专题04 三角形-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

专题04 三角形 核心考点聚焦 B 外角 c a 内角 （一）三角形 A b C ①定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。 ②边：组成三角形的线段叫做三角形的边。三角形有3条边,如边AB,边BC,边AC, 或者称为 边a,边b,边c ③顶点：三角形相邻两边的公共端点。三角形有三个顶点，一般用大写字母来表示A.B.C…….。 ④内角：三角形每相邻两边组成的角叫做三角形的内角。三角形有三个内角。 ⑤外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形外角。与每个内角相邻的外角有两个，且互为对顶角的关系，三角形一共有6个外角。 ∠BAC的对边是边BC ∠ABC的对边是边AC 三角形有3个顶点，3条边，3个内角，6个外角 ∠ACB的对边是边AB   （二）三角形分类 直角三角形：有一个内角是90°的三角形叫做直角三角形 按角分类 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形 斜三角形 钝角三角形；有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形 按边分类 腰和底不相等的等腰三角形 等腰三角形 腰和底相等的等腰三角形（等边三角形又称正三角形） 等腰三角形：三角形三条边中有两条边相等的三角形叫做等腰三角 一个三角形中最多有一个直角，一个钝角，三个锐角。 等边三角形一定是锐角三角形。等边三角形一定是等腰三角形，等要三角形不一定是等边三角形。 （三）三角形的三条重要线段 （1）三角形的中线：连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段叫做三角形的中线。 结论；三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两部分 直角三角形斜边上的中线的等于斜边的一半。 （2） 三角形角平分线：三角形一内角角平分线与对边相交，连接顶点与交点所得的线段叫做三角形。 任意三角形有三条角平分线（内角平分线），且均位于三角形内部，且三条角平分线交于三角形内部一点。 结论;平分线上的点到角两边的距离相等。 （3）三角形的高：从三角形一个顶点向对边作垂线，连接这个顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 ①锐角三角形三条高均位于三角形内部，且交于三角形内部一点。 ②直角三角形的两条直角边是直角三角形的两条高，斜边上的高位于三角形内部，三条高的交点是直角顶点。 ③钝角三角形有两条高位于三角形外部，只有一条高位于三角形内部，且三条高所在的直线相交与三角形外部一点。 （四）三角形的内角和和外角和 内角和定理：三角形内角和等于180° 直三角形两锐角互余。 外角性质：三角形一个外角与其相邻内角互补。 三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大 于任何一个与其不相邻的内角。 内角和定理：三角形外角和等于360° （五）三角形的三边关系 三角形任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边。 三角形具有稳定性。 四边形不具有稳定性。 （六）多边形 （1）定义：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。 （2）分类 凹多边形 这也是四边形，但不在现在的研究范围内. 我们现在研究的多边形都是凸多边形. 凸多边形 （3）相关概念 ①边：组成多边形的线段叫做多边形边。 ② 顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。 ③内角：每相邻两边组成的角叫做多边形的内角。 ④外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。 ⑤正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. ⑥对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线n边形一共有有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角 （4）结论： ①从n边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，可以将多边形分为（n-2）个小三角形。 ②多边形的内角和为（n-2）180°（n3且为整数） ③任意多边形的外角和等于360° 题型归纳 题型一、三角形的分类 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）在中，的补角是，则是 三角形． 【答案】钝角 【分析】本题考查了补角的定义、三角形的分类，熟练掌握补角的定义是解题的关键．根据补角的定义和三角形的分类即可解答． 【详解】解：的补角是， ， ， 是钝角三角形． 故答案为：钝角． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键． 根据有一个是直角的三角形是直角三角形，找出图中的直角三角形即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以是直角三角形． 因为是边上的高， 所以， 所以都是直角三角形， 所以图中的直角三角形共有4个． 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形露出的部分为钝角，即可求解． 【详解】解：依题意，三角形露出的部分为钝角， ∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形 故选：A． 题型二、画三角形的高 5．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 本题考查了三角形的高，正确理解定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是符合题意的，A，B，D都不符合题意， 故选C． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，于点于点，则的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义解答即可得． 【详解】解：∵在中，于点， ∴的边上的高是， 故选：C． 7．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：在中，边上的高是线段， 故选：． 8．（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：于点， 中，是边上的高，故A不符合题意， ，线段是边上的高，B选项符合题意； 于点， 是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 题型三、根据三角形中线求面积 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据的面积，依次得出、及的面积即可解决问题．熟知三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：，且点是的中点， ． 点是的中点， ． 点为的中点， ． 故选：B． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，是的边上任意一点，分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线平分面积的计算，掌握中线的性质是关键． 根据点是中点，得到，根据点是的中点，得到，由即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为： ． 11．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分是解答此题的关键． 根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴， 故答案为：4． 