专题05 轴对称、平移、旋转-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

专题05 轴对称、平移、旋转 核心考点聚焦 要点一、轴对称概念 1、如果一个图形沿一条直线折叠，对折后的两部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 2、把一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是它的对称轴. 比较归纳 归纳： 轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等. 要点二、性质 1、线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 2、轴对称图形与垂直平分线的联系 如果两个图形关于某条直线对称，那么任何一对对称点所连线段的垂直平分线就是该图形的对称轴. 要点三、作轴对称图形的方法 1、作图原理：对称轴是对称点连线段的垂直平分线 2、作图方法：(1)找特征点；(2)作垂线；(3)截取等长；(4）依次连线. 要点四、设计轴对称图案 1、 作图原理：根据对称轴进行图形变换 2、 作图方法：（1）画出对称轴（2）画出图形的基本形状的部分线条（3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形（4）按照另一条对称轴继续画对称图形（5）完成对称图案设计 要点五、平移和旋转概念 1、 平移：平面上的平行移动；由移动方向和距离所决定. 2、 旋转：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转. 要点六、平移的特征 1、 平移后的图形与原来图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，图形的形状与大小不变. 2、 对应点平移后对应点所连的 线段平行并且相等. 要点七、旋转的特征 要点八、平移与旋转的异同 1 相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小. 图形变换 运动方向 运动量的衡量 平移 直线 移动一定距离 旋转 顺时针或逆时针 转动一定的角度 2 不同： 要点十、旋转对称图形 1、概念：在平面内,将一个图形绕着一定点旋转一定角度（小于周角）后能与自身重合,这样的图形叫做旋转对称图形. 2、旋转的度数称为旋转角度. 3、一般来说，旋转角度可以有多个，但旋转中心只有一个 要点十一、旋转对称图形的画法： 1.任意定一点旋转中心O； 2.按设计需要，把周角360°分成n等份； 3.以O为旋转中心，360°除以n的商为旋转角做顺时针或 逆时针旋转n-1次即可得到一个旋转对称图形. 要点十二、中心对称及其应用 1.中心对称图形是特殊的旋转对称图形，判断时应注意看图形绕中心旋转180°能否与自身重合。 2.中心对称作图步骤：先找对称中心；然后根据对称点到对称中心距离相等，且连结对称点的线段被对称中心平分，作出对称点；最后顺次连结即可。 要点十三、图形的全等  1.常见的图形运动有三种：轴对称、平移和旋转。这三种变换刻画了“两个全等图形的特定位置关系”。 2.依据图形全等的性质和判定求解线段间的关系及角的度数。 题型归纳 题型一、利用轴对称的性质求解 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接．若点落在所在的直线上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，及三角形全等的判定及性质，根据对称性可判断出，先求出，再根据对称的性质判断，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与的交点为O． 因为关于的对称线段是， 所以． 因为， 所以 因为边关于的对称线段是， 所以， 所以， 所以， 所以． 又因为点落在所在的直线上，， 所以， 所以， 所以． 4．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，其中，试求的值．（用和表示） 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质可得，，推出，即可得到答案． 【详解】解：点关于的对称点落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上 ， 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴的周长 ； （2）如图，连接，，， ∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴． 题型二、将军饮马问题 6．（2025七年级下·全国·专题练习）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答： (1)证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴_，_， ∴_． 在中， ∵， ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． (2)问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） (3) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查的是称对轴的性质、两点之间、线段最短、三角形的三边关系等知识点，掌握两点之间，线段最短是解题的关键． （1）根据对称轴的性质以及三角形三边关系即可解答； （2）如图：分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，则有，那么的周长为，即三点共线，线段最短即可使得走过的路程，即的周长最小． 【详解】（1）解：由题意可知， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴， ∴， 在中， 在中， ∵， ∴，即最小． （2）解：分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，如图所示： ∵是点P，的对称轴，是点P，的对称轴， ∴， ∴的周长为， ∴三点共线时，即两点之间，线段最短，那么的周长最小． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）综合与实践． 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】（1）小亮：作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连结，我只要说明． 请完整地写出小亮的求解过程． 【解决问题】（2）如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）      【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）作点关于的对称点，连接，与的交点即为点E、F． 【详解】解：（1）根据题意可知：，， ，， ， ∴作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方； （2）如图所示． 题型三、作已知线段的垂直平分线、角平分线 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线和线段，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求；    （4）由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 9．（21-22七年级下·山东淄博·期末）如图，已知，点，． 求作：一点，使，并且点到两边的距离相等（要求：不写作法，只保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】先作MN的垂直平分线和∠AOB的平分线，它们的交点为P点，则根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质得到PM=PN，且P到∠AOB两边的距离相等． 