求每个足球、篮球的价格是多少元？ (2)如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？ 类型2分配问题 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 29．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 类型3方案问题 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 32．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）合肥45中举办经典诵读比赛，需采购诗词手册和书签两种道具作为班级奖励．首次采购时，购买1套诗词手册和2套书签共需50元；第二次采购时，购买3套诗词手册和3套书签共需105元． (1)求每套诗词手册和书签进价各是多少元？ (2)比赛筹备组计划再次采购两种道具共80套．供应商调整价格：诗词手册进价上涨30%；书签进价降至原价的八折．若学校要求总费用不超过1548元，且诗词手册的数量不低于书签的数量，求满足条件的方案有哪几种？ 类型4其他应用问题 33．（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）现有、两种商品，种商品单价为16元，种商品单价为4元．如果小静准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过120元，且不低于100元，问有几种购买方案？哪种方案费用最低？ 34．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某书店在读书日活动中准备了一批图书赠送给参与活动的读者．如果每人赠送5本，则还剩下10本；如果每人赠送8本，则最后一名读者得到的图书不足4本．请问该书店可能准备的图书数量和获赠读者人数． 35．（24-25七年级下·北京·期中）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/） 4 5 6 40 零售价格（元/） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案？ 36．（24-25八年级下·广东佛山·期中）【问题背景】 2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 真题感知 一、单选题 1．（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·三模）将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足，令，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川绵阳·三模）已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江杭州·一模）已知是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 8．（24-25八年级下·山西运城·期中）国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·山西大同·期中）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知该汽车用油亚动方式行驶1千米的油费为0.9元，用电驱动方式行驶1千米的电费比油费少0.8元．该汽车从地行驶100千米至地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车从地行驶至地用电行驶千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的一元一次方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 12．（24-25八年级下·山东聊城·期中）若关于的不等式组的解集为，则 ． 13．（2025·四川绵阳·二模）某茶叶销售商计划将m罐茶叶按甲，乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒至少有 盒． 14．（24-25七年级下·福建泉州·期中）一次环保知识竞赛共有16道题，规定答对一道题得6分，答错一题扣两分，如果他想得到70分以上的成绩，则他至少需答对 道题目． 15．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是 ． 三、解答题 16．（重庆市南川区三校联盟2024-2025学年七年级下学期5月联合诊断（期中）数学试题）计算． (1)解方程组 ； (2)解不等式：． 17．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买30株A种花卉和20株B种花卉共需要190元；购买50株A种花卉和40株B种花卉共需要350元． (1)求采购每株A，B两种花卉各多少元钱． (2)若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 18．（2025·北京海淀·模拟预测）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋． (1)购进的肉粽的个数为________个（用含，的代数式表示）； (2)为了促销，超市计划将所购200袋粽子组合包装，使得其恰好全部制成，两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个． ①用等式表示，的数量关系为________； ②若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进多少袋？ 19．（24-25八年级下·广东佛山·期中）为迎接六一儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具5套，B类玩具4套，需800元；A类玩具3套，B类玩具2套，则需450元． (1)求A、B两类玩具每套进价分别是多少元． (2)该玩具店购进B类玩具比A类玩具的2倍多4套，若玩具店销售1套A类玩具获利30元，销售1套B类玩具获利20元，且全部售出后所获得利润不少于1200元．问该玩具店至少购进A类玩具多少套？ 20．（2025·辽宁沈阳·二模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包A种食品？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式 核心考点聚焦 【知识点1】不等式的概念： 一般的，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式。 不等式中可以含有未知数，也可以不含用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式。 【知识点2】不等式的性质： 性质1：如果a>b, b >c那么a >c 性质2：如果a>b,那么a±c>b±c 即不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 性质3：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或a/c>b/c) 如果a>b，c<0，那么ac<bc(或a/c<b/c) 即不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 注；不等式的两边都乘以0,不等号变等号。 【知识点3】一元一次不等式： 1.左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的不等式，叫做一元一次不等式。 