第一讲 一元二次方程 一元二次方程的解法 暑假思维拓展 讲义 2023-2024学年苏科版九年级数学上册

编号： 暑假方程（1） 学生姓名： 年 级：九年级 辅导科目：思维拓展 授课日期及时段 年 月 日 : —— : 课题 一元二次方程&一元二次方程的解法 教学内容 一元二次方程 【知识梳理】 知识点1：一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程． 知识点2：一元二次方程的一般形式 ，为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 核心要点：（一元二次方程的识别） 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是． 任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式． 要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程． 【例题精讲】 题型1：一元二次方程的定义 例1．已知关于x的方程（2k+1）x2+k﹣4kx+（k﹣1）＝0． （1）k为何值时，此方程是一元一次方程？求这个一元一次方程的根； （2）k为何值时，此方程是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 题型2：利用一元二次方程各项系数求参数的值 例2．一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1＝x（x﹣1）化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为﹣1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【变式2-1】若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣4 题型3：列简单的一元二次方程 例3．在一幅长为80cm、宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　） A．x2+65x﹣350＝0 B．x2+130x﹣1400＝0 C．x2﹣65x﹣350＝0 D．x2﹣130x﹣1400＝0 【变式3-1】同一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为50cm2的长方形．设所折成的长方形的一边长为x，则可列方程为（　　） A．x（10﹣x）＝50 B．x（30﹣x）＝50 C．x（15﹣x）＝50 D．x（30﹣2x）＝50 例4．某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，下列所列方程正确的是（　　） A．180（1+x%）＝300 B．180（1+x%）2＝300 C．180（1﹣x%）＝300 D．180（1﹣x%）2＝300 【变式4-1】某楼盘2016年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2018年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为 　 　． 题型4：方程系数的讨论 例5．已知关于x的方程（a2﹣a）x2+ax+a2﹣1＝0 （1）当a为何值时，方程是一元一次方程； （2）当a为何值时，方程是一元二次方程； （3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【巩固练习】 1．把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0以后，a、b、c的值分别为（　　） A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2 2．关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　） A．任意实数 B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞1 3．关于y的方程是my（y﹣1）＝ny（y+1）+2化成一般形式后为y2﹣y﹣2＝0，则m，n的值依次是（　　） A．1，0 B．0，1 C．﹣1，0 D．0，﹣1 4．在美丽乡村的建设中，某村加大对绿化的投资.2016年用于绿化投资50万元，2018年用于绿化投资72万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　） A．50x2＝72 B．50（1+x）＝7 C．50（1+x）2＝72 D．50（1+x）+20（1+x）2＝72 5．已知m是关于x的一元二次方程x2﹣2015x+1＝0的一个不为0的根，求代数式m2﹣2014m+的值． 6．关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0整理成一般形式后为x2﹣3x﹣1＝0． （1）a是否等于1？请说明理由； （2）求a：b：c的值． 7．若是x2a+b﹣3xa﹣b+1＝0关于x的一元二次方程，求a、b的值