【详解】解：如图，点P为所作． 【点睛】本复考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 10．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，． (1)用尺规作图法作的平分线，且该平分线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)点是边上的一点，当时，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可； （2）根据、得到，根据得到，进而得到，于是得到，根据是的角平分线，得到，进而得到． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示, ，， ， ， ， ， ， 平分，， ， ． 【点睛】本题主要考查作角平分线，平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和，掌握相关定义以及性质是解题的关键． 题型四、利用平移的性质求解 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，将向左平移得到，交于点，． (1) ， ； (2)直接写出与之间关系； (3)计算图中阴影部分的面积． 【答案】(1)3； (2)， (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换及其性质，熟练掌握图形的平移变换及其性质是解决问题的关键． （1）根据平移的性质可得出，，，然后根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据平移的性质得出，进而得出 ，然后根据图形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵将向左平移得到，， ∴，，， ∴， 故答案为：3；； （2）解：根据平移的性质知：，； （3）解：∵平移， ∴，， ∴ 即 ， 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为16，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为12，．当所扫过的面积为18时，求a的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查的是平移的性质，熟记平移的性质是解本题的关键； （1）如图，连接，根据平移的性质可得，，再进一步求解即可； （2）如图，作于H，先求解，再结合所扫过面积即梯形的面积，进一步计算即可. 【详解】（1）解：如图，连接， 根据平移的性质可知，， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． （2）解：如图，作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所扫过面积即梯形的面积， 则， 解得：． 答：a的值为． 13．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为_____． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)6 【分析】本题考查了图形平移性质、三角形内角和定理以及相关角度和面积的计算．解题关键是利用平移性质得到角与面积的等量关系，结合三角形内角和等知识求解角度与面积． （1）利用平移性质得到对应角相等，进而推出两直线平行，再依据平行线性质得出与已知角相等，结合较大锐角为，求出度数． （2）先由第一问结论得到度数，根据已知度数求出，再在中利用三角形内角和定理求出，从而得出结论． （3）根据平移性质可知，又因为，结合三块阴影部分面积和为，通过面积关系的等量代换，得出一个直角三角板的面积． 【详解】（1）解：是由向左平移得到的 ∵ ， ∴； （2）由（1）可知： ∵ 在中， （3）∵三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上， ∴， ∵，三块阴影部分的面积之和为6， ∴， ∴一个直角三角板的面积为6． 故答案为：6． 14．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)方案任选一种，小路的预算费用约为6000元，理由见解析 (2)小颖的思考正确．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的判定及性质的实际应用． （1）由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为，所以小路的面积是固定的，所以三种方案的费用是一样的，根据预算费用面积每平米的费用计算即可； （2）过点C作，根据两直线平行，内错角相等得，进而得，再得，再由内错角相等得两直线平行即可； （3）过点C作，过点D作，过点E作，根据平行线的判定及性质可得结论． 【详解】（1）解：三种方案的预算费用都是6000元，故任选一种即可，理由如下： 由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为， ∴小路的面积为：， ∴小路的预算费用为：（元）， 即三种方案，小路的预算费用都约为6000元； （2）解：小颖的思考正确，理由如下： 如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点C作，过点D作，过点E作， ∴，，， ∵草地为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 15．（23-24七年级下·山西朔州·期中）综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键． （1）结合图形，利用面积公式求解即可； （2）结合图形，利用平移的性质求解； （3）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）根据题意草地的面积为：(平方米)； 故答案为：； （2）小路往、边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：(平方米)； （3）将小路往、、边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线(图中虚线)长为：(米)． 故答案为：． 题型五、平移作图 16．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为均为1，三角形的顶点都在格点上，将三角形平移，点平移到的位置． (1)请在图中画出平移后的三角形； (2)三角形平移过程中，边扫过的图形面积为____________； (3)图中能使三角形与三角形面积相等的格点有____________个（点异于点）． 【答案】(1)图见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了作图-网格作图，平移的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意得出平移规律，再根据平移规律即可求解； （2）根据题意，边在平移过程中，向上平移个单位扫过了面积，向左平移没有扫过的面积，即可求解； （3）取格点，连接并延长，交网格于另一点，则，依次连接，可得与的面积相等． 