期中易错题压轴题专项复习（考试范围：第5～7章）【15大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（华东师大版2024）

期中易错题压轴题专项复习【15大题型】 （考试范围：第5~7章） 【华东师大版2024】 【易错篇】 1 【考点1 一元一次方程】 1 【考点2 二元一次方程（组）】 2 【考点3 三元一次方程组】 3 【考点4 一元一次不等式】 3 【考点5 一元一次不等式组】 4 【压轴篇】 4 【考点6 解含参数的一元一次方程】 4 【考点7 解含绝对值的一元一次方程】 5 【考点8 一元一次方程的应用】 6 【考点9 整体思想解二元一次方程组】 7 【考点10 根据方程组解的个数求参数】 8 【考点11 二元一次方程组的应用】 8 【考点12 不等式(组)的整数解问题】 10 【考点13 不等式组的有解或无解问题】 11 【考点14 利用不等式的基本性质求最值】 11 【考点15 方程与不等式（组）的实际应用】 11 【易错篇】 【考点1 一元一次方程】 【例1】（24-25七年级·河南商丘·期末）幻方是中国古代的一种谜题，如图所示的的方格是一个三阶幻方（每行、每列及对角线上的三个数之和都相等），则a的值是 ． 11 a 9 【变式1-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（24-25七年级·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【变式1-3】（24-25七年级·安徽阜阳·期末）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为 ． 【考点2 二元一次方程（组）】 【例2】（23-24七年级·北京·期中）对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A．6 B．10 C．18 D．20 【变式2-1】（23-24七年级·湖南娄底·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 【变式2-2】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 【变式2-3】（24-25七年级·山西运城·期末）（1）解方程组： （2）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务. 解方程组 解：①，得，③           第一步 ②，得，④               第二步 ④③，得，                        第三步 解得，                           第四步 将代入②，得                第五步 所以，原方程组的解为           第六步 任务： ①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是__________，变形的目的是____________； ②以上求解步骤中第___________步开始出现错误，具体错误是___________； ③直接写出该方程组的正确解：_____________. 【考点3 三元一次方程组】 【例3】（23-24七年级·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级·湖北武汉·期末）三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【变式3-2】（23-24七年级·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式3-3】（23-24七年级·福建泉州·期中）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 【考点4 一元一次不等式】 【例4】关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【变式4-1】若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点5 一元一次不等式组】 【例5】（24-25八年级·四川眉山·期末）若不等式组的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式5-1】（24-25八年级·广西贵港·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【压轴篇】 【考点6 解含参数的一元一次方程】 【例6】（23-24七年级·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【变式6-1】 （24-25七年级·广东韶关·期末）若是关于的方程的解，则 ． 【变式6-2】（24-25七年级·浙江台州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如，方程与方程为“和谐方程”．若关于的方程与方程为“和谐方程”，则的值为 ． 【变式6-3】（23-24七年级·重庆·期末）已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【考点7 解含绝对值的一元一次方程】 【例7】（24-25七年级·重庆巴南·期末）若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 【变式7-1】（24-25七年级·北京房山·期末）小山同学通过阅读课本92页探究学习资料，自主学习解含有绝对值的方程的方法，并提出了以下问题，请你结合课本中所给资料（如下所示），帮助小山解决问题． 含有绝对值的方程 绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，，…都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探究解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，这样就可以将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义，得或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体．解：根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． (1)解方程； (2)已知：①_______，请你从，中选择一个填入①中，组成含有绝对值的方程，并求出该方程的解． 【变式7-2】（23-24七年级·浙江杭州·期中）满足方程的整数x有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【考点8 一元一次方程的应用】 【例8】（24-25七年级·四川广安·期末）近年来，网络消费成为消费市场的主力军，直播带货成为网络销售的主要渠道，是助力农业增效、农民增收的新业态、新模式．某地培育出了适合网络销售的特色水果，为方便运输及减少运输途中的损耗，需要工人对农产品进行单独包装并装箱，且每箱包装的果子数都相同．已知甲工人用时3小时包装的果子数比4箱少16个；乙工人用时4小时包装的果子数比4箱多8个．甲工人每小时比乙工人每小时多包装6个果子．甲、乙两工人共同包装一天（8小时）可包装几箱果子？ 