2.一元一次不等式的解集： （1） 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （2）一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 (3) 求一元一次不等式解集的过程叫做解不等式。 (4) 不等式(组)的特殊解——有限的一个或几个解。[来源:Z§xx§k.Com] 【知识点4】解一元一次不等式的一般步骤： 1、去分母 （不等式性质2） (没分母的也要乘，多项式分子放进括号内) 2、去括号 (去括号法则) (负数乘进去时每项都变号) 3、移项 （不等式性质1） (移动的项要变号) 4、合并同类项（合并同类项法则） (运算法则要熟练) 5、将未知数的系数化为1 （不等式性质2） (乘、除以负数时要变向) 6、在数轴上表示不等式的解集 【知识点5】一元一次不等式组： （1） 一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 （2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。[来源:学,科,网] (3) 不等式组的解的求解过程 分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）。 口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解 【知识点6】列一元一次不等式(组)解应用题： 步骤参照列一元一次方程解应用题，只是最后答的时候写的数值可能要用到取近似数的各种方法。[来源:方案设计题主要通过解不等式组解决。 【知识点7】不等式解集的表示方法： （1） 用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来， （2） 用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。 【知识点8】解一元一次不等式组的步骤： （1） 求出每个不等式的解集； （2） 求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴） （3） 用代数符号语言来表示公共部分。（也可以说成是下结论） 【知识点9】几种特殊的不等式组的解集： （1） 关于x不等式（组）：{x≥a} { x≤a}的解集为：x=a （2） 关于x不等式（组）：{x>a} {x<a}的解集是空集。[来源:学#科#网] 题型归纳 题型一、解一元一次不等式（组） 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）解下列不等式，并把解集表示到数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练计算是解题的关键． （1）先去括号，再移项，即可解答，再把解集表示到数轴上； （2）先去分母，然后去括号，再移项，即可解答，再把解集表示到数轴上． 【详解】（1）解：去括号，得 ， 移项，得 合并，得 系数化为1，得 表示在数轴上为 （2）去分母，得 去括号，得 ， 移项，得 合并，得 系数化为1，得 表示在数轴上为 2．（22-23七年级下·四川泸州·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【详解】解： ， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴原不等式组的解集是． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1） 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 （2） 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 题型二、解特殊不等式组 5．（24-25七年级下·四川内江·期中）数学乐园：解二元一次方程组，，得，当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：． 设，，，那么方程组的解就是． (1)求二行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题意新定义算法，根据二阶行列式计算． （1）根据，即可求出； （2）根据，得，求解即可； （3）根据，，，那么方程组的解就是，即可求出方程组的解； （4）根据得：，再代入，得：，令时，方程无解，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：根据题意可得， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴方程组的解：； （4）解：由得：， 把代入得：， 整理得：， 当时，方程无解， ∴． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 题型三、求一元一次不等式（组）的整数解 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）求不等式的最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键． 根据一元一次不等式的性质计算，得到x的取值范围；再根据整数的性质分析，即可得到答案． 【详解】解： ∴不等式的最小整数解是． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为1，2 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的正整数解，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其正整数解即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的正整数解为1，2． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式组：，并写出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集为，正整数解为1、2、3． 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式的解法以及确定不等式组的解集的方法是解本题的关键．求出不等式组的每一个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，进而得出它的正整数解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴它的正整数解为1、2、3． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）求适合不等式的最小负整数； （2）求不等式组的正整数解． 【答案】（1）  （2）3 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，求一元一次不等式组的整数解， 对于（1），根据去括号，移项，合并同类项解不等式，再从解集中选择答案； 对于（2），先分别求出两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集，再从解集中得出符合题意的答案． 【详解】解：（1） 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 所以不等式的最小负整数是； （2）， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 所以这个不等式组的正整数解是3． 题型四、解|x|≥a型不等式 11．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 12．