第01讲 一元二次方程-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第01讲 一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 一元二次方程的定义 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 知识点2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 （1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点3 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【重要结论】 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 教材习题01 用方程描述下列问题中的数量关系: (1)一个正方体的表面积是150cm.设这个正方体的棱长为xcm，可得方程 (2)一个长方形操场的面积是7200m?，长是宽的2倍.设这个操场宽 为xm，可得方程 (3)两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数x，可得方程 (4)某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14 400台提高到 16 900台，设平均每年增长的百分率为x，可得方程 解题方法 ①正方体表面积公式为 6a²(a 为棱长) ②面积公式为 长× 宽 ③连续奇数积问题 ④产量增长率问题 【答案】（1）6x²= 150 （2）x·2x=7200 （3）x(x+2)=323 或x(x-2)=323 （4）14400(1+x)²= 16900 教材习题02 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项。 (1)x²-x=2; (2)4x+1=x² 解题方法 ①移项 ②合并同类项 ③确定系数 【答案】（1）-般形式为 x²-x-2-0, 二次项系数 1，一次项系数 -1，常数项-2。 （2）般形式为 x²-4x-1=0 二次项系数 1，一次项系数 -4，常数项-1. / 考点一 一元二次方程的概念 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点二 一元二次方程的一般形式 1．（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 4．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 考点三 已知一元二次方程的解求参数 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（） A．3 B．2 C． D． 2．（2025年云南省初中学业水平考试数学模拟试卷）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为 ． 3．（2025·江苏无锡·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是 ． 4．（2025·江苏泰州·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值是 ． 5．（2025·贵州黔东南·一模）若是方程的根，则的值为 ． 知识导图记忆 知识目标复核 1．一元二次方程的概念。 2．一元二次方程的一般形式。 3．一元二次方程的解。 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西河池·期末）下列一元二次方程中，一次项系数为3的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果是方程的一个根，那么的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 二、填空题 5．（2025·江苏苏州·一模）已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为 ． 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 7．（24-25九年级上·北京·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·北京·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 9．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 11．（23-24八年级上·上海·单元测试）把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 12．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 一元二次方程的定义 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 知识点2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 （1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点3 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【重要结论】 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 教材习题01 用方程描述下列问题中的数量关系: (1)一个正方体的表面积是150cm.设这个正方体的棱长为xcm，可得方程 (2)一个长方形操场的面积是7200m?，长是宽的2倍.设这个操场宽 为xm，可得方程 (3)两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数x，可得方程 (4)某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14 400台提高到 16 900台，设平均每年增长的百分率为x，可得方程 解题方法 ①正方体表面积公式为 6a²(a 为棱长) ②面积公式为 长× 宽 ③连续奇数积问题 ④产量增长率问题 【答案】（1）6x²= 150 （2）x·2x=7200 （3）x(x+2)=323 或x(x-2)=323 （4）14400(1+x)²= 16900 教材习题02 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项。 (1)x²-x=2; (2)4x+1=x² 解题方法 ①移项 ②合并同类项 ③确定系数 【答案】（1）-般形式为 x²-x-2-0, 二次项系数 1，一次项系数 -1，常数项-2。 （2）般形式为 x²-4x-1=0 二次项系数 1，一次项系数 -4，常数项-1. / 考点一 一元二次方程的概念 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记：． 【详解】解：、中，没有说明，此选项不符合题意； 、是一元二次方程，此选项符合题意； 、整理后得是一元一次方程，此选项不符合题意； 、中，有个未知数，此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行求解即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故不符合题意； D、该方程含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴， 故选：． 考点二 一元二次方程的一般形式 1．（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，移项整理得，， ∴一次项系数和常数项分别为3和． 故选：C ． 4．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 考点三 已知一元二次方程的解求参数 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，解题关键是将已知根代入方程，构建关于m的一元一次方程并求解． 根据方程根的定义，将代入方程得到关于m的方程，再求解该方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得到， ． 解得． 故选：A． 2．（2025年云南省初中学业水平考试数学模拟试卷）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，根据题意把代入关于x的一元二次方程中即可求出m的值． 【详解】解：将代入方程中得， 解得． 故答案为：3． 3．（2025·江苏无锡·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程的解求参数．一元二次方程的一个根是，把代入一元二次方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（2025·江苏泰州·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是解答关键． 根据是方程的一个根得到，并代入代数式中进行计算求解． 【详解】解： 是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 5．（2025·贵州黔东南·一模）若是方程的根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解，将代入方程求出，即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 知识导图记忆 知识目标复核 1．一元二次方程的概念。 2．一元二次方程的一般形式。 3．一元二次方程的解。 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，表示形式，掌握其定义及表示方法是关键． 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程”及形式“”判定即可． 【详解】解：A、不是方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不符合题意； C、含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、不是整式，不符合题意； 故选：C ． 2．（23-24九年级上·广西河池·期末）下列一元二次方程中，一次项系数为3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是（是常数，且），它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：A、中的一次项系数为0，则此项不符合题意； B、中的一次项系数为3，则此项符合题意； C、中的一次项系数为，则此项不符合题意； D、中的一次项系数为1，则此项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果是方程的一个根，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入计算即可得到答案． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得：， 故选：A． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 根据一元二次方程的根的定义可得，然后整体代入所求式子解答即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴； 故选：C． 二、填空题 5．（2025·江苏苏州·一模）已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体代入法求代数式的值的方法是解题的关键．将代入，得出，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入， 得：， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·北京·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得出，计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·北京·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是直接代值．根据一元二次方程的解的定义直接代值求解即可． 【详解】解：将代入， 得，解得， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握由一元二次方程的解求参数．根据方程解的定义利用整体代入的思想解决问题． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 11．（23-24八年级上·上海·单元测试）把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项为，一次项为，常数项 (2)，二次项为，一次项为，常数项 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． （1）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答； （2）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答． 【详解】（1）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项； （2）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项． 12．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$