第02讲 解一元二次方程-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第02讲 解一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 解一元二次方程-直接开平方 （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 知识点2 解一元二次方程-配方法式 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式； ⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 知识点3 解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 知识点4 解一元二次方程-因式分解法 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点5 一元二次方程的判别式 ① ② ③ 教材习题01 1.解下列方程: (1)x²=16; (2)(x-4)²-25=0; 解题方法 直接开方 【解答】 （1）直接开平方:x=士 =±4，解为:x1=4，x2= -4。 （2）移项得:开平方:x-4= 士5 分情况求解: 当x-4=5时，x=9; 当x-4=-5时，x=-1. 解为:x=9，x=-1. 教材习题02 解下列方程: （1）x²+2x=3; （2）2x²-8x+1-0; 解题方法 ①配方法-系数为1 ②配方法-系数不为1 【答案】 （1）步骤1：一次项系数为 2，其一半为 1，平方为1² = 1. 方程两边同时加 1:x²+2x+1=3十1 左边化为完全平方式:(x+1)²= 4 步骤 2:开平方求解 x+1=士,x十1=士2 步骤 3:分情况讨论 当x十1=2时，x=2-1=1: 当x十1=-2时, x=-2-1=-3。 答案:x1=1，x2= -3。 （2） 教材习题03 用公式法解下列方程: (1)x²-3x-4=0; (2)4x(x-1)=1.; 解题方法 公式法 【解答】 教材习题04 k取什么值时，关于x的一元二次方程x²-kx+4-0有两个相等的实数根?求此时方程的根 解题方法 判别式 【解答】 教材习题05 用因式分解法解下列方程: (1)x²-3x=0; (2)2(x-1)+x(x-1)=0; 解题方法 因式分解法 【解答】（1）x（x-3）=0，x1=0, x2=3 (2)(x-1)(2+x)=0,x1= 1, x2=-2 / 考点一 解一元二次方程-直接开平方 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）（1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）先把原方程化成一般式，然后根据因式分解法求解即可； （2）根据直接开平方法求解即可． 【详解】解∶（1）原方程可化为， ∴， ∴或， ∴，； （2）∵， ∴， ∴或， ∴，． 2．（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， 解得． （2）解：， 则， 解得，． 考点二 解一元二次方程-配方法 1．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 则， ， 直接开平方得， ，． 2.（24-25九年级上·陕西西安·期中）用配方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程−−配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．方程整理后，利用配方法求出解即可． 【详解】解∶方程整理，得， 配方，得，即， 开方，得， 解得，． 考点三 解一元二次方程-公式法 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）用公式法解方程． 【答案】， 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到，，，计算得到，代入求根公式进行计算即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解： ， ∴， ∴ ∴． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可； （4）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， 原方程整理，得， ， ， ， ，； （3）， ， ， ， ，； （4）， 原方程整理，得． ， ， ， ，． 考点四 一元二次方程-判别式 1．（2025年辽宁省锦州市中考二模数学试题）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，根据，即可判断根的情况． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（2025·云南文山·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况．计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 3．（2025·江苏淮安·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：． 考点五 解一元二次方程-因式分解法 1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 2．（24-25九年级下·广东深圳·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． （1）利用公式法进行求解即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴ ∴原方程的解为： （2）， ， ， 故原方程的根为 3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握利用因式分解的方法解方程是解题的关键． 知识导图记忆 知识目标复核 1．解一元二次方程-直接开平方。 2．解一元二次方程-配方法。 3．解一元二次方程-公式法。 4. 一元二次方程判别式 5. 解一元二次方程-因式分解法 一、单选题 1．（23-24九年级上·河南新乡·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解来解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程根据解一元二次方程的方法直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适的方法，进行判断即可． 【详解】解：A. 适合用直接开平方法，符合题意； B. ，适合用因式分解法，符合题意； C. 适合用公式法，符合题意；     D. 适合用配方法法，符合题意； 故选：B． 2．（2025·湖北武汉·三模）一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握求解的方法是解题的关键； 原方程变形后，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， 即为， ∴或， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级下·广西贺州·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 直接根据配方法变形即可解答． 【详解】解： ． 故选A． 4.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是关键． 根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：B ． 5．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键．先求出方程的解，结合第三边，得到第三边的边长，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】解：， ∴， ∴，， 解得：，， 一个三角形两边的长是3和5， 第三边， ∴三角形的第三边为， ， 该三角形的形状是直角三角形． 故选：C． 6．（2025·安徽宣城·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得：且， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根的定义，根据有两个不相等的实数根，得出，，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， ， 即， 且． 故答案为：且． 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如果的两个根为，，则因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通分因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了将次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题．根据因式分解方程，两个根为，的一元二次方程为，即可得到答案． 【详解】解：∵的两个根为，， ∴原方程为， ∴因式分解为 ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，先把原式整理得，再令每个因式为0，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（2025·浙江温州·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键． 根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·浙江·期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数运算和理解能力．