专题01 一元一次方程-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

专题01 一元一次方程 核心考点聚焦 1、方程的概念 含有未知数的等式叫做方程 （1） 方程含有两个要素，一是含有未知数，二是必须是等式，二者缺一不可； （2） 方程一定是等式，但等式不一定是方程； （3） 方程中含有的未知数个数不限. 2、一元一次方程的概念 定义 只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是 重点解读 3、方程的解与解方程 定义 实质 方程的解 使方程等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 具体数值 解方程 求方程解的过程叫做解方程 变形过程 4、等式的性质 语言叙述 字母表示 等式性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果，那么 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以一个不为的数，结果仍相等 如果，那么； 如果，那么 重点解读 （1） 注意等式左右两边同时加、减、乘或除以不能遗漏任一边，并且同时加、减、乘或除以的数必须是同一个数； （2） 等式的两边除以一个数或整式时，这个数或整式不能为0； （3） 等式还有以下性质：①如果，，那么；②如果，那么 5、解一元一次方程的一般步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 变形名称 依据 具体做法 注意事项 去分母 等式的性质2 在等号两边都乘各分母的最小公倍数 （1） 不要漏乘不含分母的项； （2） 若分子是一个多项式，需加上括号 去括号 乘法分配律、去括号法则 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1） 不要漏乘括号里的项； （2） 不要弄错符号 移项 移项法则 把含有未知数的项移动到方程的一边，其他的项移动到方程的另一边 （1） 移项要变号； （2） 不要丢项 合并 同类项 合并同类项法则 把方程化为的形式 （1） 字母及其指数不变，系数相加； （2） 不要漏项 系数 化为1 等式的性质2 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 切忌分子、分母位置颠倒 6、方程(组)与实际问题 解有关方程(组)的实际问题的一般步骤： 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程(组)。根据题中各个量的关系列出方程(组)。 第4步：解方程(组)。根据方程(组)的类型采用相应的解法。 第5步：答。 题型归纳 题型一、等式的性质 1．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知， （1）若，则与的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含，的代数式表示） 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）小邱认为，若，则．你认为小邱的观点正确吗？ （填“正确”或“不正确”） 5．（24-25七年级下·山西临汾·期中）下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二、解一元一次方程 6．（海南省儋州市2024--2025学年下学期八年级期中学业质量测试数学题）若代数式x+3的值为6，则x的值为 （   ） A．9 B． C．3 D． 7．（24-25七年级下·山西临汾·期中）解方程： (1)． (2)． 8．（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）定义：使成立的一对有理数a，b称为“共生有理数对”，记作．例如：因为，所以是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若5是“共生有理数对”中的一个有理数，则这个“共生有理数对”为______； (3)若数对是“共生有理数对”，且，求的值． 9．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数．小张的解法如下： 解：依据题意可知：是和两个数中的一个． 当时，解得 ………………………………………………① 这个数是…………………………………………………………② 当时，解得 ……………………………………………③ 这个数是………………………………………………………④ 综上可得：这个数为或． (1)王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：__________（填写序号）； (2)请你帮助小张写出正确过程． 题型三、一元一次方程的含参数问题 10．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）关于的方程的解比关于的方程（）的解大，则的值为 ． 12．（24-25七年级上·河南安阳·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果关于的方程无解，那么满足的条件是 ． 14．（24-25七年级上·广东江门·期末）若是方程的解，则m的值是 ． 题型四、一元一次方程的错解问题 15．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小华解方程，去分母时，方程右边忘记乘10，因而求的方程的解为，试求的值，并正确解方程． 16．（24-25七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次方程．小明在去分母时，没有将方程右边的项“”乘以，因而求得解为． (1)试求的值； (2)求出原方程的解． 17．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知关于的方程，小李由于粗心，把看成6，解得，小王正确解方程得．试求a、b的值． 18．（24-25七年级上·广东佛山·期末）小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：”，△处被污染看不清．若方程的解是，则▲处的数字是应是 ； 题型五、一元一次方程的同解问题 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 20．（24-25七年级上·江西上饶·期末）已知与关于x的方程的解相同，则的值为（     ） A．18 B．20 C．26 D． 21．（24-25七年级上·陕西延安·期末）若关于x的方程与方程有相同的解，求a的值． 22．（24-25七年级上·云南昆明·期末）若方程和的解相同，则a的值是 ． 题型六、与解一元一次方程有关的新定义问题 23．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如的解为，且，则方程是“和解方程”． 请根据规定解答下列问题： (1)判断是否为“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 24．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 25．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）我们规定：若关于a的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，且，则为“和解方程”．请根据上述规定解答以下问题：已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求b的值． 26．（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段练习）新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 题型七、一元一次方程与实际问题 类型1配套问题 27．（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 28．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 29．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 类型2工程问题 30．（24-25七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 31．（24-25七年级下·吉林长春·期中）某项工作甲单独做需3小时完成，乙单独做需4小时完成，甲、乙合做一小时后，剩余部分由乙单独完成，则还需多少小时？ 32．（24-25七年级下·四川内江·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 类型3销售盈亏问题 33．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： （注：获利=售价进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 26 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 34．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票比普通电影票贵元，企业花费元购买了张普通电影票和张电影票． (1)普通电影票和电影票的单价各是多少元？ (2)电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通电影票超过张的部分，每张打八折；购买电影票超过张的部分，每张打九折．该企业计划购买张普通电影票和张电影票，那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？ 35．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过千克的部分 元千克 超过千克但不超过千克的部分 元千克 超过千克的部分 元千克 (1)若陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费______元；第二次购买丰水梨千克，需要付费______元；第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． (2)若陈阿姨购买丰水梨花了元，求她买了多少千克的丰水梨？ (3)若陈阿姨分两次共购买千克的丰水梨，且第一次购买的数量为千克（），请问她这两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含的式子表示） 类型4比赛积分问题 36．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 37．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）某中学举办的中学生禁毒知识竞赛中共有20道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣2分，小红得了65分．求小红答对了多少道题？ 38．