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 题型五、由一元一次不等式组的解集求参数 13．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的求法，已知不等式解集反过来求m的范围． 先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，由题意不等式的解集为，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出m的范围． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， 根据已知条件，不等式组解集是， 根据“同大取大”原则． 故选：A． 14．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故选：D． 题型六、由不等式组解集情况求参数 16．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若不等式组无解，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由不等式组解集情况求参数，解不等式①得，解不等式②得，由不等式组解集的判断方法得，即可求解；能熟练利用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行求解是解题的关键． 【详解】 解：由①得 ， 由②得， ， 原不等式组无解， ， 解得：， 故选：A． 17．（2025·广东广州·一模）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，进而根据解集的情况解答即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：． 18．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】7 【分析】根据不等式组有解且只有3个偶数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据关于y的一元一次方程解为非负整数，确定a的值，求和即可．本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组有解且只有3个偶数解． ∴该不等式组的三个整数解为8，6，4， ∴， 解得， 则 即， ∵a为整数 ∴ ∵， ∴ 则 ∴， ∵关于y的一元一次方程解为非负整数， ∴当时，则，符合题意； ∴当时，则，符合题意； ∴当时，则，不是整数，不符合题意； ∴当时，则，符合题意； ∴ ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据有三个整数解列不等式组求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为， 又不等式组有三个整数解， ∴不等式组的整数解为， ， 解得：． 实数a的取值范围为． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键． 分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到的范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解有3个， ∴不等式组的整数解为4、5、6， 则， 故答案为：． 题型七、不等式组和方程组结合问题 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查方程组和不等式组的综合，先求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出关于的不等式组，进而求出a的取值范围即可． 【详解】解：由，得：， ∵方程组的解是一对正数， ∴， 解得：． 22．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）已知方程组的解满足， (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，若m为整数，则____，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式的整数解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）先求出方程组的解，根据，得出不等式组，再求出不等式组的解集即可；（2）根据不等式的解集为得出，求出m的范围，再根据结论求出，再求出整数m即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为： ∵关于x、y的方程组的解满足，． ∴ ， ∴； （2）解：∵不等式的解为 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴． 23．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 【详解】（1）解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； （2） 得：，即， ， ， 解得：． 题型八、不等式（组）的应用 类型1经济问题 25．（24-25七年级下·重庆·期中）某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． (1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ (2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 【答案】(1)纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个 (2)制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个，根据卖出了150件手工艺品，总收入为2496元．再建立方程组解题即可； （2）设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件，根据总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的建立不等式组求解的范围，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个， 由题意得： 解得： 答：纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个． （2）解：设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件， 由题意得： 解得： ∴ ∵m是整数   ∴，35 当时，，利润是元 当时，，利润是元 ∵ 方案：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件； 答：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大． 26．