利用新运算的运算法则得到，再根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据运算法则，由得：， ， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为： ． 三、解答题 12．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用公式法求出解即可． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 分解因式得：， 解得：，． （2）解：，，， ， ， 则，； 13．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）请选择适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 则或， ∴，； （2）解：， ， 则， ∴，． 14．（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及方程根的应用．解题的关键是利用判别式确定参数的取值范围，并通过代入相同根求解方程中的未知参数，同时要注意一元二次方程二次项系数不为零的条件． （1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，，分别代入一元二次方程求出对应的m，同时满足即可． 【详解】（1）解：x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵； ∴k的最大整数为2， 方程则为， 解得，， ∵与方程有一个相同的根， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 而， ∴m的值为． 15．（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的一边和对角线的长，且矩形的另一边长为3，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、求根公式和矩形的性质，准确计算是解题的关键． （1）根据根的判别式判断即可； （2）根据求根公式算出方程的解，再根据矩形的性质求解即可； 【详解】（1）解：， 整理得：， ， ； 该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， ， ， 矩形的对角线长度大于边长， 为对角线，， 解得：， 16．（24-25九年级下·海南儋州·阶段练习）阅读与思考：用配方法求二次三项式的最值 我们通常把称为完全平方公式，由此可知多项式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，用配方法变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如：求代数式的最小值． 解 的最小值是． 解决问题： (1)将代数式用配方法可转化为______． (2)已知，则______，______． (3)请求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质； （1）把原式化为，再结合完全平方公式进一步解答即可； （2）把化为，再与比对即可； （3）把化为，结合非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∴，； （3）解： ； ∵， ∴， ∴的最小值为； 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 解一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 解一元二次方程-直接开平方 （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 知识点2 解一元二次方程-配方法式 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式； ⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 知识点3 解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 知识点4 解一元二次方程-因式分解法 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点5 一元二次方程的判别式 ① ② ③ 教材习题01 1.解下列方程: (1)x²=16; (2)(x-4)²-25=0; 解题方法 直接开方 教材习题02 解下列方程: （1）x²+2x=3; （2）2x²-8x+1-0; 解题方法 ①配方法-系数为1 ②配方法-系数不为1 教材习题03 用公式法解下列方程: (1)x²-3x-4=0; (2)4x(x-1)=1.; 解题方法 公式法 教材习题04 k取什么值时，关于x的一元二次方程x²-kx+4-0有两个相等的实数根?求此时方程的根 解题方法 判别式 教材习题05 用因式分解法解下列方程: (1)x²-3x=0; (2)2(x-1)+x(x-1)=0; 解题方法 因式分解法 / 考点一 解一元二次方程-直接开平方 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）（1）解方程： （2）解方程： 2．（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）解方程： (1)； (2)． 考点二 解一元二次方程-配方法 1．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 2.（24-25九年级上·陕西西安·期中）用配方法解方程： 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程方程：． 考点三 解一元二次方程-公式法 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）用公式法解方程． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）用公式法解方程：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点四 一元二次方程-判别式 1．（2025年辽宁省锦州市中考二模数学试题）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（2025·云南文山·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（2025·江苏淮安·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 考点五 解一元二次方程-因式分解法 1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 2．（24-25九年级下·广东深圳·期中）解方程 (1) (2) 3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 知识导图记忆 知识目标复核 1．解一元二次方程-直接开平方。 2．解一元二次方程-配方法。 3．解一元二次方程-公式法。 4. 一元二次方程判别式 5. 解一元二次方程-因式分解法 一、单选题 1．（23-24九年级上·河南新乡·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解来解的是(　　) A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·三模）一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广西贺州·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 6．（2025·安徽宣城·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如果的两个根为，，则因式分解 ． 9．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的根是 ． 10．（2025·浙江温州·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 11．（24-25八年级下·浙江·期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 三、解答题 12．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程： (1) (2) 13．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）请选择适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2) 14．（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 15．（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的一边和对角线的长，且矩形的另一边长为3，求k的值． 16．（24-25九年级下·海南儋州·阶段练习）阅读与思考：用配方法求二次三项式的最值 我们通常把称为完全平方公式，由此可知多项式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，用配方法变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如：求代数式的最小值． 解 的最小值是． 解决问题： (1)将代数式用配方法可转化为______． (2)已知，则______，______． (3)请求出代数式的最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$