12．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积． 【详解】解：，为的中点， ， 为的中点， ， 为的中点， ， 故选：C． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，是的两条中线，，交于点G．的面积是2，则阴影部分面积和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形中线平分三角形面积可得，，再根据图形面积之间的关系可得，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，是的两条中线， ∴， ∴， ∴， ∵，是的两条中线， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四、与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如：，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，的“系数补角”是　　　；的“系数补角”是　　　； 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，请解答下面（2）（3）题； 【初步认识】 （2）如图1，点是直线内一点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）如图2，连接,若点为直线右边平面内一动点（点不在直线上），与两个角的平分线交于点，若，是的“系数补角”，请直接写出的度数（用含和的代数式表示）． 【答案】（1）;（2）（3）或或 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质等知识. （1）根据“系数补角”的定义计算即可； （2）求出，过点作，根据平行线的性质计算即可； （3）分三种情况：当点在直线内部时，当点在直线下方时，当点在直线上方时；分别求解即可． 【详解】解：（1）， 的“系数补角”； 的“系数补角”； 故答案为：； （2）根据题意得， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， （3）如图，当点在直线内部时， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线下方时， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线上方时， 同理可得， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 综上所述，的度数为或或． 15．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，平分，为延长线上一点，交于点，，，求的度数． 【答案】的度数是． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．根据角平分线的定义求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：平分，， ，， ， ， ， ． 故的度数是． 16．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 17．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）如图1，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D． (1)①若，则_____； ②与之间的等量关系是_____． (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点F． ①求证：； ②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值． 【答案】(1)①110；② (2)①见解析；②所有符合条件的旋转角度α的值是或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可得，即可求解；②根据角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理求解即可； （2）①根据角平分线的定义可得，从而得到，再由，可得，即可求证；②由①得：，再结合，可得，，然后根据角平分线的定义可得，再由，可得，从而得到，再由旋转的性质可得，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：①在中，， ∴， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴， ∴， ∴； 故答案为：110； ②在中，， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：①∵，， ∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②由①得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转一定角度后得， ∴， 如图， ∵， ∴， ∴， 即此时的旋转角为； 如图， ∵， ∴， ∴； 综上所述，所有符合条件的旋转角度的值为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，旋转变换等知识，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 18．（24-25七年级下·吉林长春·期中）（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 题型五、三角形折叠问题 19．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图：    ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 20．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算、三角形内角和定理及平行线的性质．分三种情况，分别作出三种情况下相应图形，并结合平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ②如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ③如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：或或． 21．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．（24-25七年级下·重庆·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当 度时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角性质以及外角性质，平行线的性质，折叠的性质，先由，得出，再结合两直线平行，同位角相等得，根据折叠性质得，最后由三角形外角性质得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， 则， 故答案为： 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； （2）解：，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 题型六、直角三角形 24．（2025七年级下·全国·专题练习）满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意； B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C，，则，是直角三角形，不合题意； D，，则，是直角三角形，不合题意； 故选B． 25．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ②∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 26．