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； (2)若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ (3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ 【答案】(1)购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元 (2)共有7种购买方案 (3)在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元，利用总价单价数量，结合“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，利用总价单价数量，结合总价不少于元又不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出购买方案的个数； （3）根据题意甲种纪念品数量越少，总费用越少，则购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，进而计算花费资金，即可求解． 【详解】（1）解：设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元． （2）解：设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为34，35，36，37，38，39，40， 共有7种购买方案． （3）解：∵购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元 ∴甲种纪念品数量越少，总费用越少， ∴购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 设所花资金最小为． 答：在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为670元． 27．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元． (1)求每个足球、篮球的价格是多少元？ (2)如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？ 【答案】(1)每个足球和篮球的价格分别是20元、50元 (2)共有三种购买方案，他们分别是：方案一：购买32个足球和8个篮球；方案二：购买33个足球和7个篮球；方案三：购买34个足球和6个篮球． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个足球和篮球的价格分别是元、元，根据“购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元”列出方程组，进一步求解即可得出答案； （2）设其中购买足球个，则购买足球个，根据“足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元”列不等式组求出的范围，结合为正整数可得答案． 【详解】（1）解：设每个足球和篮球的价格分别是元、元，依题意得： ， 解得：， ∴每个足球和篮球的价格分别是20元、50元． （2）解：设其中购买足球个，则购买足球个， 根据题意得：， 解得：， 由题意得：取整数， ∴的值为32、33或34， ∴共有三种购买方案，他们分别是： 方案一：购买32个足球和8个篮球； 方案二：购买33个足球和7个篮球； 方案三：购买34个足球和6个篮球． 类型2分配问题 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 29．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 类型3方案问题 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【答案】购买方案有三种：甲种书柜8个，乙种书柜12个；甲种书柜9个，乙种书柜11个；甲种书柜10个，乙种书柜10个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 根据不等关系列出一元一次不等式组，求出解集，再根据整数解确定符合题意的方案． 【详解】解：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个，根据题意，得 ， 解得， 当时，； 当时，； 当时，． 所以一共有三种方案： 方案一：购买甲种书柜8个，乙种书柜12个； 方案而：购买甲种书柜9个，乙种书柜11个； 方案三：购买甲种书柜10个，乙种书柜10个． 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元 (2)能；方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键． （1）设A、B两种型号的电器的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程进行计算即可； （2）设采购A种型电器a台，则采购B种型号电器台，列出不等式组进行计算即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电器的销售单价分别为210元、160元； （2）解：能； 设采购A种型号电器a台，则采购B种型号电器台， ， 解得：， ∵a为整数， 或． 方案有两种： 方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台； 方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台． 32．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）合肥45中举办经典诵读比赛，需采购诗词手册和书签两种道具作为班级奖励．首次采购时，购买1套诗词手册和2套书签共需50元；第二次采购时，购买3套诗词手册和3套书签共需105元． (1)求每套诗词手册和书签进价各是多少元？ (2)比赛筹备组计划再次采购两种道具共80套．供应商调整价格：诗词手册进价上涨30%；书签进价降至原价的八折．若学校要求总费用不超过1548元，且诗词手册的数量不低于书签的数量，求满足条件的方案有哪几种？ 【答案】(1)每套诗词手册和书签进价分别是20元，15元． (2)该比赛筹备组共有3种购买方案，方案1：购买诗词手册40套、购买书签40套；方案2：购买诗词手册41套、购买书签39套；方案3：购买诗词手册42套、购买书签38套． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和不等式组成为解题的关键． （1）设每套诗词手册和书签进价各分别为x元、y元，然后根据题意列方程组求解即可； （2）设购买诗词手册m套，则购买书签套．再根据题意列不等式组求得m的取值范围，进而完成解答． 【详解】（1）解：设每套诗词手册和书签进价各分别为x元、y元， 由题意可得：，解得：． 答：每套诗词手册和书签进价分别是20元，15元． （2）解：设购买诗词手册m套，则购买书签套． 由题意可得：，解得：， ∴该比赛筹备组共有3种购买方案，方案1：购买诗词手册40套、购买书签40套；方案2：购买诗词手册41套、购买书签39套；方案3：购买诗词手册42套、购买书签38套． 类型4其他应用问题 33．（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）现有、两种商品，种商品单价为16元，种商品单价为4元．如果小静准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过120元，且不低于100元，问有几种购买方案？哪种方案费用最低？ 【答案】方案一∶购买商品5件， 商品5件；方案二∶购买商品6件， 商品4件， 方案一费用最低． 【分析】此题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意得出关系式是解题关键． 设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品件，根据关系式列出二元一次不等式组．求解再比较两种方案． 【详解】解∶设小静购买商品件，则购买商品件，由题意，得 解得 ∵取正整数， ∴或 ∴有两种购买方案∶ 方案一∶购买商品5件， 商品5件，购买费用为∶ (元)； 方案二∶购买商品6件， 商品4件，购买费用为∶ (元)． ，方案一费用低 答∶有两种购买方案，方案一费用最低． 34．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某书店在读书日活动中准备了一批图书赠送给参与活动的读者．如果每人赠送5本，则还剩下10本；如果每人赠送8本，则最后一名读者得到的图书不足4本．请问该书店可能准备的图书数量和获赠读者人数． 【答案】获赠读者为5人，图书数量为35本． 【分析】本题考查了不等式组的应用．首先设获赠读者为人，则图书数量为本，根据“最后一名读者得到的图书不足4本”列出不等式求解即可． 【详解】解：设获赠读者为人，则图书数量为本，则有 解得 因为是整数，故， 所以（本）． 答：获赠读者为5人，图书数量为35本． 35．（24-25七年级下·北京·期中）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/） 4 5 6 40 零售价格（元/） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案？ 【答案】(1)这两种水果获得的总利润为500元 (2)该经营户第二天有1种批发水果的方案，即购进菠萝，苹果 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设第一天，该经营户批发菠萝，苹果，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）设购进菠萝，则购进苹果，根据“菠梦的进货量不低于，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出进货方案． 【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发菠萝，苹果， 根据题意得：， 解得：， ∴元， 答：这两种水果获得的总利润为500元； （2）解：设购进菠萝，则购进苹果， 根据题意：， 解得：， ∵m，均为正整数， ∴m取94， ∴该经营户第二天有1种批发水果的方案，即购进菠萝，苹果． 36．（24-25八年级下·广东佛山·期中）【问题背景】 2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】问题解决（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 问题解决（2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，先求出的取值范围，再得出每天分拣快递的件数，当取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， ，解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元； （2）A型智能机器人台，则购买型智能机器人台， ， ， 每天分拣快递的件数， 当时，每天分拣快递的件数最多为万件， 选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台． 真题感知 一、单选题 1．（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 2．（2025·山西·三模）将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示不等式组的解集，数形结合是解题的关键． 先解不等式组，再把解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 解集表示在数轴上： 故选：B． 3．（2025·浙江杭州·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足，令，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据，求出，根据a、b均为负数，求出，解不等式组，得出，再根据，求出t的取值范围即可． 【详解】解：， 两个方程可得得， 又， ∴， 解得：， ， ∴， ． 故选：B． 5．（2025·四川绵阳·三模）已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组解集的规律“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”成为解答本题的关键． 先解不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集的情况，再结合不等式组的解集规律解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 故选C． 6．（2025·浙江杭州·一模）已知是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的进行判定即可． 【详解】解：是实数，若，， ，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选C． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴，即， ∴，故A选项错误，不符合题意； B． ∵，， ∴，故B选项错误，不符合题意； C．∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故D正确，符合题意． 故选D． 8．（24-25八年级下·山西运城·期中）国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解， ， 解得：． 故选：A． 10．（24-25八年级下·山西大同·期中）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知该汽车用油亚动方式行驶1千米的油费为0.9元，用电驱动方式行驶1千米的电费比油费少0.8元．该汽车从地行驶100千米至地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车从地行驶至地用电行驶千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式即可． 【详解】由题意知，用电行驶千米，则用油行驶千米， ∴满足的不等式关系为， 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的一元一次方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，先解一元一次方程得到，则由题意可得是正整数，据此可求出或或，再分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组有解求出a的取值范围，进而确定a的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴，即，且是正整数， ∴或或， ∴或或， 解不等式得， 解不等式得， ∵关于的一元一次不等式组有解， ∴， 解得， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·山东聊城·期中）若关于的不等式组的解集为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，不等式组的解集，代数式求值，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 首先求出含有和的不等式组解集，再根据不等式组的解集为，求出和的值，即可得解． 【详解】解：解关于的不等式组得， 关于的不等式组的解集为， ， ， ， 故答案为：． 13．（2025·四川绵阳·二模）某茶叶销售商计划将m罐茶叶按甲，乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒至少有 盒． 