【变式8-1】（24-25七年级·湖南长沙·期末）汽车从市到市有一天的路程，某摄制组计划上午比下午多走到沿途的市吃午饭，由于堵车，只行驶了上午原计划的三分之一，中午才到途中的一个小镇，过了小镇，汽车赶了，傍晚才停下来休息，司机说，再走市到这里路程的一半就到达目的地，则，两市相距 ． 【变式8-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个． (1)应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？ (2)若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？ 【变式8-3】（24-25七年级·山西晋中·期末）国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 (1)A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ (2)该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 【考点9 整体思想解二元一次方程组】 【例9】（23-24七年级·浙江杭州·期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24七年级·海南海口·期末）已知a、b满足，，则的值为 ． 【变式9-2】（23-24七年级·河南许昌·期末）在解方程组时，发现，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．小亮同学经过思考采用了下面的解法，使运算变得比较简单，方法如下： ①②得，所以③， 得：，解得， 把代入③，得， 所以原方程组的解是． 请你模仿本题的解法解方程组． 【变式9-3】（24-25七年级·福建泉州·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【考点10 根据方程组解的个数求参数】 【例10】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【变式10-1】（24-25七年级·河南周口·期末）二元一次方程2x+y=1中有无数多个解，下列四组解不是该方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25七年级·陕西西安·阶段练习）如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 【变式10-3】（24-25七年级·江苏淮安·期中）若二元一次方程组有唯一解，则a的值为（　　） A．a≠0 B．a≠6 C．a＝0 D．a为任意数 【考点11 二元一次方程组的应用】 【例11】（24-25七年级·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【变式11-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 【变式11-2】（24-25七年级·广东惠州·期末）五一期间，商场为吸引顾客，每半小时进行一次现金抽奖活动，顾客只需要花a元即可购买一张奖券，奖券面值有a元，b元，c元三种（且皆为整数）．甲、乙、丙三人从下午两点至下午六点，一共参加了轮活动，每轮每人只能购买一张，且每轮三人刚好获得a元，b元，c元奖券各一张．晚饭时，甲说：我今天赚了430元；乙说：我一次也没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的，只赚了120元；丙说：我三种都抽到了，一共有360元奖券，赚了220元！则甲抽到了 次c元奖券． 【变式11-3】（23-24七年级·重庆江北·期末）某包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．    (1)若该厂购进正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ (2)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 【考点12 不等式(组)的整数解问题】 【例12】（22-23八年级·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 【变式12-1】已知关于x的不等式组的所有整数解的和为－5，则m的取值范围为 ． 【变式12-2】已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【变式12-3】（23-24八年级·北京·期中）（1）关于的不等式有 个整数解； （2）若关于的不等式组（为常数，且为整数）恰有5个整数解，则的取值为 ； （3）若关于的不等式（和为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有 组满足题意的和． 【考点13 不等式组的有解或无解问题】 【例13】（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为 ． 【变式13-1】若不等式组无解，则不等式组的解集是（     ） A． B． C． D．无解 【变式13-2】关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为 ． 【变式13-3】从－2，－1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整数解，那么这六个数所有满足条件的m的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点14 利用不等式的基本性质求最值】 【例14】已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（23-24八年级·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ． 【变式14-2】（20-21八年级·湖北黄石·期末）已知实数，，满足，且有最大值，则的值是 ． 【变式14-3】（23-24八年级·北京·期末）已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 【考点15 方程与不等式（组）的实际应用】 【例15】（22-23八年级·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 【变式15-1】（23-24八年级·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【变式15-2】某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求的值． 【变式15-3】（23-24八年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中易错题压轴题专项复习【15大题型】 （考试范围：第5~7章） 【华东师大版2024】 【易错篇】 1 【考点1 一元一次方程】 1 【考点2 二元一次方程（组）】 4 【考点3 三元一次方程组】 7 【考点4 一元一次不等式】 10 【考点5 一元一次不等式组】 12 【压轴篇】 14 【考点6 解含参数的一元一次方程】 14 【考点7 解含绝对值的一元一次方程】 16 【考点8 一元一次方程的应用】 21 【考点9 整体思想解二元一次方程组】 24 【考点10 根据方程组解的个数求参数】 28 【考点11 二元一次方程组的应用】 30 【考点12 不等式(组)的整数解问题】 36 【考点13 不等式组的有解或无解问题】 40 【考点14 利用不等式的基本性质求最值】 42 【考点15 方程与不等式（组）的实际应用】 45 【易错篇】 【考点1 一元一次方程】 【例1】（24-25七年级·河南商丘·期末）幻方是中国古代的一种谜题，如图所示的的方格是一个三阶幻方（每行、每列及对角线上的三个数之和都相等），则a的值是 ． 11 a 9 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由第一行和第一列上的三个数之和相等，可求出左下角的数字为，结合第二行和每条对角线上的三个数之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：第三行和第一列上的三个数之和相等， 左上角的数字为，如图所示．     根据题意得：， 解得：， 的值为． 故答案为：． 11 a 9 【变式1-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，正确，不符合题意； B、若，则，正确，不符合题意； C、若，则，正确，不符合题意； D、当时，与无意义，错误，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级·安徽阜阳·期末）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 ， ， ， ， 故答案为： ． 【考点2 二元一次方程（组）】 【例2】（23-24七年级·北京·期中）对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A．6 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查新定义的运算和解二元一次方程组，先根据，，得到方程组，求得a和b的值，再根据新定义求解即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 则． 故选：A 【变式2-1】（23-24七年级·湖南娄底·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键． 将与代入可得，然后解方程组可得的值，然后求出，然后代入计算即可得． 【详解】解：把与代入得：， 得， 将代入①得， 把代入得：， 解得：， 则． 故答案为：． 【变式2-2】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a、b的值．将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和的解相同， ∴， 由得， ， 解得， 把代入①得， ， 解得， ∴方程组的解为， 把代入得， ， 得， ， 把代入③得， ， 解得， ∴． 【变式2-3】（24-25七年级·山西运城·期末）（1）解方程组： （2）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务. 解方程组 解：①，得，③           第一步 ②，得，④               第二步 ④③，得，                        第三步 解得，                           第四步 将代入②，得                第五步 所以，原方程组的解为           第六步 任务： ①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是__________，变形的目的是____________； ②以上求解步骤中第___________步开始出现错误，具体错误是___________； ③直接写出该方程组的正确解：_____________. 【答案】（1）；（2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数的项的系数相等；②三；方程④③时，的结果算成了“”；③． 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题的关键． （1）根据加减消元法进行计算即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案； ②观察计算步骤找到问题即可； ③根据加减消元法进行计算即可． 【详解】解：（1）， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数的项的系数相等； ②三；方程④③时，的结果算成了“”； ③， 解：①，得，③， ②，得，④， ④③，得， 解得，， 将代入②，得， 所以，原方程组的解为； 【考点3 三元一次方程组】 【例3】（23-24七年级·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 【变式3-1】（23-24七年级·湖北武汉·期末）三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解三元一次方程组，将三个式子相加求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式3-2】（23-24七年级·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 【变式3-3】（23-24七年级·福建泉州·期中）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解三元一次方程组，根据题意，先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值，再求S的最大值与最小值的和． 【详解】解：要使S取最大值，最大，z最小， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴， 解方程组 ， 解得：， ∴S的最大值； 要使S取最小值， 联立得方程组 ， 得， ， 得，， ∴， 把，代入， 整理得，，当x取最小值时，S有最小值， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴x的最小值是0， ∴， ∴S的最大值与最小值的差：； 故答案为：1 【考点4 一元一次不等式】 【例4】关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． ， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知， 解得． 故答案为： 【变式4-1】若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 【变式4-2】已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程可得，再建立不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 关于的方程的解是负数， ， 解得． 故选：B． 【变式4-3】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出两个不等式的解集分别为和，再根据题意可得，解不等式即可得． 