（24-25七年级上·山东泰安·期中）在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，三角形内角和定理等知识点，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 根据直角三角形的判定和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：①不能确定为直角三角形，故①不符合题意； ②∵，， ∴，，， ∴为直角三角形，故②符合题意； ③设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故④符合题意； 综上，正确的有②③共2个． 故选D． 27．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，直角三角形特征，熟练掌握平行线的判定，同角的余角相等是解题的关键； （1）根据垂直的定义和直角三角形特征可得，再通过等量代换即可求出； （2）根据同角的余角相等可得，再通过等量代换可得，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． 28．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 题型七、利用三角形的外角求解 29．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条角平分线交于点；作和的平分线交于点；以此类推得到点，则的大小为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的外角性质，规律型：图形的变化类，应用三角形的外角性质，由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，由三角形的外角性质可得，从而可求得，即可判定． 【详解】证明：∵为的外角， ∴． ∵， ∴， ∴． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）用三种不同的方法求图中五角星形的度数． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质； 解法一：如图①，证明，．结合，即可得到答案； 解法二：如图②，作射线，同理可得：，结合，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； 解法三：如图③，连接，证明，结合，进一步可得答案． 【详解】解法一：如图①， ，分别是，的外角， ，． 在中，， ． 即．   解法二：如图②，作射线， 同理可得：， ∵， ∴， 又， ．   解法三：如图③，连接， 在中，， 在中，， ， ． 在中，， ， ， 即． 32．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知：是的外角，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和以及三角形内角和等于是解题的关键． 先根据三角形外角的性质得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】证明：∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 题型八、利用三角形的三边关系化简 33．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 34．（24-25七年级下·重庆·期中）的三边长分别为a，b，c． (1)化简； (2)若为整数，c为整数，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形三边关系应用，化简绝对值，整式的加减运算，方程组的解法，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形三边关系可判断出，，，再化简绝对值即可； （2）根据为整数，为整数，a，b，c为的三边长，得出， 即，根据，或或，得出或或，然后分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵为整数，为整数，a，b，c为的三边长， ∴， ∴， ∵，或或， ∴或或， 当时，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 当时，不符合题意，舍去， ∴， 即， ∴的周长为． 35．（24-25七年级下·四川成都·期中）的三边长分别为． (1)化简； (2)若为整数，为整数，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查三角形三边关系应用，化简绝对值，有理数乘方运算，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形三边关系可判断出，，，再化简绝对值即可； （2）根据为整数，为整数，a，b，c为的三边长，得出， 即，根据，或或，得出或或，然后分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵为整数，为整数，a，b，c为的三边长， ∴， ∴， ∵，或或， ∴或或， 当时，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 当时，不符合题意，舍去， ∴， 即， ∴的周长为． 题型九、多边形内角和与外角和综合 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，多边形的外角和的应用； （1）直接利用多边形的内角和定理求解即可； （2）设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，可得，求解，再结合外角和可得答案． 【详解】（1）解：当时， 多边形的内角和； （2）解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为， 由题意，得， 解得， ． 37．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形中，分别是，的外角，，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角的综合应用，根据多边形的内角和定理，结合两直线平行，同旁内角互补，以及平角的定义求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵五边形，， ∴五边形的内角和为，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 38．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征． （1）先根据多边形的内角和外角的关系，列方程求解即可得出一个内角和一个外角； （2）根据外角和是固定的，求出多边形的边数，从而可代入公式求解． 【详解】（1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为， 根据题意，得 解得：， ，， 故这个n边形一个内角的度数为； （2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为， ， 这个n边形的内角和为． 39．（22-23九年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握任意多边形外角和等于是解题的关键．根据任意多边形外角和都等于，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∵， ∴， 故选：B． 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．由外角和内角的关系可求得的和，由多边形的内角和公式求得五边形的内角和，即可求得． 【详解】解：∵的外角和等于， ， ， ∵五边形内角和， ， ， 故选：A． 题型十、多（少）算一个角问题 41．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 【答案】， 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．