【答案】15 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设甲种礼品盒有x盒，根据单价、利润、数量的关系列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：设甲种礼品盒有x盒， 由题意得，， 整理得，， 解得：， 甲种礼品盒至少有15盒， 故答案为：15． 14．（24-25七年级下·福建泉州·期中）一次环保知识竞赛共有16道题，规定答对一道题得6分，答错一题扣两分，如果他想得到70分以上的成绩，则他至少需答对 道题目． 【答案】13 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，读懂题意，列出不等式关系式是解题的关键． 设他答对x道题目，则答错道，利用总分答对题目数答错题目数，结合总价在70分以上，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设他答对x道，则答错道，根据题意得： ， 解得：， 又∵x为整数， ∴x的最小值为13， ∴他至少需答对13道题目． 故答案为：13． 15．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．先根据已知条件判断不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，求出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组有个整数解， 不等式组的解集为：， 这三个整数解为，，， 的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题 16．（重庆市南川区三校联盟2024-2025学年七年级下学期5月联合诊断（期中）数学试题）计算． (1)解方程组 ； (2)解不等式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握相关解法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程即可； （2）依次去括号，移项，合并同类项，系数化1解不等式即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 方程组的解集为； （2）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 17．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买30株A种花卉和20株B种花卉共需要190元；购买50株A种花卉和40株B种花卉共需要350元． (1)求采购每株A，B两种花卉各多少元钱． (2)若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 【答案】(1)采购每株A，B两种花卉各3元，5元； (2)最少采购A种花卉为8000株． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出一元一次不等式，二元一次方程组是解此题的关键． （1）设采购每株A种花卉x元，采购每株B种花卉y元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设采购A种花卉m株，则采购B种花卉株．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设采购每株A种花卉x元，采购每株B种花卉y元． 根据题意得， 解得， 答：采购每株A，B两种花卉各3元，5元； （2）解：设采购A种花卉m株，则采购B种花卉株． 根据题意得， 解得； 答：最少采购A种花卉为8000株． 18．（2025·北京海淀·模拟预测）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋． (1)购进的肉粽的个数为________个（用含，的代数式表示）； (2)为了促销，超市计划将所购200袋粽子组合包装，使得其恰好全部制成，两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个． ①用等式表示，的数量关系为________； ②若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进多少袋？ 【答案】(1) (2)①；②豆沙粽最多购进40袋 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是正确的表示各种粽子的袋数，个数，根据肉粽的进货数量的要求列出不等式求解验证． （1）用200减去小枣粽和豆沙粽的袋数得到肉粽的袋数，再乘以2即可得到答案； （2）根据题意可得购进的小枣粽的个数为个，豆沙粽的个数为个，从而得到套装为套，套装为套，再由套装每袋小枣粽4个，B套装每袋小枣粽2个，可得；②根据题意可得购进的肉粽袋数为袋，然后根据肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，购进的肉粽的个数为； （2）解：①由题意得， ∴； ②由题意可知，， 由①可知，即， ∴， 解得 答：豆沙粽最多购进40袋． 19．（24-25八年级下·广东佛山·期中）为迎接六一儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具5套，B类玩具4套，需800元；A类玩具3套，B类玩具2套，则需450元． (1)求A、B两类玩具每套进价分别是多少元． (2)该玩具店购进B类玩具比A类玩具的2倍多4套，若玩具店销售1套A类玩具获利30元，销售1套B类玩具获利20元，且全部售出后所获得利润不少于1200元．问该玩具店至少购进A类玩具多少套？ 【答案】(1)A类玩具每套进价为100元，B类玩具每套进价为75元 (2)该玩具店至少购进A类玩具16套 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式解决实际问题，分析题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）设A类玩具每套进价为x元，B类玩具每套进价为y元．根据“A类玩具5套B类玩具4套，需800元；A类玩具3套B类玩具2套，则需450元”列出方程组，求解即可； （2）设该玩具店购进A类玩具n套，根据“全部售出后所获得利润不少于1200元”列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设A类玩具每套进价为x元，B类玩具每套进价为y元．根据题意，得 ， 解得， 答：A类玩具每套进价为100元，B类玩具每套进价为75元． （2）解：设该玩具店购进A类玩具n套．根据题意，得 ， 解得， 答：该玩具店至少购进A类玩具16套． 20．（2025·辽宁沈阳·二模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包A种食品？ 【答案】(1)应选用A种食品5包，B种食品4包 (2)最多能选用2包A种食品 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设选用A种食品包，B种食品包，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设选用包种食品，根据题意列出不等式，求出的范围，结合是整数，求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设选用A种食品包，B种食品包， 由题意得，， 解得：， 答：应选用A种食品5包，B种食品4包． （2）解：设选用包A种食品， 由题意得，， 解得：， 是整数， 的最大值为2， 答：最多能选用2包A种食品． / 学科网（北京）股份有限公司 $$