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 类型5方案选择问题 39．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 40．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按收费，在乙商场累计购物超过100元后，超过100元的部分按收费．设顾客累计购物金额为x元 (1)用含x的式子分别表示出顾客在甲、乙两商场购物的花费； (2)顾客到哪家商场购物花费少？ 41．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 类型6数字问题 42．（24-25七年级下·江苏南通·期中）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍少9，求原来的两位数． 43．（24-25七年级下·山西临汾·期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且个位上的数字和十位上的数字之和是这个两位数的，则这个两位数是 ． 44．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，∴是“快乐数”；又如：四位数，，∴不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为 ． 类型7和差倍分问题 45．（24-25七年级下·吉林长春·期中）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组10人，这样比原来减少4组．问这些学生共有多少人？ 46．（24-25七年级下·山西临汾·期中）某校计划举行“六一”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定小学部30个教学班每班要表演1个节目，报送后获悉舞蹈类节目比歌唱类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？ 47．（24-25七年级上·陕西延安·期末）习近平总书记指出，要培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．良好的身体素质是所有的前提保障，体育锻炼是增强体质最有效的手段，某校决定购买一些羽毛球拍和羽毛球，其中每副羽毛球拍的价格比一桶羽毛球贵12元，购买5副羽毛球拍和4桶羽毛球一共需要330元． (1)每副羽毛球拍和每桶羽毛球的价格分别是多少元？ (2)该校一共购买了羽毛球拍和羽毛球152件，体育教研组决定为兴趣组的同学每人配1副羽毛球拍和3桶羽毛球，刚好够分，请问学校购买了多少副羽毛球拍，多少桶羽毛球？ 类型8电费水费问题 48．（24-25七年级下·四川眉山·期中）“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 (1)如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费______元． (2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？ 49．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表所示： 一户居民一个月用电量 电费价格（元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 某居民五月份用电千瓦时，缴纳电费元． (1)求x和超出部分的电费单价． (2)若该户居民六月份缴纳电费元，求该户居民六月份的用电量． 50．（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 类型9行程问题 51．（24-25七年级下·山西临汾·期中）随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 52．（24-25七年级下·山西长治·期中）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式．某日早上小飞与小浩相约在“水上公园”晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，跑完后，他们查看自己运动手表上的数据，得到如下信息： 信息一： 小飞出发时刻 智能手表数据 小飞结束时刻 智能手表数据 小浩出发时刻 智能手表数据 小浩结束时刻 智能手表数据 时刻 步数（690步） 心率（92次/分钟） 时刻 步数（4690步） 心率（132次/分钟） 时刻 步数（340步） 心率（85次/分钟） 时刻 步数（4840步） 心率（141次/分钟） 信息二：小飞每分钟比小浩多跑20步． 信息三：小飞每步比小浩每步多跑米．解决问题： (1)以上“信息一”中的a为__________； (2)列方程求起点与终点的距离． 53．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地上绕着四周跑步，甲沿着方向循环跑步，同时乙沿着方向循环跑步，米，米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒． (1)设经过的时间为秒，则用含的代数式表示甲的路程为________米； (2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为多少秒？请在图中用圆点标出相遇点的位置． (3)若甲改为沿着的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙第一次追上甲？请在图中用圆点标出追及点的位置并直接写出、两点间的距离． 类型10日历问题 54．（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 55．（24-25七年级上·四川南充·期中）数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数， (1)用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）． (2)用图2方框圈出的四个数的和是32，求这四个数中最小的那个数． (3)①用图3斜框圈出的四个数的和是42，求这四个数中最大的那个数． ②若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．（提示：设第一个偶数为2n） 56．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是． (1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由． 类型11古代问题 57．（24-25七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 58．（24-25七年级上·广东广州·期末）请用方程来解决下面问题： 【经典数学问题】元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？” 其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？ 59．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代著名的数学著作，书中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子多出4.5尺；将绳子对折后量木条，木条多出1尺．问木条的长度为多少？请你用方程的方法解决该问题． 真题感知 一、单选题 1．（24-25七年级上·重庆·期中）按照下面的程序计算：当输入为32时，输出结果为155；当输入为11时，输出结果为245；若输入的的值为正整数，输出结果为95，那么满足条件的的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要5天、10天完成．如果先由乙工程队单独施工6天，然后再由两个工程队同时施工，则还需多少天完成．若设由两个工程队同时施工天可完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）某商店以240元/件的价格卖出两件衣服，一件赚，一件赔，则在本次交易中，该商店（　　） A．赚20元 B．赔20元 C．不赔不赚 D．无法确定 4．（24-25八年级下·山东德州·期中）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则x为（   ） A．40 B．80 C．40或80 D．60 5．（2025·河北唐山·一模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．或 D．1或 6．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动．当三角尺的边与平行时，运动时间为（    ）秒． A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为了亮化某景点，某市在两条笔直且互相平行的景观道，上分别放置E，F两盏激光灯，如图所示．E灯发出的光束自顺时针旋转至便立即回转，F灯发出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，E灯每秒转动，F灯每秒转动，F灯先转动3秒，E灯才开始转动．当F灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时E灯旋转的时间是（   ） A．1或11秒 B．3或秒 C．1或秒 D．3或11秒 8．（24-25七年级下·河北保定·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为尺，所列方程为 B．设绳子的长为尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 9．（24-25七年级上·四川南充·期中）若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 10．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．请解答下列问题： （1）当，时， ； （2）若，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）在一次劳动课上，有30名同学在甲处劳动，有12名同学在乙处劳动，现在另调25人也去这两处劳动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，如果设调往甲处人，那么依题意可列方程为 ． 13．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为，请写出符合条件的所有的值 ． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据绝对值的定义可知，表示数x在数轴上所对应的点与原点的距离；规定：表示数和数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果，那么m的值为 ． 15．（24-25七年级下·四川内江·期中）王强进行3000米的跑步练习，他以6米／秒的速度跑了一段路程后，又以4米／秒的速度跑完了其余的路程，一共花了10分钟，则他以6米／秒的速度跑了 米． 三、解答题 16．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）小军看一本故事书，第一天看了全书的，第二天又看了35页，这时已看页数和未看页数之比是．这本书共有多少页？ 17．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究如图，点表示的数是，点表示的数是，满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)________，________． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①问点运动多少秒时追上点？ ②问点运动多少秒时使得？ (3)若点从点出发向左运动，为的中点，在点到达点之前，求证：的值为定值． 18．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 19．（23-24七年级下·全国·课后作业）定义：若有理数a，b满足等式，且，则称a，b是“姊妹有理数对”，记作，如：数对都是“姊妹有理数对”． (1)数对_______（填“是”或“不是”）“姊妹有理数对”； (2)若是“姊妹有理数对”，求x的值． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在长方形中，．动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当点到达点时，求点走过的路程． (2)在点在到达终点之前的运动过程中．用含的代数式表示的长． (3)当、两点在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，求t的值． (4)连结、、、．当三角形的面积与三角形的面积相等时，直接写出的值 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次方程 核心考点聚焦 1、方程的概念 含有未知数的等式叫做方程 （1） 方程含有两个要素，一是含有未知数，二是必须是等式，二者缺一不可； （2） 方程一定是等式，但等式不一定是方程； （3） 方程中含有的未知数个数不限. 2、一元一次方程的概念 定义 只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是 重点解读 3、方程的解与解方程 定义 实质 方程的解 使方程等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 具体数值 解方程 求方程解的过程叫做解方程 变形过程 4、等式的性质 语言叙述 字母表示 等式性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果，那么 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以一个不为的数，结果仍相等 如果，那么； 如果，那么 重点解读 （1） 注意等式左右两边同时加、减、乘或除以不能遗漏任一边，并且同时加、减、乘或除以的数必须是同一个数； （2） 等式的两边除以一个数或整式时，这个数或整式不能为0； （3） 等式还有以下性质：①如果，，那么；②如果，那么 5、解一元一次方程的一般步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 变形名称 依据 具体做法 注意事项 去分母 等式的性质2 在等号两边都乘各分母的最小公倍数 （1） 不要漏乘不含分母的项； （2） 若分子是一个多项式，需加上括号 去括号 乘法分配律、去括号法则 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1） 不要漏乘括号里的项； （2） 不要弄错符号 移项 移项法则 把含有未知数的项移动到方程的一边，其他的项移动到方程的另一边 （1） 移项要变号； （2） 不要丢项 合并 同类项 合并同类项法则 把方程化为的形式 （1） 字母及其指数不变，系数相加； （2） 不要漏项 系数 化为1 等式的性质2 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 切忌分子、分母位置颠倒 6、方程(组)与实际问题 解有关方程(组)的实际问题的一般步骤： 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程(组)。根据题中各个量的关系列出方程(组)。 第4步：解方程(组)。根据方程(组)的类型采用相应的解法。 第5步：答。 题型归纳 题型一、等式的性质 1．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立． 【详解】、如果，那么，原选项正确，不符合题意； 、如果，，那么，原选项错误，符合题意； 、如果，那么，原选项正确，不符合题意； 、如果，那么，原选项正确，不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知， （1）若，则与的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案； （2）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，故原等式变形错误，不符合题意； B． 若，当时，则，故原等式变形错误，不符合题意； C． 若，则，故原等式变形正确，符合题意； D． 若，则，故原等式变形错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）小邱认为，若，则．你认为小邱的观点正确吗？ （填“正确”或“不正确”） 【答案】不正确 【分析】本题考查了等式的性质的运用，灵活运用性质是解题的关键. 根据等式的性质2进行判断即可得出结论. 【详解】解：小邱认为，若，则. 小邱的观点不正确， 原因是当时，可以不等于. 故答案为：不正确. 5．（24-25七年级下·山西临汾·期中）下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式变形错误，不符合题意； B、若，则，原式变形错误，不符合题意； C、，则，原式变形错误，不符合题意； D、若，则，原式变形正确，符合题意； 故选：D． 题型二、解一元一次方程 6．（海南省儋州市2024--2025学年下学期八年级期中学业质量测试数学题）若代数式x+3的值为6，则x的值为 （   ） A．9 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程，先根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：C． 7．（24-25七年级下·山西临汾·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解； （2）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】（1）去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得. （2）去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得. 8．（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）定义：使成立的一对有理数a，b称为“共生有理数对”，记作．例如：因为，所以是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若5是“共生有理数对”中的一个有理数，则这个“共生有理数对”为______； (3)若数对是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是，理由见详解 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算及代数式的值、一元一次方程的解法，熟练掌握含乘方的有理数混合运算及代数式的值、一元一次方程的解法是解题的关键； （1）根据题中所给定义可进行求解； （2）设另一个有理数为b，根据题意易得，进而求解即可； （3）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以数对不是“共生有理数对”； （2）解：设另一个有理数为b，因为5是“共生有理数对”中的一个有理数， 所以，或， 解得：或， 所以这个“共生有理数对”为或； 故答案为或； （3）解：因为数对是“共生有理数对”，且， 所以， 所以， ∴． 9．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数．小张的解法如下： 解：依据题意可知：是和两个数中的一个． 当时，解得 ………………………………………………① 这个数是…………………………………………………………② 当时，解得 ……………………………………………③ 这个数是………………………………………………………④ 综上可得：这个数为或． (1)王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：__________（填写序号）； (2)请你帮助小张写出正确过程． 【答案】(1)②③④ (2)见解析 【分析】（1）根据平方根，算术平方根与原数的关系解答即可； （2）根据平方根，算术平方根得定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，不难发现②③④都是错误的， 故答案为：②③④． （2）解：依据题意可知： 是和两个数中的一个，              当时，解得， ，     这个数为； 当时，解得：，      （不合题意，舍去）；         综上可得：这个数为． 题型三、一元一次方程的含参数问题 10．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，解题关键是先解方程得到，再根据方程的解和都为正整数，确定参数的值． 【详解】解：解一元一次方程， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 方程的解为正整数， 为正整数， 的值为、、、、， 的值有个． 故选：B ． 11．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）关于的方程的解比关于的方程（）的解大，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．通过解关于的方程、，分别求得它们的解，然后依题意列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解方程的解是：； 方程的解是：， 依题意，得， 解得，． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河南安阳·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解一元一次方程可得，再由方程的解为正整数，则或，求出的值即可求解． 【详解】解：， ， ， 方程有正整数解， ， ， 方程的解是正整数， 或， 解得或， ， 故选：D． 