【详解】解：， ， ， ； ， ， ， ， ； ∵关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立， ∴， 解得， 故选：B． 【考点5 一元一次不等式组】 【例5】（24-25八年级·四川眉山·期末）若不等式组的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得，从而可得，，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 【变式5-1】（24-25八年级·广西贵港·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于，运行两次的结果大于，可得出关于的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， 解得：， 故选：B． 【变式5-2】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 故选：A． 【变式5-3】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得出或，然后关于a的不等式即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：B． 【压轴篇】 【考点6 解含参数的一元一次方程】 【例6】（23-24七年级·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 【变式6-1】 （24-25七年级·广东韶关·期末）若是关于的方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是一元一次方程的解及解一元一次方程．熟练掌握方程的解的定义，解一元一次方程，是解题的关键．使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 代入，解解方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式6-2】（24-25七年级·浙江台州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如，方程与方程为“和谐方程”．若关于的方程与方程为“和谐方程”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及相反数的定义，先分别求解出，的解，然后根据相反数的定义得出，解方程即可得出n的值． 【详解】解：解方程， 解得：， ∵关于的方程与方程为“和谐方程”， ∴， 解得： 故答案为： 【变式6-3】（23-24七年级·重庆·期末）已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非负整数解 或，，时，的解都是非负整数 则 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 【考点7 解含绝对值的一元一次方程】 【例7】（24-25七年级·重庆巴南·期末）若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 【答案】(1)①②，①③ (2)或 (3)的值为或． 【分析】（1）先求出各个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出含有k，m，n的方程，然后根据无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，列出关于m的方程，求出m，再求出n，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ， ， ， ； ③， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴组合满足为“值1方程”的是①②，组合满足“值6方程”的是①③， 故答案为：①②，①③； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴， ∴，，， 解得：或18； （3）解：，，， ， ， ， ， ∵x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， ， ∴或5， 或15，即或15， ∵无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， 解得， ∴或15， 把代入得： ， ， ； 把代入得： ， ， ； 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和新定义，解题关键是理解已知条件新定义的含义． 【变式7-1】（24-25七年级·北京房山·期末）小山同学通过阅读课本92页探究学习资料，自主学习解含有绝对值的方程的方法，并提出了以下问题，请你结合课本中所给资料（如下所示），帮助小山解决问题． 含有绝对值的方程 绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，，…都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探究解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，这样就可以将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义，得或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体．解：根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． (1)解方程； (2)已知：①_______，请你从，中选择一个填入①中，组成含有绝对值的方程，并求出该方程的解． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据把绝对值的意义，把看作一个整体，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解； （2）根据把绝对值的意义，，进而解 ，即可求解． 【详解】（1）解： 根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． （2）∵， ∴ 选择填入①中 根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． 【变式7-2】（23-24七年级·浙江杭州·期中）满足方程的整数x有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分类讨论：，，时，分别解方程求得答案. 【详解】当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去； 当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去； 当时，原方程为： ，得2=2，说明当时关系式恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1. 故选：C. 【点睛】此题考查解一元一次方程，需根据x的范围将绝对值符合去掉，再解出x的值. 【变式7-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值． 