根据多边形内角和定理：（且为整数），可得：多边形的内角和一定是的倍数，而多边形的内角一定大于，并且小于，用除以，根据商和余数的情况，求出加的这个内角的度数，进而可求出这个多边形的边数． 【详解】解：， 少加的这个内角的度数是：． ∴这个多边形的边数是：． 答：这个内角的度数为，多边形的边数为14． 42．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式．多边形的内角一定大于0度，小于度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的值，代入计算可得． 【详解】解∶设边形少加的度数为度．则 ， 即． ，， ， ． 边形的对角线条数为． ． 43．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 44．（23-24七年级下·河南开封·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 45．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题． (1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是_________°． (2)在（1）的条件下，明明求的是几边形的内角和？ (3)在（1）的条件下，若这是一个正多边形，则这个正多边形的每一个外角的度数是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键． （1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可； （2）根据多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形外角和为360°，而每一个外角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， ∵发现少加了一个锐角， ∴这个“少加的锐角”是， 故答案为：； （2）设多边形边数为， 则， 解得：， 即明明求的是边形的内角和； （3）∵正边形的外角都相等，而多边形的外角和始终为， ∴这个正多边形的每个外角为， ∴这个正多边形的每一个外角的度数是． 题型十一、与多边形有关的截角问题 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明将一个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】13或14或15 【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可．本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为13， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为14， 则多边形的边数是13或14或15． 47．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 【答案】(1)8 (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和、多边形外角和以及剪去一个角的问题，熟练掌握多边形的相关知识是解题的关键． （1）设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为，根据平角定义可求出a的值，再利用多边形的外角和为，可求出多边形的个数； （2）剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，因此分情况讨论，即可求出答案． 【详解】（1）解：设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为， 由题意得，， 解得， 又多边形的外角和为， 多边形的外角个数为， 这个多边形的边数为8； （2）因为剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 若剪掉一个角后，边数增加了1条，即变成九边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数减少了1条，即变成七边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数不变，即还是八边形，则此时内角和； 将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或． 48．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 【答案】（1）13或14或15；（2）边数为14，内角为 【分析】本题考查多边形的内角和与切割问题： （1）先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可； （2）根据多边形的内角和为的整数倍，用2024°除以的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可． 【详解】解：（1）设新的多边形的边数为，由题意，得：， ∴， ∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况，      故：原多边形的边数为13或14或15； （2）设多边形的边数为， ∵， ∴， ∴， ∴少算的内角的度数为， 故多边形的边数为14，少算的内角度数为． 49．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】（1）见解析；（2）12或13或14． 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理： （1）n边形内角和为，那么每增加一条边，对应的多边形内角和就增加180度，据此可知①的多边形边数为5，②的多边形边数为6，③的多边形边数为4，据此作图即可； （2）先根据多边形内角和计算公式求出新多边形的边数，再根据（1）进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）设新的多边形边数为n， 由题意得，， 解得， ∴新多边形的边数为13， 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为13； 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为12； 当原多边形内角和新多边形内角和时，原多边形的边数为14； 综上所述，原多边形的边数为12或13或14． 题型十一、平面镶嵌 50．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列我们学过的图形中不可能是正多边形的是（　　） A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．梯形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键：正多边形必须同时满足各角相等和各边相等两个条件，缺一不可；例如：各边相等的多边形不一定是正多边形（如菱形），各角都相等的多边形不一定是正多边形（如矩形）． 由正多边形的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由正多边形的定义可知，三角形、正方形、五边形都有可能是正多边形，而梯形不可能是正多边形， 故选：． 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列组合不能密铺平面的是（    ） A．正三角形、正方形和正六边形 B．正三角形、正方形和正十二边形 C．正八边形、正六边形和正十二边形 D．正方形、正六边形和正十二边形 【答案】C 【分析】此题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案． 