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果关于的方程无解，那么满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程无解，可得答案，利用一元一次方程无解得出关于的方程是解题关键． 【详解】解：∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·广东江门·期末）若是方程的解，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入原方程，进行求解即可． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， ∴m的值是． 故答案为：． 题型四、一元一次方程的错解问题 15．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小华解方程，去分母时，方程右边忘记乘10，因而求的方程的解为，试求的值，并正确解方程． 【答案】，解方程见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，同时考查了一元一次方程的解法，正确求出a的值是解题的关键． 根据题意得出方程，将代入求出a的值，然后代入原方程即可求出正确的解． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 把代入， 得． 去分母得，， 去括号得， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 16．（24-25七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次方程．小明在去分母时，没有将方程右边的项“”乘以，因而求得解为． (1)试求的值； (2)求出原方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）按小明的错误解法将代入求解即可求出的值； （2）由（1）可知原方程为，根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，求解即可．． 【详解】（1）解：根据题意是方程的解， 将代入得： ； （2）由（1）知， 原方程为， ． 17．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知关于的方程，小李由于粗心，把看成6，解得，小王正确解方程得．试求a、b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了含参数的一元一次方程，解题关键是掌握解一元一次方程的基本步骤．将，，代入可得a的值，再将代入可得b的值． 【详解】解：把，代入得：， 解得：， 所以原方程为：， 把代入得：， 解得：， 所以，． 18．（24-25七年级上·广东佛山·期末）小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：”，△处被污染看不清．若方程的解是，则▲处的数字是应是 ； 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，可列出关于▲的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】解：将代入原方程， 解得： 故答案为：． 题型五、一元一次方程的同解问题 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】解第一个方程，得，把代入第二个方程，得，解得． 本题考查了一元一次方程的解法，同解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 由方程与关于的方程的解相同， 得， 解得． 20．（24-25七年级上·江西上饶·期末）已知与关于x的方程的解相同，则的值为（     ） A．18 B．20 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，求出第一个方程的解是，根据解相同得出第二个方程的解是，把代入第二个方程求得k的值，最后代入求解即可；得到关于k的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：解方程可得， ∵方程的解与方程的解相同， ∴方程的解为， 把代入可得：， 解得：， ∴． 故选：C． 21．（24-25七年级上·陕西延安·期末）若关于x的方程与方程有相同的解，求a的值． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解方法是解题的关键．解方程得出的值，根据题意代入的值到方程，即可求出a的值． 【详解】解：解方程，得， 关于x的方程与方程有相同的解， 代入到方程，得， 解得：， a的值为3． 22．（24-25七年级上·云南昆明·期末）若方程和的解相同，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，正确计算是解题的关键．先求出方程的解，再代入方程中即可求出a的值． 【详解】解：解方程，得， 根据题意把代入方程中，， 解得， 故答案为：． 题型六、与解一元一次方程有关的新定义问题 23．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如的解为，且，则方程是“和解方程”． 请根据规定解答下列问题： (1)判断是否为“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，解一元一次方程，能理解“和解方程”的意义是解此题的关键． （1）求出方程的解，再根据“和解方程”的意义得出即可； （2）根据“和解方程”得出关于p的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：是“和解方程”．理由如下： 由方程， 解得． 因为， 所以是“和解方程”； （2）解：由方程， 解得． 因为关于的一元一次方程是“和解方程”， 所以， 解得． 24．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）先解方程，再根据“有趣方程”的定义解答即可求解； （）先解方程，再根据“有趣方程”的定义及方程的解为列式解答即可求解； 本题考查了解一元一次方程，方程的解，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴，， 解得，． 25．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）我们规定：若关于a的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，且，则为“和解方程”．请根据上述规定解答以下问题：已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义和一元一次方程的解以及代数式求值，根据新定义和一元一次方程解的定义得到，，据此推出，，即，，则． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴关于x的一元一次方程的解是， 又∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是， ∴， ∴，， ∴， ∴． 26．（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段练习）新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得； （2）由题意得，另一个解为，则根据“1方程”的定义得到或，解方程即可得到答案； （3）先解方程得：，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的方程的解为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“1方程”， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴； （2）解：由题意得，另一个解为， ∵“1方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得：， ∵关于的一元一次方程和是“1方程”， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 即的解为， ∴关于的方程的解为 解得： 题型七、一元一次方程与实际问题 类型1配套问题 27．（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配25名工人生产电压表 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设应分配x名工人生产电压表．根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设应分配x名工人生产电压表， 根据题意，得， 解得：． 答：应分配25名工人生产电压表． 28．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)男生26人；女生29人 (2)应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底 【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得 ， 解得， ∴该班有男生26人，女生29人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， ∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 29．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 【答案】(1)安排木材制作桌面，则安排制作桌腿 (2)每张餐桌的进价是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿，根据一个桌面配4个桌腿列出方程求解即可； （2）设每张餐桌的进价是y元，则每张餐桌的售价为元，再根据销售额等于售价乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿， 由题意得， 解得， ∴， 答：安排木材制作桌面，则安排制作桌腿； （2）解；设每张餐桌的进价是y元， 由题意得，， 解得， 答：每张餐桌的进价是500元． 类型2工程问题 30．（24-25七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程； （1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米，根据甲、乙两工程队合作4天完成该工程的列出等式； （2）设甲工程队单独挖掘天，得出乙工程队挖掘天，再根据总费用为94万元建立等式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米． 由题意得，． 解得． ． 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天， 即天． 由题意得，． 解得． 答：甲工程队单独挖掘8天． 31．（24-25七年级下·吉林长春·期中）某项工作甲单独做需3小时完成，乙单独做需4小时完成，甲、乙合做一小时后，剩余部分由乙单独完成，则还需多少小时？ 