【详解】解：①若 当时，解得：，； 当时，解得：；； ②若 当时，解得：，； 当时，解得：，； 又方程有三个整数解， 可得：或，根据绝对值的非负性可得：． 即只能取． 故选：B． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键． 【考点8 一元一次方程的应用】 【例8】（24-25七年级·四川广安·期末）近年来，网络消费成为消费市场的主力军，直播带货成为网络销售的主要渠道，是助力农业增效、农民增收的新业态、新模式．某地培育出了适合网络销售的特色水果，为方便运输及减少运输途中的损耗，需要工人对农产品进行单独包装并装箱，且每箱包装的果子数都相同．已知甲工人用时3小时包装的果子数比4箱少16个；乙工人用时4小时包装的果子数比4箱多8个．甲工人每小时比乙工人每小时多包装6个果子．甲、乙两工人共同包装一天（8小时）可包装几箱果子？ 【答案】18箱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键；根据甲工人每小时比乙工人每小时多包装6个果子列方程求解即可． 【详解】解：设每箱可装个果子． 由题意，得：， 解得， 所以甲工人每小时可包装的果子数为（个）， 乙工人每小时可包装的果子数为（个）， 所以（箱）． 答：甲、乙两工人共同包装一天（8小时）可包装18箱果子． 【变式8-1】（24-25七年级·湖南长沙·期末）汽车从市到市有一天的路程，某摄制组计划上午比下午多走到沿途的市吃午饭，由于堵车，只行驶了上午原计划的三分之一，中午才到途中的一个小镇，过了小镇，汽车赶了，傍晚才停下来休息，司机说，再走市到这里路程的一半就到达目的地，则，两市相距 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设市到市相距千米，则、两市相距千米，根据题意列方程，求出，即可求解． 【详解】解：设市到市相距千米， 依题意、两市相距千米， 依题意得： ， 解得：， 、两市相距：， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个． (1)应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？ (2)若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？ 【答案】(1)A盲盒5人，B盲盒12人 (2)280 元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键； （1）设有名工人生产盲盒，则有名工人生产盲盒，根据每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，列出方程进行求解即可； （2）设每套礼盒的标价为元，根据利润等于售价减成本，等于成本乘以利润率，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人生产盲盒，则有名工人生产盲盒． 根据题意得 解得 ， ； 答：应分配 5 名工人生产 盲盒，12 名工人生产 盲盒． （2）设每套礼盒的标价为 元， 根据题意得： ， 解得：； 答：每套礼盒的标价为 280 元． 【变式8-3】（24-25七年级·山西晋中·期末）国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 (1)A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ (2)该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 【答案】(1)A款冰箱贴定制了60个，B款冰箱贴定制了40个 (2)七五折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个，根据“A款和B款冰箱贴总成本为1380元”列方程求解即可； （2）设B款冰箱贴按标价的m折出售，根据“共获利252元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个． 根据题意，得 解这个方程，得 ． 答：A款冰箱贴定制了60个，B款冰箱贴定制了40个． （2）解：设B款冰箱贴按标价的m折出售． 根据题意，得 ． 解这个方程，得． 答：B款冰箱贴按标价的七五折出售． 【考点9 整体思想解二元一次方程组】 【例9】（23-24七年级·浙江杭州·期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求出最后结果． 【详解】解：方程组可变为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴方程组的解是， 故选：B． 【变式9-1】（23-24七年级·海南海口·期末）已知a、b满足，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键． 观察可知将两个方程相加得，化简即可求得答案. 【详解】根据题意得 ，得， ， 故答案为：2． 【变式9-2】（23-24七年级·河南许昌·期末）在解方程组时，发现，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．小亮同学经过思考采用了下面的解法，使运算变得比较简单，方法如下： ①②得，所以③， 得：，解得， 把代入③，得， 所以原方程组的解是． 请你模仿本题的解法解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解． 【详解】解：得得：③ 得：， 解得： 把代入③得： 所以原方程组的解是． 【变式9-3】（24-25七年级·福建泉州·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 【考点10 根据方程组解的个数求参数】 【例10】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组．方程组整理得，针对四种说法逐一分析即可判断． 【详解】解：， 由②得， 把代入①得， 整理得， 当时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 如果，则，解得， 观察四种说法，①②错误，③④正确， 【变式10-1】（24-25七年级·河南周口·期末）二元一次方程2x+y=1中有无数多个解，下列四组解不是该方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各组x与y的值代入方程检验即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边=2-1=1，右边=1， ∵左边=右边， ∴是该方程的解； B、把代入方程得：左边=-2+1=-1，右边=1， ∵左边≠右边， ∴不是该方程的解； C、把代入方程得：左边=0+1=1，右边=1， ∵左边=右边， ∴是该方程的解； D、把代入方程得：左边=1+0=1，右边=1， ∵左边=右边， ∴是该方程的解， 故选B． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式10-2】（24-25七年级·陕西西安·阶段练习）如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，先把两方程相加消去y，得到根据方程组无解可得，解之即可． 【详解】解：两方程相加得：， ∵方程组无解， ∴， 解得， 故选：B． 