【详解】解：正三角形的每一个内角为，正四边形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，正十二边形的每一个内角为． A、正三角形、正方形和正六边形，可以密铺平面，比如：2个正方形，一个正六边形，一个正三角形．本选项不符合题意； B、正三角形、正方形和正十二边形，可以密铺平面，比如：2个正三角形、一个正方形、一个正十二边形．本选项不符合题意； C、正三角形、正六边形和正十二边形，不能密铺平面．本选项符合题意； D、正方形、正六边形和正十二边形．可以密铺平面，比如：一个正方形、一个正六边形、一个正十二边形．本选项不符合题意； 故选：C． 52．（24-25七年级下·全国·期末）用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有2个正三角形、a个正六边形，则a的值可能是（   ） A．4 B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了平面镶嵌，一元一次方程的应用，正多边形的组合能进行平面镶嵌，则位于同一顶点处的几个角之和为，据此列方程求解即可． 【详解】解：正三角形和正六边形内角分别为、， 根据题意可知， 解得． 故选：D． 53．（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）如图所示，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，则白皮 块，黑皮 块． 【答案】 20 12 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，即找出黑边与白边条数的比例关系并列出方程成为解题的关键． 由一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍，设出未知数列出方程求解即可． 【详解】解：设足球上黑皮有x块，则白皮为块，五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系可得，每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边，则白皮的边数为黑皮的2倍， 可得方程：，解得：， （块）， 所以白皮20块，黑皮12块． 故答案为：20，12． 54．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是工人师傅用边长均为a的正六边形和正方形地砖围绕着点B进行的铺设．若将另一块边长为a的正多边形地砖恰好能镶嵌在处，则这块正多边形地砖的边数是（　　）    A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和．熟练掌握正边形的内角和为是解题的关键． 由题意知，正六边形的内角为，正方形的内角为，则，设镶嵌在处的正多边形地砖的边数为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，正六边形的内角为，正方形的内角为， ∴， 设镶嵌在处的正多边形地砖的边数为， 依题意得，， 解得， 故选：D． 真题感知 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线平分三角形的面积是正确解答此题的关键． 根据三角形中线平分三角形面积得到，进而得到，同理可得． 【详解】解：∵点是的中点， 的面积为， ∴， ∵点是的中点， ∴，同理可得， 同理可得，． 故选B． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度，从而可得答案． 【详解】解： 是的中线， ， 的面积等于的面积， 故正确； ，是的高， ∴ ，， 是的角平分线， ∴ ， ， 又 ， ， 故正确；   ， ， ， 故正确； ∵， ， 故错误； 故选：C 3．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，的外角与的三等分线交于点，即，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出，结合三等分线可求出，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质求出，根据角平分线定义和三角形外角的性质可求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∵的平分线与的外角的平分线交于点， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）如图，于点O，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及垂线的定义，延长交的延长线于点K，先根据平角的定义得，再根据余角的定义得，再根据平行线的定义得，，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列说法正确的个数是（   ） ①同位角的角平分线互相平行； ②中，若，则是直角三角形； ③周长相等的两个等边三角形全等； ④三角形三条高线交于一点； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据平行的性质进行判断即可． 【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行，故①错误； 中，若， ， ，故不是直角三角形；故②错误； 周长相等的两个等边三角形全等；故③正确； 三角形三条高线所在的直线交于一点；故④错误． 故选A． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线和高，掌握三角形面积计算公式、“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，利用三角形面积公式求出的面积，再根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 故选：C． 8．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，将一个含有角的直角三角尺的两个顶点叠放在长方形的两条边上，若，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、矩形的性质、平行线的性质，根据三角形内角和定理可以求出，根据矩形的性质可知，根据两直线平行同位角相等，可知，根据角之间的关系求出的度数即可． 【详解】解：如下图所示， 在中，， ， 矩形对边平行， ， ， ， ． 故选：C． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 根据角平分线的定义可得，，可得，进而求解； 【详解】解：平分，平分， ，， ， ； 故选：B 10．（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、， 长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·广东深圳·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质以及平行线的性质，正确求出的度数是解答本题的关键． 由折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理用含有的代数式表示出的度数，再根据三角形的外角性质可得的度数，进而得出的度数． 【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·北京·期中）如图，，点是平面内一点，连接，，的平分线与的平分线交于点．若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并作辅助线构造三角形． 延长交于点，相交于点，利用角平分线的性质和平行线的性质得出，，得出，进行整理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，相交于点， ∵平分，平分， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在中，为边上的高，，，则 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是，分类讨论思想是解题的关键．分两种情况画出相应的图形，再根据三角形的高以及内角和定理可求出的度数，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，∵为边上的高， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图2，∵为边上的高， ∴， 又∵ ∴， ∴； 故答案为：或． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）用x个相同的正n边形进行拼接，使相邻的两个正n边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，如当时的情况如图．在所有符合条件的拼接中，n的最大值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查正多边形的内角和外角，以及周角为，根据多边形的内角公式知n值越大，正多边形的内角越大，围成一圈后中间形成一个正多边形内角越小，最小的正多边形为正三角形，内角为，利用周角求得正多边形的一个内角，即可求得答案． 【详解】解：∵ ∴n值越大，正多边形的内角越大，围成一圈后中间形成一个正多边形内角越小，最小的正多边形为正三角形，内角为， ∵周角为， ∴另外两个相邻的正n边形的角度相加为， 即每一个正n边形的角度为， 根据，解得， 故n的最大值为12． 故答案为： 15．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）在三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为、、的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（规定）．当为“高倍三角形”时，为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“高倍三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．根据“高倍三角形”的概念，分类讨论即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∵为“高倍三角形” 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：（舍）； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：； 当时， 即 ，解得：；（舍） 故答案为：或或或． 三、解答题 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）用同一种正多边形地砖铺地，要求顶点聚在一起，且砖与砖之间不留空隙，这种正多边形的边数有哪几种可能？ 【答案】3，4，6 【分析】本题考查了平面镶嵌，由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．设这种正多边形的边数为，一个顶点处有块地砖，则它的每个内角为，可得，再进一步分析即可． 【详解】解：设这种正多边形的边数为，一个顶点处有块地砖，则它的每个内角为， ∴， ∴． ∵为正整数， ∴只可能为3，4，6． 故这种正多边形的边数为3，4，6 17．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）求下列图形中的值： 【答案】65；115 【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题的关键．根据多边形内角和进行计算即可． 【详解】解：图1，，则； 图2，，解得． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知与交于点O． (1)如图①，若，则与的数量关系为_____________． (2)如图②，若不平行，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论．（注：请用三角形内角和定理来证明） 【答案】(1)，理由见详解 (2)成立，证明见详解 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理，熟记平行线的性质是解本题的关键； （1）先证明，，可得； （2）根据三角形内角和定理可得，，根据，进而求解； 【详解】（1）解：，理由如下： ， ∴，， ； 故答案为： （2）解：（1）中结论成立， 理由如下： ，， 又， ． 19．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，，，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质得出，根据平行线的判定与性质证明出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知：在中，，为的角平分线，点为直线上一点（点不与点、、重合）．过点作，垂足为点，平分，与边所在的直线交于点． (1)点在线段上． ①如图1，若，则与的位置关系为______． ②如图2，若，所在的直线与所在的直线交于点，求的度数（用的代数式表示）； (2)点在线段的延长线上．若，所在直线与所在直线交于点．若中有两个内角相等，且，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】此题主要考查了角平分线定义，三角形内角和定理，平行线的判定，准确识图，熟练掌握角平分线定义，三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）①延长与的延长线交于点，先根据角平分线定义及三角形内角和定理证，再证即可得出与的位置关系； ②过点作于，设，，根据角平分线定义及三角形内角和定理的，则，然后根据得，据此即可求解； （2），，，再根据若中有两个内角相等，则有以下三种情况：①若时，则，②若时，则，③当时，则，根据上述每一种情况即可求出的值． 【详解】（1）解：①延长与的延长线交于点，如图1所示： 为的角平分线，平分， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ∴， 故答案为：． ②，理由如下， 过点作于，如图2所示：   为的角平分线，平分， 设，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 整理得：； （2）解：，理由如下：如图3所示：   ，， ， 平分， ， ， 为的角平分线， ， ，， ， ， 在中，，，， 若中有两个内角相等，则有以下三种情况： ①若时，则， 解得：； ②若时，则， 解得：，不合题意，舍去； ③当时，则， 解得：，不合题意，舍去， 综上所述：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形 核心考点聚焦 B 外角 c a 内角 （一）三角形 A b C ①定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。②边：组成三角形的线段叫做三角形的边。三角形有3条边,如边AB,边BC,边AC, 或者称为 边a,边b,边c ③顶点：三角形相邻两边的公共端点。三角形有三个顶点，一般用大写字母来表示A.B.C…….。 ④内角：三角形每相邻两边组成的角叫做三角形的内角。三角形有三个内角。 ⑤外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形外角。与每个内角相邻的外角有两个，且互为对顶角的关系，三角形一共有6个外角。 ∠BAC的对边是边BC ∠ABC的对边是边AC 三角形有3个顶点，3条边，3个内角，6个外角 ∠ACB的对边是边AB   （二）三角形分类 直角三角形：有一个内角是90°的三角形叫做直角三角形 按角分类 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形 斜三角形 钝角三角形；有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形 按边分类 腰和底不相等的等腰三角形 等腰三角形 腰和底相等的等腰三角形（等边三角形又称正三角形） 等腰三角形：三角形三条边中有两条边相等的三角形叫做等腰三角 一个三角形中最多有一个直角，一个钝角，三个锐角。 等边三角形一定是锐角三角形。等边三角形一定是等腰三角形，等要三角形不一定是等边三角形。 （三）三角形的三条重要线段 （1）三角形的中线：连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段叫做三角形的中线。 结论；三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两部分 直角三角形斜边上的中线的等于斜边的一半。 （2） 三角形角平分线：三角形一内角角平分线与对边相交，连接顶点与交点所得的线段叫做三角形。 任意三角形有三条角平分线（内角平分线），且均位于三角形内部，且三条角平分线交于三角形内部一点。 结论;平分线上的点到角两边的距离相等。（3）三角形的高：从三角形一个顶点向对边作垂线，连接这个顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 ①锐角三角形三条高均位于三角形内部，且交于三角形内部一点。 ②直角三角形的两条直角边是直角三角形的两条高，斜边上的高位于三角形内部，三条高的交点是直角顶点。 ③钝角三角形有两条高位于三角形外部，只有一条高位于三角形内部，且三条高所在的直线相交与三角形外部一点。 （四）三角形的内角和和外角和 内角和定理：三角形内角和等于180° 直三角形两锐角互余。 外角性质：三角形一个外角与其相邻内角互补。 三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大 于任何一个与其不相邻的内角。 内角和定理：三角形外角和等于360° （五）三角形的三边关系 三角形任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边。 三角形具有稳定性。 四边形不具有稳定性。 （六）多边形 （1）定义：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。 （2）分类 凹多边形 这也是四边形，但不在现在的研究范围内. 我们现在研究的多边形都是凸多边形. 凸多边形 （3）相关概念 ①边：组成多边形的线段叫做多边形边。 ② 顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。 ③内角：每相邻两边组成的角叫做多边形的内角。 ④外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。 ⑤正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. ⑥对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线n边形一共有有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角 （4）结论： ①从n边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，可以将多边形分为（n-2）个小三角形。 ②多边形的内角和为（n-2）180°（n3且为整数） ③任意多边形的外角和等于360° 题型归纳 题型一、三角形的分类 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）在中，的补角是，则是 三角形． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 题型二、画三角形的高 5．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，于点于点，则的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 8．（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 题型三、根据三角形中线求面积 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，是的边上任意一点，分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是 ． 11．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，则 ． 12．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，是的两条中线，，交于点G．的面积是2，则阴影部分面积和是 ． 题型四、与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如：，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，的“系数补角”是　　　；的“系数补角”是　　　； 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，请解答下面（2）（3）题； 【初步认识】 （2）如图1，点是直线内一点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）如图2，连接,若点为直线右边平面内一动点（点不在直线上），与两个角的平分线交于点，若，是的“系数补角”，请直接写出的度数（用含和的代数式表示）． 15．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，平分，为延长线上一点，交于点，，，求的度数． 16．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 17．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）如图1，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D． (1)①若，则_____； ②与之间的等量关系是_____． (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点F． ①求证：； ②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值． 18．（24-25七年级下·吉林长春·期中）（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 题型五、三角形折叠问题 19．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为 ．    20．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为 ． 21．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 22．（24-25七年级下·重庆·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当 度时，． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 题型六、直角三角形 24．（2025七年级下·全国·专题练习）满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 26．（24-25七年级上·山东泰安·期中）在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 27．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 28．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 题型七、利用三角形的外角求解 29．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条角平分线交于点；作和的平分线交于点；以此类推得到点，则的大小为 ． 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图，．求证：． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）用三种不同的方法求图中五角星形的度数． 32．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知：是的外角，求证：． 