【答案】小时 【分析】设总工作量为1，剩余部分由乙单独完成，还需x小时，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，列出方程，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键． 【详解】解：设总工作量为1，剩余部分由乙单独完成，还需x小时，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 根据题意，得． 解得， 答：乙还需要小时． 32．（24-25七年级下·四川内江·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作8天才能完成该工程； (2)甲、乙两队各获得工程款万元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出方程和算式，准确计算； （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，将整个工程看作单位1，然后列方程，解方程即可； （2）根据题意求得各自完成工作量，再按比例分配，计算即可． 【详解】（1）.解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程，则甲队单独施工的时间为天， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作8天才能完成该工程； （2）解：由（1）知乙队完成工作量，则甲队也完成工作量， 按比例分配得甲队获得工程款万元，乙队获得工程款万元， 答：甲、乙两队各获得工程款万元． 类型3销售盈亏问题 33．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： （注：获利=售价进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 26 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】(1)该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件 (2)共可获得利润1900元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据单价×数量=总价，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件． （2）解：（元）． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元． 34．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票比普通电影票贵元，企业花费元购买了张普通电影票和张电影票． (1)普通电影票和电影票的单价各是多少元？ (2)电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通电影票超过张的部分，每张打八折；购买电影票超过张的部分，每张打九折．该企业计划购买张普通电影票和张电影票，那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？ 【答案】(1)普通电影票的单价为元，电影票的单价为元 (2)元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用—销售问题，熟练根据题意列出一元一次方程，并掌握一元一次方程的解法是解题的关键， （1）设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）根据电影院推出优惠活动的政策，列出式子并计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：普通电影票的单价为元，电影票的单价为元． （2）解：由题意得： 总价， 答：该企业需要支付元． 35．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过千克的部分 元千克 超过千克但不超过千克的部分 元千克 超过千克的部分 元千克 (1)若陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费______元；第二次购买丰水梨千克，需要付费______元；第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． (2)若陈阿姨购买丰水梨花了元，求她买了多少千克的丰水梨？ (3)若陈阿姨分两次共购买千克的丰水梨，且第一次购买的数量为千克（），请问她这两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含的式子表示） 【答案】(1)，，； (2)陈阿姨买了千克的丰水梨； (3)当时，需要付费元；当时，需要付费元． 【分析】本题考查了列代数式，有理数加法和乘法的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式和代数式，再根据有理数运算，整式加减运算求解即可； （）由陈阿姨购买丰水梨花了元，可得陈阿姨购买丰水梨超过千克，再根据（）代数式列出方程，然后解方程即可； （）分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费（元）； 第二次购买丰水梨千克，需要付费（元）； 第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费 （元） 故答案为：，，； （2）解：因为陈阿姨购买丰水梨花了元， ∴陈阿姨购买丰水梨超过千克， ∴， 解得：， 答：陈阿姨买了千克的丰水梨； （3）解：当时，需要付费元； 当时，需要付费元． 类型4比赛积分问题 36．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 【答案】她答对了17道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设她答对了道题，则答错道题．根据“本次竞赛中获得了76分”列出一元一次方程，解方程，即可求解．关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设她答对了道题，则答错道题． 根据题意，得 解得 答：她答对了17道题． 37．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）某中学举办的中学生禁毒知识竞赛中共有20道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣2分，小红得了65分．求小红答对了多少道题？ 【答案】小红答对了15道题 【分析】本题主要考查解一元一次方程，从题目中列出一元一次方程是解题的关键． 设小强答对了x道题，根据条件列出关于x的方程，解出即可． 【详解】解：设小红答对了道题． 依题意，列方程得， 解得． 答：小红答对了15道题． 38．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 【答案】(1)6，； (2)小明答对了15道题． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用答对道题得分参赛者的得分参赛者答对题目数，可求出答对道题得分；利用答错道题得分参赛者的得分答对道题得分参赛者答对题目数，即可求出答错道题得分； （2）设小明答对了道题，则答错道题，利用小明的得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：参赛者答对道题得分 答错道题得分 故答案为：6，； （2）设小明答对了道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得： 答：小明答对了道题． 类型5方案选择问题 39．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解掌握统计表的特点及作用，并根据统计表提供的信息，解决有关实际问题． （1）根据题意和表格中的数据可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：方式一：（元）， 方式二：（元）， 答：一个月内在本地通话分钟,按方式一需交费元，按方式二需交费元. （2）解：设分钟两种计费方式收费一样多， 根据题意得，， 解得， 答：当通话分钟时，两种计费方式收费一样. 40．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按收费，在乙商场累计购物超过100元后，超过100元的部分按收费．设顾客累计购物金额为x元 (1)用含x的式子分别表示出顾客在甲、乙两商场购物的花费； (2)顾客到哪家商场购物花费少？ 【答案】(1)当时，甲商场购物的花费为x元，当时，甲商场购物的花费为元；当时，乙商场购物的花费为x元，当时，乙商场购物的花费为元； (2)当或时，到两个商场购物花费一样；当乙商场购物花费少；当时，到甲商场购物花费少 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程和整式加减的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求甲的花费时分和两种情况，求乙的花费时分和两种情况； （2）分当，和三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，甲商场购物的花费为x元， 当时，甲商场购物的花费为元； 当时，乙商场购物的花费为x元， 当时，乙商场购物的花费为元； （2）解：当时，两个商场都没有优惠，故此时到两个商场购物花费一样； 当时，由于甲商场没有优惠，乙商场有优惠，故此时到乙商场购物花费少； 当时，解得，故当时，此时到两个商场购物花费一样； ∵， ∴当时，， ∴当时，到乙商场购物花费少； 当时，，此时到两个商场购物花费一样； 当时，，此时到甲商场购物花费少； 综上所述，当或时，到两个商场购物花费一样；当乙商场购物花费少；当时，到甲商场购物花费少． 41．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)85 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）解：当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 类型6数字问题 42．（24-25七年级下·江苏南通·期中）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍少9，求原来的两位数． 【答案】36 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决数字问题，解题的关键是假设未知数，找准等量关系． 假设原来的两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，表示出新数和原来的数，根据两个数的关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：假设原来的两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， ∴该数为，新数为， 根据题意得， 解得， ∴原来的两位数为． 43．