【变式10-3】（24-25七年级·江苏淮安·期中）若二元一次方程组有唯一解，则a的值为（　　） A．a≠0 B．a≠6 C．a＝0 D．a为任意数 【答案】B 【分析】根据加减消元的思想，消掉y，然后再根据分母不等于0求解即可． 【详解】解：， ②×2得6x+2y＝6③， ③﹣①得（6﹣a）x＝5， 当a≠6时，方程有唯一的解x＝． 故选：B． 【点睛】此题考查的是根据二元一次方程组有唯一解,求方程中的参数，掌握加减消元思想和分母不等于0是解决此题的关键． 【考点11 二元一次方程组的应用】 【例11】（24-25七年级·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【变式11-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 【答案】(1)1650 (2)①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与咖啡总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， （元）， 故答案为：1650； （2）解：①①设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元； ②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 故答案为：6． 【变式11-2】（24-25七年级·广东惠州·期末）五一期间，商场为吸引顾客，每半小时进行一次现金抽奖活动，顾客只需要花a元即可购买一张奖券，奖券面值有a元，b元，c元三种（且皆为整数）．甲、乙、丙三人从下午两点至下午六点，一共参加了轮活动，每轮每人只能购买一张，且每轮三人刚好获得a元，b元，c元奖券各一张．晚饭时，甲说：我今天赚了430元；乙说：我一次也没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的，只赚了120元；丙说：我三种都抽到了，一共有360元奖券，赚了220元！则甲抽到了 次c元奖券． 【答案】5 【分析】根据题意，求得每张奖券所赚钱数，设甲抽了次奖券，次奖券，列二元一次方程求解即可． 【详解】解：每半小时进行一次现金抽奖活动，从下午两点至下午六点，共进行了轮游戏， ∴， ∵乙抽到3次最小面值，且赚了钱， ∴， ∵丙一共有360元奖券，赚了220元，即成本为元， ∴是的倍数，即或， 当时，（元） ∵乙没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的， ∴乙抽到过3次奖券，次奖券， 则（元） ∵甲赚了430元，乙赚了120元，丙赚了220元，共赚了770元， ∴每轮赚了110元， ∴（元）， ∴每次抽到赚了元， 设甲抽了次奖券，次奖券，则，即 ∵为整数 ∴，，即甲抽到了次奖券； 当时，（元） ∵乙没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的， ∴乙抽到过3次奖券，次奖券， 则（元） ∵甲赚了430元，乙赚了120元，丙赚了220元，共赚了770元， ∴每轮赚了154元， ∴（元）， ∴每次抽到赚了元， 设甲抽了次奖券，次奖券，则， ∵为整数，∴无解，舍去； 综上，甲抽到了次奖券， 故答案为：5 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据量之间的关系正确求得每张奖券所赚钱数． 【变式11-3】（23-24七年级·重庆江北·期末）某包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．    (1)若该厂购进正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ (2)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 【答案】(1)加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个 (2)满足条件的a为：，， 【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据题意即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解． 【详解】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：， 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个． （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个， 根据题意得：， 解得：， ∵n、a为正整数， ∴a为5的倍数， 又∵， ∴满足条件的a为：，，． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合长、正方形纸板的张数列出关于x、y的二元一次方程组；（2）通过解二元一次方程组用含a的代数式表示出n值． 【考点12 不等式(组)的整数解问题】 【例12】（22-23八年级·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 【答案】B 【分析】分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果． 【详解】解：由，可得：， ∵关于x的不等式组最多有2个整数解， ∴或无解， ∵不等式组的整数解最多时为：1，2， ∴，解得：； 解，得：， ∵方程的解为非正数， ∴，解得：， 综上：， 符合条件的的整数值为：，和为； 故选B． 【点睛】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键． 【变式12-1】已知关于x的不等式组的所有整数解的和为－5，则m的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 【详解】解：∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为－4＜x＜， ∵不等式组的所有整数解的和为－5， ∴不等式组的整数解为－3、－2或－3、－2、－1、0、1． 当不等式组的整数解为－3、－2时，有－2＜≤－1，m的取值范围为2≤m＜4； 当不等式组的整数解为－3、－2、－1、0、1时，有1＜≤2，m的取值范围为－4≤m＜－2． 故答案为：或 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，并会根据整数解的情况确定m的取值范围是解决本题的关键． 【变式12-2】已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组有5个整数解， ∴， 解得，， ， 移项合并得，， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， 综上，， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式12-3】（23-24八年级·北京·期中）（1）关于的不等式有 个整数解； （2）若关于的不等式组（为常数，且为整数）恰有5个整数解，则的取值为 ； （3）若关于的不等式（和为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有 组满足题意的和． 