题型八、利用三角形的三边关系化简 33．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 34．（24-25七年级下·重庆·期中）的三边长分别为a，b，c． (1)化简； (2)若为整数，c为整数，且满足，求的周长． 35．（24-25七年级下·四川成都·期中）的三边长分别为． (1)化简； (2)若为整数，为整数，且满足，求的周长． 题型九、多边形内角和与外角和综合 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 37．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形中，分别是，的外角，，那么 度． 38．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 39．（22-23九年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十、多（少）算一个角问题 41．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 42．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 43．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 44．（23-24七年级下·河南开封·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 45．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题． (1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是_________°． (2)在（1）的条件下，明明求的是几边形的内角和？ (3)在（1）的条件下，若这是一个正多边形，则这个正多边形的每一个外角的度数是多少？ 题型十一、与多边形有关的截角问题 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明将一个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为，求原多边形的边数． 47．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 48．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 49．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 题型十一、平面镶嵌 50．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列我们学过的图形中不可能是正多边形的是（　　） A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．梯形 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列组合不能密铺平面的是（    ） A．正三角形、正方形和正六边形 B．正三角形、正方形和正十二边形 C．正八边形、正六边形和正十二边形 D．正方形、正六边形和正十二边形 52．（24-25七年级下·全国·期末）用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有2个正三角形、a个正六边形，则a的值可能是（   ） A．4 B．3 C．1 D．2 53．（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）如图所示，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，则白皮 块，黑皮 块． 54．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是工人师傅用边长均为a的正六边形和正方形地砖围绕着点B进行的铺设．若将另一块边长为a的正多边形地砖恰好能镶嵌在处，则这块正多边形地砖的边数是（　　）    A．6 B．9 C． D． 真题感知 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，的外角与的三等分线交于点，即，．若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 5．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）如图，于点O，，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列说法正确的个数是（   ） ①同位角的角平分线互相平行； ②中，若，则是直角三角形； ③周长相等的两个等边三角形全等； ④三角形三条高线交于一点； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 8．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，将一个含有角的直角三角尺的两个顶点叠放在长方形的两条边上，若，的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、填空题 11．（24-25七年级下·广东深圳·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为 12．（24-25七年级下·北京·期中）如图，，点是平面内一点，连接，，的平分线与的平分线交于点．若，则 （用含的代数式表示）． 13．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在中，为边上的高，，，则 14．（2025七年级下·全国·专题练习）用x个相同的正n边形进行拼接，使相邻的两个正n边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，如当时的情况如图．在所有符合条件的拼接中，n的最大值为 ． 15．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）在三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为、、的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（规定）．当为“高倍三角形”时，为 ． 三、解答题 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）用同一种正多边形地砖铺地，要求顶点聚在一起，且砖与砖之间不留空隙，这种正多边形的边数有哪几种可能？ 17．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）求下列图形中的值： 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知与交于点O． (1)如图①，若，则与的数量关系为_____________． (2)如图②，若不平行，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论．（注：请用三角形内角和定理来证明） 19．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，，，且．若，求的度数． 20．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知：在中，，为的角平分线，点为直线上一点（点不与点、、重合）．过点作，垂足为点，平分，与边所在的直线交于点． (1)点在线段上． ①如图1，若，则与的位置关系为______． ②如图2，若，所在的直线与所在的直线交于点，求的度数（用的代数式表示）； (2)点在线段的延长线上．若，所在直线与所在直线交于点．若中有两个内角相等，且，请直接写出的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$