（24-25七年级下·山西临汾·期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且个位上的数字和十位上的数字之和是这个两位数的，则这个两位数是 ． 【答案】36 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据个位上的数字和十位上的数字之和是这个两位数的，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意，得：， 解得：， ∴这个两位数是36； 故答案为：36． 44．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，∴是“快乐数”；又如：四位数，，∴不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据新定义得，求出的值即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴这个数为， 故答案为：． 类型7和差倍分问题 45．（24-25七年级下·吉林长春·期中）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组10人，这样比原来减少4组．问这些学生共有多少人？ 【答案】60人 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少4组，根据此列方程求解． 【详解】解：设这些学生共有x人，根据题意，得 ， 解得， 答：这些学生共有60人． 46．（24-25七年级下·山西临汾·期中）某校计划举行“六一”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定小学部30个教学班每班要表演1个节目，报送后获悉舞蹈类节目比歌唱类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？ 【答案】舞蹈类节目有22个 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设歌唱类节目有x个，则舞蹈类节目有个，然后根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设歌唱类节目有x个，则舞蹈类节目有个，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：舞蹈类节目有22个． 47．（24-25七年级上·陕西延安·期末）习近平总书记指出，要培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．良好的身体素质是所有的前提保障，体育锻炼是增强体质最有效的手段，某校决定购买一些羽毛球拍和羽毛球，其中每副羽毛球拍的价格比一桶羽毛球贵12元，购买5副羽毛球拍和4桶羽毛球一共需要330元． (1)每副羽毛球拍和每桶羽毛球的价格分别是多少元？ (2)该校一共购买了羽毛球拍和羽毛球152件，体育教研组决定为兴趣组的同学每人配1副羽毛球拍和3桶羽毛球，刚好够分，请问学校购买了多少副羽毛球拍，多少桶羽毛球？ 【答案】(1)每副羽毛球拍的价格为42元，每桶羽毛球的价格为30元 (2)学校购买了38副羽毛球拍，114桶羽毛球 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每桶羽毛球的价格为元，则每副羽毛球拍的价格为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设学校购买了副羽毛球拍，则购买了桶羽毛球，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：设每桶羽毛球的价格为元，则每副羽毛球拍的价格为元， 由题意得，， 解得：， 则， 答：每副羽毛球拍的价格为42元，每桶羽毛球的价格为30元． （2）解：设学校购买了副羽毛球拍，则购买了桶羽毛球， 由题意得，， 解得：， 则， 答：学校购买了38副羽毛球拍，114桶羽毛球． 类型8电费水费问题 48．（24-25七年级下·四川眉山·期中）“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 (1)如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费______元． (2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？ 【答案】(1) (2)设该用户2月份用水 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，根据该用户1月份应该缴纳水费为，计算求解即可； （2）设该用户2月份用水，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，该用户1月份应该缴纳水费（元）， 故答案为：； （2）解：设该用户2月份用水， 依题意得，， 解得，， ∴该用户2月份用水． 49．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表所示： 一户居民一个月用电量 电费价格（元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 某居民五月份用电千瓦时，缴纳电费元． (1)求x和超出部分的电费单价． (2)若该户居民六月份缴纳电费元，求该户居民六月份的用电量． 【答案】(1)，元/千瓦时 (2)该户居民六月份的用电量为千瓦时 【分析】本题考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）根据题意列方程求解，进而求解超出部分的电费单价； （2）设该户居民六月份的用电量为千瓦时，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 所以超出部分的电费单价是 (元千瓦时)； （2）解：因为， 所以该户居民六月份的用电量超过千瓦时； 设该户居民六月份的用电量为千瓦时， 根据题意，得， 解得， 故该户居民六月份的用电量为千瓦时． 50．（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 【答案】(1)使用专车、快车出行各需支付费用元、元； (2)使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； (3)的值为或 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）分三种情况讨论：当时，不符合题意；当时，得到，求出；当时，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：使用专车出行需支付费用为（元） 使用快车出行需支付费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付费用元、元； （2）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； （3）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为元， 使用快车出行需支付的费用最少为元， 元， 不符合题意； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元） ， 解得； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， ， 解得， 综上所述，的值为或． 类型9行程问题 51．（24-25七年级下·山西临汾·期中）随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 【答案】(1)12分钟 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程进行求解； （1）设两人出发后分钟相遇，根据两人的速度及距离为千米列出等式求解即可； （2）先判断出两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇，设两人在出发后分钟相遇，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：设两人出发后分钟相遇． 由题意得，， 解得． 答：两人出发后12分钟相遇． （2）解：设两人在出发后分钟相遇． 当时，，且小聪跑步速度大于小明跑步速度， 两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇． 由题意得，． 解得． 两人在出发后分钟相遇． 52．（24-25七年级下·山西长治·期中）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式．某日早上小飞与小浩相约在“水上公园”晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，跑完后，他们查看自己运动手表上的数据，得到如下信息： 信息一： 小飞出发时刻 智能手表数据 小飞结束时刻 智能手表数据 小浩出发时刻 智能手表数据 小浩结束时刻 智能手表数据 时刻 步数（690步） 心率（92次/分钟） 时刻 步数（4690步） 心率（132次/分钟） 时刻 步数（340步） 心率（85次/分钟） 时刻 步数（4840步） 心率（141次/分钟） 信息二：小飞每分钟比小浩多跑20步． 信息三：小飞每步比小浩每步多跑米．解决问题： (1)以上“信息一”中的a为__________； (2)列方程求起点与终点的距离． 【答案】(1) (2)起点与终点的距离为米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数运算的应用，熟练掌握行程类一元一次方程的应用方法是解题的关键． （1）先求出小飞的速度，由小飞每分钟比小浩多跑步，得出小浩的速度，再求出小浩的步数，即可求出小浩的运动时间； （2）设小浩每步跑米，则小飞每步跑米，利用两人行驶路程相同列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知小飞跑步分钟，步数为（步）， 则小飞跑步的速度为（步分钟）， 由小飞每分钟比小浩多跑步， 则小浩跑步的速度为（步分钟）， 由小浩跑步的步数为（步）， 则小浩跑步的时间为（分钟）， 由小浩出发时刻为， 则小浩结束时刻的值为， 故答案为：； （2）解：设小浩每步跑米，则小飞每步跑米， 根据题意得： ， 解得：， 所以（米）， 答：起点与终点的距离为米． 53．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地上绕着四周跑步，甲沿着方向循环跑步，同时乙沿着方向循环跑步，米，米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒． (1)设经过的时间为秒，则用含的代数式表示甲的路程为________米； (2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为多少秒？请在图中用圆点标出相遇点的位置． (3)若甲改为沿着的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙第一次追上甲？请在图中用圆点标出追及点的位置并直接写出、两点间的距离． 