【详解】（1）解：将三角形平移，点平移到的位置， ∴点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点， ∴点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点， 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点， 依次连接，则即为所求，如图： （2）解： 由题意，边在平移过程中，向上平移个单位扫过了面积，向左平移没有扫过的面积， ∴边扫过的图形面积， 故答案为：． （3）解：取格点，连接并延长，交网格于另一点，则，依次连接，如图： ∵， ∴与的面积相等， ∴除点外能使三角形与三角形面积相等的格点有个， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·吉林·期中）如图①，图②是的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，且每个小正方形的边长均为1．的三个顶点和线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按如下要求作图． (1)在图①中，将平移至，使点和点对应，点和点对应，点和点对应． (2)在图②中，找一个格点，连接，使，并写出点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点到的距离为3 【分析】本题考查三角形的平移，平行线的性质，正确理解概念是解题的关键。 （1）根据平移的定义，即可解答； （2）根据”两直线平行，内错角相等”，即可解答. 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）如图所示，点Q即为所求 ∴点到的距离为3． 18．（24-25七年级下·北京·期中）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．请在网格中画图并回答下列问题： (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)过点画射线，交直线于点； (3)点到直线的距离为线段______的长度； (4)比较线段和线段长度的大小______，并说明理由______； (5)将三角形沿着直线方向向上平移个单位，再向右平移个单位，请画出平移后的三角形 ，并计算其面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)，垂线段最短 (5)图见解析， 【分析】本题考查了利用网格作图、垂线段最短以及点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和垂线特点作图即可； （2）根据网格的特点和平行线特点作图即可； （3）根据点到直线的距离的概念解答； （4）根据垂线段最短解答； （5）根据平移规律画出，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：， 点到直线的距离为线段的长度 （4）解：， ， 理由：垂线段最短； （5）解：如图，即为所求， ． 题型六、利用旋转的性质求解 19．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，把△绕点按逆时针方向旋转得到，交于点，已知． (1)求的大小； (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质． （1）由旋转得，，则可得； （2）由旋转得，，，根据，，可得． 【详解】（1）解：∵绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴； （2）解：∵绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴的大小为． 20．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)如图2， ； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转（）． ① ．（用含的代数式表示） ②是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)42 (2) (3)①或；②有，°或 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算，旋转的性质以及一元一次方程的应用等知识． （1）根据三角板中，即可得到结果； （2）设旋转的角度，再根据角平分的定义即可得到，计算得到结果； （3）①分类讨论，当时，点在的右侧，或当时，点在的左侧，得到答案；②利用①的结论，进行计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：42． （2）解：设旋转的角度，， ∵是的平分线， ， ， ， 即． （3）解：①旋转的角度， 当时，点在的右侧， ； 当时，点在的左侧， ， 或， 故答案为：或； ②满足， , ，或， 解得或， ∴的度数或． 21．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，把绕着A点按逆时针方向旋转得到，与交于点D点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，再由三角形内角和定理求出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴． 22．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据旋转得到，即可得到，进而可以解决问题． 【详解】证明：∵绕点A逆时针旋转得到，点在的延长线上， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴． 题型七、全等三角形 23．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，如果，，那么 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形的性质得到，再证明，据此利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据得出,根据，问题得证； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：， ，即， ； （2）， ， ， ， 平分， ， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得 ， 25．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图所示，已知于D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)已知，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练应用全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，由全等三角形的性质得到，据此可利用三角形内角和定理证明，据此可得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，，从而求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，即。 （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，、分别为和上的点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 先由得出，即可得到． 【详解】证明：， ， ∵、分别为和上的点， ， ． 真题感知 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，轴对称的性质．由折叠可得，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得， ∵在长方形纸片中，， ∴． 故选：B 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：关于直线对称， 、关于直线对称， ∴ 和关于直线对称， ， 的面积是：， 图中阴影部分的面积是． 故选：B． 3．