【答案】 4 2 4 【分析】本题考查了一元一次不等式，不等式组的整数解问题，解一元一次方程，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接找出的范围内的整数即可； （2）先求出不等式组的解集为，满足题意得，解方程即可； （3）由题意得：，化简得到，由于和为常数，且为整数，分类讨论即可． 【详解】（1）解：在的范围内整数为， ∴有4个， 故答案为：4． （2）解： 由①得：； 由②得：， 则不等式组的解集为：， ∵方程组恰有5个整数解， ∴， 解得：， 故答案为：2． （3）解：由题意得：， 化简得：， ∵和为常数，且为整数， ∴只有或， ∴有， ∴有4组满足题意的和， 故答案为：4． 【考点13 不等式组的有解或无解问题】 【例13】（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可 【详解】∵， ∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1， ∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a， ∵不等式组有解但没有整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键． 【变式13-1】若不等式组无解，则不等式组的解集是（     ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】根据不等式组无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组的解集． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴a＞b， ∴-a＜-b， ∴3-a＜3-b， ∴不等式组的解集是． 故选：C 【点睛】本题考查了求不等式组的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解集．解题的关键是根据已知得到a＞b，进而得出3-a＜3-b． 【变式13-2】关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为 ． 【答案】5 【分析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求求出相应的的值即可解答本题． 【详解】解：解方程，得：， 由题意得， 解得：， 解不等式，得：，     解不等式，得：， 不等式组有解， ， 则， 符合条件的整数的值的和为， 故答案为5． 【点睛】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式13-3】从－2，－1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整数解，那么这六个数所有满足条件的m的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】不等式组整理后，根据无解确定出的范围，进而得到的值，将的值代入检验，使一元一次方程的解为整数即可． 【详解】解：解：不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， 解得：， 即，0，1，2，3，5； 当m=-1时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-1，符合题意； 当m=0时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-1.5，不合题意； 当m=1时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-3，符合题意； 当m=2时，一元一次方程（m－2）x＝3无解，不合题意； 当m=3时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=3，符合题意； 当m=5时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=1，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查根据不等式组的解集确定字母取值及一元一次方程解法，理解好求不等式组的解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题关键． 【考点14 利用不等式的基本性质求最值】 【例14】已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围． 【详解】解：设， 则，，， ，，均为非负实数， ， 解得， 于是， ， 即． 的最大值是，最小值是， 的最大值与最小值的和为， 故选：C． 【点睛】此题考查了最值问题．解此题的关键是设：，根据已知求得的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解． 【变式14-1】（23-24八年级·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ． 【答案】26 【分析】根据已知的式子可得，，即有，再根据a、b、c为非负实数，可得，即可得，，问题随之得解． 【详解】联立， 把a看作常数，解得，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴当时，；当时，； ∴． 故答案为：26． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组方法，解一元一次不等式组方法，用一个字母的代数式表示另一个字母，非负实数性质，代数式产生的最值，是解答本题的关键． 【变式14-2】（20-21八年级·湖北黄石·期末）已知实数，，满足，且有最大值，则的值是 ． 【答案】8 【分析】把变形得，故可求出有最大值时，a，b的值，代入故可求解． 【详解】设= ∴a-2b=（m+n）a+(m-n)b ∴，解得 ∴= ∵， ∴， ∴ ∴有最大值1 此时， 解得a=1，b=0 ∴=8 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，解题的关键是根据题意把把变形得，从而求解． 【变式14-3】（23-24八年级·北京·期末）已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由题意知，，，，，则，可求，则的最大值为，同理可求，则的最大值为，的最大值为，然后求的最大值即可． 