【答案】(1) (2)26秒，见解析 (3)130秒，见解析，、两点间的距离为8米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）利用路程=速度×时间，可用含t的代数式表示甲的路程； （2）利用甲、乙的路程之和等于米，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其代入2t中，可求出甲的路程，结合甲的路径，即可找出点P的位置； （3）利用甲、乙的路程之差等于米，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其代入2t中，可求出甲的路程，结合甲的路径，即可找出点Q的位置，再利用，即可求出结论． 【详解】（1）解：用含的代数式表示甲的路程为米， 故答案为：； （2）解：依题意，得， 解得：， ∴（米）， （米）． 当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为26秒，相遇点的位置如图所示： （3）解：依题意，得， 解得：， ∴（米）， （米）， （米）． 答：经过130秒，乙第一次追上甲，相遇点的位置如图所示，此时、两点间的距离为8米． 类型10日历问题 54．（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 【答案】(1)22 (2)不可以；理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据图形，得到“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9， ∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为； 故答案为：22； （2）不可以，理由如下： 由题意，得：， 解得：， 此时不存在“十字型”，故的值不可以是90． 55．（24-25七年级上·四川南充·期中）数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数， (1)用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）． (2)用图2方框圈出的四个数的和是32，求这四个数中最小的那个数． (3)①用图3斜框圈出的四个数的和是42，求这四个数中最大的那个数． ②若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．（提示：设第一个偶数为2n） 【答案】(1) (2)4 (3)①；②见解析． 【分析】此题考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据日历表上下两个数相差7即可得到答案； （2）设第一个数是x，表示出其余三个数，根据四个数的和是32列方程，解方程即可得到答案； （3）①设最大的数是x，表示出其余三个数，根据四个数和是42列方程，解方程即可得到答案；②设这四个数中最小的数是n，表示出其余三个数，得到，根据且n为偶数分析即可得到结论． 【详解】（1）解：由日历可知，用图1方框圈2个数，?位置的数可表示为， 故答案为： （2）设最小的那个数是x， 则， 解得， 即最小的那个数是4， 故答案为：4 （3）①解：设最大的数是x，则 ， 解得， 即最大的数是， 故答案为： ②设这四个数中最小的数是n， 则， ∵且n为偶数， ∴一定是正整数， ∴是8的整数倍． 即用图3斜框圈出4个数，则这四个数的和是8的整数倍． 56．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是． (1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，用含的代数式表示其他六个数． （1）设“H”形框中的七个数中最中间一个数是，则其他六个数是、、、、、，相加即可得到答案； （2）由（1）可知，，解得，此时最大的数，而日历中没有，故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于． 【详解】（1）解：设“H”形框中的七个数中最中间一个数是，则其他六个数是、、、、、， 七个数的和是； （2）“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于，理由如下： 由（1）得，， 解得， 此时最大的数，而日历中没有， 故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于． 类型11古代问题 57．（24-25七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 【答案】4人，20元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键．设有x人，则物品的价值可表示为或，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设有x人， 根据题意得，， 解得， 物价：（元）， 答：有4人共同买这件物品，这件物品的价格为20元． 58．（24-25七年级上·广东广州·期末）请用方程来解决下面问题： 【经典数学问题】元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？” 其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？ 【答案】快马20天追上慢马 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程，解出即可． 【详解】解：设快马天追上慢马，则此时慢马走了天， 依题意，得， 解得， 答：快马20天追上慢马． 59．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代著名的数学著作，书中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子多出4.5尺；将绳子对折后量木条，木条多出1尺．问木条的长度为多少？请你用方程的方法解决该问题． 【答案】木条的长度为尺． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识．设木条的长度为x尺，则绳子的长度为尺，根据“将绳子对折后量木条，木条多出1尺”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设木条的长度为x尺，则绳子的长度为尺， 根据题意得：， 解得：． 答：木条的长度为尺． 真题感知 一、单选题 1．（24-25七年级上·重庆·期中）按照下面的程序计算：当输入为32时，输出结果为155；当输入为11时，输出结果为245；若输入的的值为正整数，输出结果为95，那么满足条件的的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图与代数式求值，解一元一次方程；分情况考虑，95是一次输出的结果；95是丙次运算输出的结果；95是三次运算输出的结果；分别利用一元一次方程求解即可． 【详解】解：若95是一次计算输出的结果，则， 解得：； 若95是经过两次计算输出的结果，由上知，第一次输出的结果为20，第二次输出的结果为95，故， 解得：； 若95是经过三次计算输出的结果，由上知，第二次输出的结果为20，第三次输出的结果为95，故， 解得：； 由于输入的的值为正整数，故满足条件的x的值最多有3个； 故选：C． 2．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要5天、10天完成．如果先由乙工程队单独施工6天，然后再由两个工程队同时施工，则还需多少天完成．若设由两个工程队同时施工天可完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据总工作量等于各劳动分量之和，列出方程即可． 【详解】解：由题意，乙的总工作量为，甲的总工作量为：， ∴可列方程为：； 故选C． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）某商店以240元/件的价格卖出两件衣服，一件赚，一件赔，则在本次交易中，该商店（　　） A．赚20元 B．赔20元 C．不赔不赚 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，求出两件衣服的进价是解题的关键． 设进价为x元，根据售价（1利润率）进价列出一元一次方程，计算出赚了的衣服进价，然后再计算出赔了的衣服进价，然后再计算出是赔还是赚即可． 【详解】解：设赚了的衣服的进价是x元，则， 解得，， 则实际赚了元； 设赔了的衣服进价是y元， 则， 解得， 则实际赔了元； ∵， ∴在这次交易中，该商店是赔了（元）． 故选B． 4．（24-25八年级下·山东德州·期中）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则x为（   ） A．40 B．80 C．40或80 D．60 【答案】C 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，邻补角与对顶角的性质，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角、有对顶角，由此列方程解答． 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故选：C． 5．（2025·河北唐山·一模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程．由于八个数的和是，所以需满足内外两个正方形顶点上的4个数字之和都是，横、竖的和也是．列方程可得结论． 【详解】解：设小正方形顶点上的数为x，大正方形顶点上的数为y， ， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴内外两个正方形顶点上的4个数字之和都是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 6．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动．当三角尺的边与平行时，运动时间为（    ）秒． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，平行线的性质，由题意知只有能与平行，设运动时间为秒，可得，，由平行线的性质得，进而可得，解方程即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵与有公共点， ∴只有能与平行，如图， 设运动时间为秒， 由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵三角尺的边与刻度线重合时，， ∴符合题意， 故选：． 7．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为了亮化某景点，某市在两条笔直且互相平行的景观道，上分别放置E，F两盏激光灯，如图所示．E灯发出的光束自顺时针旋转至便立即回转，F灯发出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，E灯每秒转动，F灯每秒转动，F灯先转动3秒，E灯才开始转动．当F灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时E灯旋转的时间是（   ） A．1或11秒 B．3或秒 C．1或秒 D．