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的性质是解题的关键．设与交于点，由折叠的性质可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：， 由三角形外角的性质可得： ， ， 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，涉及三角形面积、点到直线的距离等知识，过作于，连接，根据已知，由面积法先求出，根据对称可得，故线段长度最小即是长度最小，求出垂线段的长度即可解答，解题的关键是将求长度的最小值转化为求长度的最小值． 【详解】解：过作于，连接，如图： ， ， 点M关于边，的对称点分别为E，F， ， ， 线段长度最小即是长度最小，此时，即与重合，最小值为． 故选：A． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直接利用轴对称的性质得出，，，再用周长公式计算即可得出答案，熟练掌握轴对称的性质并能正确得出对应线段是解决此题的关键． 【详解】解：和关于直线l对称，直线l与相交于点O， ，，． ，，， ，，． 五边形的周长为：． 故选：． 7．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，，然后根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图形平移的性质可得，，， ， ， 故选：A． 8．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）把一副直角三角尺如图摆放，点B与点E重合，边与边都在直线l上，将向右平移到，此时边经过点D，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质、三角形外角的定义及性质、三角板中角度的计算，由平移的性质可得，由题意可得，由三角形外角的定义及性质求出，即可得解． 【详解】解：由平移的性质可得：， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，熟悉掌握图形特点是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的特征逐一判断即可． 【详解】解：A：是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A错误； B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确； C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误； D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误； 故选：B． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若将一块长，宽的长方形卡片剪成相同形状大小的两张卡片，可拼成一个长，宽的新长方形，则原长方形的剪切方案为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的拼接和平移，画出剪切后拼成的长方形，求出对应的长和宽即可判断，注意平移后能重合，说明原图上左右和上下对应的线段相等． 【详解】 解：A、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意； B、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意； C、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，符合题意； D、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意； 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得、、在同一条直线上．那么旋转的最小角度是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由题意得，结合旋转的性质可得旋转的最小角度是． 【详解】解：、、在同一条直线上， ， 绕点顺时针方向旋转到的位置， 旋转的最小角度是． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，点E，F分别为长方形的边，上的点，将长方形纸片沿翻折，点B，C分别落在点，处，与相交于点G，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质．根据折叠的性质可得，从而得到，再根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 13．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 98米 1104 平方米 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质可得图中虚线横向距离等于的长，纵向距离等于，据此计算求解即可；根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积． 【详解】解：由平移的性质可得，图中虚线横向距离等于的长，纵向距离等于， ∵米，宽米， ∴他所走的路线（图中虚线）长为（米）， 根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积， ∴阴影部分的面积为平方米， 故答案为：98米；1104平方米． 14．（2025·吉林·一模）如图所示，矩形纸片，点为边上一点，连接．将沿对折，点落在点处；将沿对折，点落在点处．若．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若平分，则．其中一定正确的有 （填序号即可）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了折叠的性质，角的和差，角平分线的定义，由平角定义可得，即可判断①；由折叠的性质可得，，进而可判断②；由，得，即得，得到，即可判断③；由角平分线的定义得，即得，可得，进而得，得到，即可判断④，综上即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：若，则，故①错误； 由折叠可得，，， ∵， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∴， 解得， ∴，故③正确； 若平分，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上，正确的结论有②③， 故答案为：②③． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键．观察发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加．用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加． 又∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，O和为两条相交的公路，，是两个居民区，快递公司要在居民区旁边修建一个快递中转站，为了使邮寄和取送方便，要使中转站到两条公路的距离相等，并且到两居民区的距离也相等，请你用尺规作出中转站所在的位置（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作角平分线和线段垂直平分线，角平分线和线段垂直平分线的性质，根据题意作的角平分线与的垂直平分线交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求 17．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵的周长为， ∴ ∴阴影部分的周长为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 依题意，， ∴， （3）解： ∵，设，则 如图，连接， ∵， ∴ ∴ 解得： 即 故答案为：． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知． 【初步认识】 （1）尺规作图：求作直线，使和关于直线对称；（不写作法，保留痕迹） 【理解应用】 （2）如图，若在内部，和关于对称，和关于对称，求的度数； （3）如图，若在外部，且，和关于对称，和关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）若和关于的边对称，且，则的度数是_____． 【答案】（）作图见解析；（）；（）；（）或． 【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，轴对称的性质，角度和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （）作平分，直线即为所求； （）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，得到，根据角的和差即可得到结论； （）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （）在内部，当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：（）如图中，直线即为所求； （）如图中， ∵和关于对称， ∴， 又∵和关于对称， ∴， ∵， ∴； （）如图中， ∵和关于对称， ∴， 又∵和关于对称， ∴， ∵， ∴； （）在内部，如图， ∵，关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在外部， ∵， ∴射线在射线的上面，如图， ∵，关于的边对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 19．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)画线段，交于点，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的定义，平行线的性质和三角形的内角和，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）利用角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理求解． 【详解】（1）证明：如图所示： 即为求作的角平分线； （2）解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点在四边形的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，将的周长转变为的长． （2）由的度数得出的度数之和，再根据，即可解决问题． 【详解】（1）解：点与点关于对称，点与点关于对称， ，，，， ． （2）解：， ． 又，， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 轴对称、平移、旋转 核心考点聚焦 要点一、轴对称概念 1、如果一个图形沿一条直线折叠，对折后的两部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 2、把一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是它的对称轴. 比较归纳 归纳： 轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等. 要点二、性质 1、线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 2、轴对称图形与垂直平分线的联系 如果两个图形关于某条直线对称，那么任何一对对称点所连线段的垂直平分线就是该图形的对称轴. 要点三、作轴对称图形的方法 1、作图原理：对称轴是对称点连线段的垂直平分线 2、作图方法：(1)找特征点；(2)作垂线；(3)截取等长；(4）依次连线. 要点四、设计轴对称图案 1、 作图原理：根据对称轴进行图形变换 2、 作图方法：（1）画出对称轴（2）画出图形的基本形状的部分线条（3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形（4）按照另一条对称轴继续画对称图形（5）完成对称图案设计 要点五、平移和旋转概念 1、 平移：平面上的平行移动；由移动方向和距离所决定. 2、 旋转：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转. 要点六、平移的特征 1、 平移后的图形与原来图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，图形的形状与大小不变. 2、 对应点平移后对应点所连的 线段平行并且相等. 要点七、旋转的特征 要点八、平移与旋转的异同 1 相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小. 图形变换 运动方向 运动量的衡量 平移 直线 移动一定距离 旋转 顺时针或逆时针 转动一定的角度 2 不同： 要点十、旋转对称图形 1、概念：在平面内,将一个图形绕着一定点旋转一定角度（小于周角）后能与自身重合,这样的图形叫做旋转对称图形. 2、旋转的度数称为旋转角度. 3、一般来说，旋转角度可以有多个，但旋转中心只有一个 要点十一、旋转对称图形的画法： 1.任意定一点旋转中心O； 2.按设计需要，把周角360°分成n等份； 3.以O为旋转中心，360°除以n的商为旋转角做顺时针或 逆时针旋转n-1次即可得到一个旋转对称图形. 要点十二、中心对称及其应用 1.中心对称图形是特殊的旋转对称图形，判断时应注意看图形绕中心旋转180°能否与自身重合。 2.中心对称作图步骤：先找对称中心；然后根据对称点到对称中心距离相等，且连结对称点的线段被对称中心平分，作出对称点；最后顺次连结即可。 要点十三、图形的全等  1.常见的图形运动有三种：轴对称、平移和旋转。这三种变换刻画了“两个全等图形的特定位置关系”。 2.依据图形全等的性质和判定求解线段间的关系及角的度数。 题型归纳 题型一、利用轴对称的性质求解 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接．若点落在所在的直线上，，求的度数． 4．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，其中，试求的值．（用和表示） 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 题型二、将军饮马问题 6．（2025七年级下·全国·专题练习）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答： (1)证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴_，_， ∴_． 在中， ∵， ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． (2)问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） (3) 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）综合与实践． 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】（1）小亮：作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连结，我只要说明． 请完整地写出小亮的求解过程． 【解决问题】（2）如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）      题型三、作已知线段的垂直平分线、角平分线 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 9．