【详解】解：∵，，，，为正整数，且， ∴，，，， ∵， ∴， 解得，， ∴的最大值为， ∴， ∴， 解得，， ∴的最大值为， 同理，的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 【考点15 方程与不等式（组）的实际应用】 【例15】（22-23八年级·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 【答案】(1)该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张 (2)该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； (3)该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 【分析】（1）设该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据四月份销售两种儿童床共20张和销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，可得二元一次方程组，解方程即可； （2）设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，根据购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的和两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答； （3）在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，分类讨论，求的正整数解，从而得出结论． 【详解】（1）解：设该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张， 根据题意可得方程， 解得， 该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （2）解：设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张， 由题意可得， 解得， 是正整数， 或17， 或13， 故所有可能的进货方案由两种，分别为：该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （3）解：在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台， ①当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， ， ②当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， 无解， 综上所述，该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． 【变式15-1】（23-24八年级·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【答案】(1)甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元 (2)有购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出式子． （1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据“购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，故有两种购买方案，购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台．设台机器人每小时的分拣量为，则．得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 故整数可以为和，可以为和， 故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台； 方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台． 设台机器人每小时的分拣量为，则． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， ∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大． 【变式15-2】某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求的值． 【答案】(1)甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元 (2)四种方案：方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部． (3) 【分析】（1）先设甲型号手机每台售价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，根据题意列出方程组，解出x及y的值； （2）设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出进货方案． （3）设总获利W元，购进甲型号手机m台，列出关系式，再求利润相同时，W与a的取值无关，据此解答即可． 【详解】（1）解：设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元， 根据题意，得：， 解得：， 答：甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元； （2）解：设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部， 根据题意，得： ， 解得：， 为整数， 取或或或， 则进货方案有如下四种： 方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部． （3）解：设总获利W元，购进甲型号手机a台，则： ； 当时，W的值与a的取值无关，故（2）中的所有方案获利相同． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用，能根据题意列出不等式组及利润表达式是解题的关键． 【变式15-3】（23-24八年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 【答案】任务1：A奖品单价50元，B奖品单价为40元； 任务2：此次购买A奖品共有3种购买方案； 任务3：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，列出方程组或不等式． 任务1：设A奖品单价x元，B奖品单价y元．根据题意列方程组解答即可； 任务2：设获A奖品的人数为a人，则获B奖品的人数为人，根据题意列不等式组解答即可； 任务2：设购买A奖品m份，C奖品n份，则B奖品份，根据题意列出不等式组，解得关于m、n的不等式，由m、n都是正整数，即可得到答案． 【详解】任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得： 解得： 答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元． 任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品份，得 解得：， a为正整数， a可取的值有11，12，13． 答：此次购买A奖品共有3种购买方案． 任务3： 设购买A奖品m份，C奖品n份， 则B奖品份数为：，依题意得： ， 解得：，即， m、n均为正整数， 可以取的值有：，，，，，，，，，，， 当时，，即，无解 当时，，即，所以 ，，此时奖品人数最多 方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为（元），符合题意． 故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$