3或11秒 【答案】D 【分析】设E灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②两种情况，先分别画出图形，然后根据平行线的性质，得出角度间的关系，建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设E灯旋转的时间为秒， F灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒， 灯先转动3秒，E灯才开始转动， ，即， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当时，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②如图，当时，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上，E灯旋转的时间为3秒或秒． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并据此分情况讨论是解题关键． 8．（24-25七年级下·河北保定·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为尺，所列方程为 B．设绳子的长为尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程求解，逐项判断即可． 【详解】解：设井深尺， 根据题意得， 故选项A错误，不符合题意； 解得：， 井深8尺， 故选项D正确，符合题意； ， 绳子的长是尺， 故选项C错误，不符合题意； 设绳子的长为尺，根据题意得， 故选项B错误，不符合题意； 故选：D． 9．（24-25七年级上·四川南充·期中）若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，“如果，那么” ，“如果，那么” ，“如果，那么（）”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键． 【详解】解：因为，所以当时，，结论错误，故不符合题意； B.因为，所以，结论错误，故不符合题意； C.因为，所以，结论正确，故符合题意； D.因为，所以或，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 10．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数的性质，解一元一次方程，根据相反数的性质得到，解方程即可解答． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， 解得． 故选：A 二、填空题 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．请解答下列问题： （1）当，时， ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查新定义下的运算，有理数混合运算，绝对值的性质，解一元一次方程，解题的关键是掌握知识点的应用以及分类讨论思想． （）根据新定义即可求解； （）分当为偶数时，则为奇数和当为奇数时，则为偶数两种情况分析，然后根据新定义列出方程，再进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（）当，时，为偶数， ∴ ， 故答案为：； （）当为偶数时，则为奇数，， 当时，，解得：（舍） 当时，，解得：（舍）， 当时，，解得：（舍）； 当为奇数时，则为偶数，， 当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或， 故答案为：或． 12．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）在一次劳动课上，有30名同学在甲处劳动，有12名同学在乙处劳动，现在另调25人也去这两处劳动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，如果设调往甲处人，那么依题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，列出方程即可． 【详解】解：设调往甲处人，则调往乙处人，由题意，得： ； 故答案为： 13．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为，请写出符合条件的所有的值 ． 【答案】或/8或2 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次方程的应用，根据输出结果，由运算程序求出所有的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：若第一次输入，输出结果为时，则，解得：； 若第二次输出结果为时，则，解得：； 若第三次输出结果为时，则，解得：（不符合题意）； ∴所有正数的值为或， 故答案为：或． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据绝对值的定义可知，表示数x在数轴上所对应的点与原点的距离；规定：表示数和数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果，那么m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是数轴与绝对值，一元一次方程的应用，根据绝对值的定义可知：表示为m点到和3的距离和为5，分为三种情况：当时，即和当时，即，当时，再分别求解即可． 【详解】解：根据绝对值的定义可知：表示为m点到和3的距离和为5， ∴分为三种情况： 当时，即， 解得：； 当时，， 当时，即， 解得：； 综上，m的值为或， 故答案为：或． 15．（24-25七年级下·四川内江·期中）王强进行3000米的跑步练习，他以6米／秒的速度跑了一段路程后，又以4米／秒的速度跑完了其余的路程，一共花了10分钟，则他以6米／秒的速度跑了 米． 【答案】1800 【分析】本题主要考查路程等于速度乘以时间和方程的应用，设王强以6米/秒速度跑了x米，那么以4米/秒速度跑了米，根据路程和所用时间列出方程求解即可． 【详解】解：设王强以6米/秒速度跑了x米，那么以4米/秒速度跑了米． 根据题意： 故答案为：1800． 三、解答题 16．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）小军看一本故事书，第一天看了全书的，第二天又看了35页，这时已看页数和未看页数之比是．这本书共有多少页？ 【答案】这本书共有350页 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这本书共有页，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设这本书共有页， 由题意得：， 解得：， 答：这本书共有350页． 17．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究如图，点表示的数是，点表示的数是，满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)________，________． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①问点运动多少秒时追上点？ ②问点运动多少秒时使得？ (3)若点从点出发向左运动，为的中点，在点到达点之前，求证：的值为定值． 【答案】(1)， (2)①点运动秒时追上点；②点运动秒或秒时使得 (3)见解析 【分析】本题考查了数轴与一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①由题意得：，，得到点表示的数是，点表示的数是，根据点追上点时两点在数轴上表示的数相同列方程即可求解；②由点表示的数是，点表示的数是，可得，根据列方程即可求； （3）分别表示出、、，再求的值即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：①由题意得：，， 点表示的数是，点表示的数是， 点表示的数是，点表示的数是， 点追上点时，， 解得：， 点运动秒时追上点； ②点表示的数是，点表示的数是， ， 当时，， 解得：或， 点运动秒或秒时使得； （3）解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，，， 为的中点， ， ， ． 18．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．把看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解： 令，则原方程变为， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故， 解得：． 19．（23-24七年级下·全国·课后作业）定义：若有理数a，b满足等式，且，则称a，b是“姊妹有理数对”，记作，如：数对都是“姊妹有理数对”． (1)数对_______（填“是”或“不是”）“姊妹有理数对”； (2)若是“姊妹有理数对”，求x的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用，掌握“姊妹有理数对”的定义是解题的关键． （1）根据“姊妹有理数对”的定义，进行判断即可； （2）根据“姊妹有理数对”的定义，得到关于x的方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， 数对是“姊妹有理数对”， 故答案为：是； （2）解：是“姊妹有理数对”， 可得， 解得． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在长方形中，．动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当点到达点时，求点走过的路程． (2)在点在到达终点之前的运动过程中．用含的代数式表示的长． (3)当、两点在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，求t的值． (4)连结、、、．当三角形的面积与三角形的面积相等时，直接写出的值 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）求出点到达点时的用时，即可求出答案； （2）分当点P在上时和当点P在上时两种情况列出代数式即可； （3）分当相遇前和当相遇后两种情况列方程进行解答即可； （4）分两种情况画出图形列方程进行解答即可． 【详解】（1）解：当点到达点时，用时， 则点走过的路程为． （2）当点P在上时，，其中， 当点P在上时，，其中， ∴ （3）当相遇前在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，则 或 解得或， 当相遇后在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，则 解得， 综上可知，当、两点在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，t的值为或或． （4）当在上，在上时，此时，,其中， ∴ ∵ ∴ 解得，符合题意， 当在上，在上时，此时，,其中， ∵ ∴ 解得， 综上可知，或， 即当三角形的面积与三角形的面积相等时，或 / 学科网（北京）股份有限公司 $$