（21-22七年级下·山东淄博·期末）如图，已知，点，． 求作：一点，使，并且点到两边的距离相等（要求：不写作法，只保留作图痕迹）． 10．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，． (1)用尺规作图法作的平分线，且该平分线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)点是边上的一点，当时，求的度数． 题型四、利用平移的性质求解 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，将向左平移得到，交于点，． (1) ， ； (2)直接写出与之间关系； (3)计算图中阴影部分的面积． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为16，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为12，．当所扫过的面积为18时，求a的值． 13．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为_____． 14．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 15．（23-24七年级下·山西朔州·期中）综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果． 题型五、平移作图 16．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为均为1，三角形的顶点都在格点上，将三角形平移，点平移到的位置． (1)请在图中画出平移后的三角形； (2)三角形平移过程中，边扫过的图形面积为____________； (3)图中能使三角形与三角形面积相等的格点有____________个（点异于点）． 17．（24-25七年级下·吉林·期中）如图①，图②是的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，且每个小正方形的边长均为1．的三个顶点和线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按如下要求作图． (1)在图①中，将平移至，使点和点对应，点和点对应，点和点对应． (2)在图②中，找一个格点，连接，使，并写出点到的距离． 18．（24-25七年级下·北京·期中）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．请在网格中画图并回答下列问题： (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)过点画射线，交直线于点； (3)点到直线的距离为线段______的长度； (4)比较线段和线段长度的大小______，并说明理由______； (5)将三角形沿着直线方向向上平移个单位，再向右平移个单位，请画出平移后的三角形 ，并计算其面积______． 题型六、利用旋转的性质求解 19．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，把△绕点按逆时针方向旋转得到，交于点，已知． (1)求的大小； (2)求的大小． 20．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)如图2， ； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转（）． ① ．（用含的代数式表示） ②是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 21．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，把绕着A点按逆时针方向旋转得到，与交于点D点，若，求的度数． 22．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．    题型七、全等三角形 23．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，如果，，那么 ． 24．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 25．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图所示，已知于D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)已知，求的长． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，、分别为和上的点．求证：． 真题感知 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C．10 D． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（ ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 8．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）把一副直角三角尺如图摆放，点B与点E重合，边与边都在直线l上，将向右平移到，此时边经过点D，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若将一块长，宽的长方形卡片剪成相同形状大小的两张卡片，可拼成一个长，宽的新长方形，则原长方形的剪切方案为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得、、在同一条直线上．那么旋转的最小角度是 ． 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，点E，F分别为长方形的边，上的点，将长方形纸片沿翻折，点B，C分别落在点，处，与相交于点G，若，则的度数为 ． 13．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ，阴影部分的面积为 ． 14．（2025·吉林·一模）如图所示，矩形纸片，点为边上一点，连接．将沿对折，点落在点处；将沿对折，点落在点处．若．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若平分，则．其中一定正确的有 （填序号即可）． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ． 三、解答题 16．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，O和为两条相交的公路，，是两个居民区，快递公司要在居民区旁边修建一个快递中转站，为了使邮寄和取送方便，要使中转站到两条公路的距离相等，并且到两居民区的距离也相等，请你用尺规作出中转站所在的位置（保留作图痕迹）． 17．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知． 【初步认识】 （1）尺规作图：求作直线，使和关于直线对称；（不写作法，保留痕迹） 【理解应用】 （2）如图，若在内部，和关于对称，和关于对称，求的度数； （3）如图，若在外部，且，和关于对称，和关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）若和关于的边对称，且，则的度数是_____． 19．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)画线段，交于点，若，求． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点在四边形的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $$