专题05 二次根式-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题05 二次根式 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、二次根式有意义的条件 2、利用二次根式的性质化简 3、二次根式的混合运算 4、无理数的大小估算 5、同类二次根式 6、二次根式应用 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 二次根式有意义的条件 2024·江苏徐州·中考真题 利用二次根式的性质化简 2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题 二次根式的混合运算 2024·山东威海·中考真题 无理数的大小估算 2023·重庆·中考真题 同类二次根式 2023·山东烟台·中考真题 一．二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 2． 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2 三.二次根式运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【题型1利用二次根式的性质化简】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则化简的结果为 ． 3．（24-25八年级上·北京昌平·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 4．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料． 材料一：化䈒：． 解：由可知，有隐含条件，解得原式． 材料二：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：． 当时，， ，解得（舍去）； 当时，， ，符合条件； 当时，， ，解得（舍去）． 的取值范围是． (1)按照上面的解法，化简：； (2)实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______； (3)若，求的取值范围． 【题型2分母有理化】 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：__________． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【题型3 二次根式混合运算】 4．（24-25八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 5．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【阅读材料】已知，为非负实数， ， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 【灵活运用】 （1）已知，则当　　时，代数式到最小值，最小值为________． （2）已知，求代数式的最小值． 【拓展运用】 （3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为500平方米的花圃，所用的围栏至少为多少米？ 真题感知 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 3．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 4．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 6．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是 ． 7．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 8．（2024·甘肃·中考真题）计算：． 9．（2023·湖南益阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 提升专练 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知，． (1)求的立方根； (2)求的值． 2．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知，，，求值： (1) (2) 4．（24-25八年级上·全国·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 5．（24-25八年级上·广东茂名·期中）我们知道，因此想要化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式，分母就变成了有理数，这就是分母有理化．例如： 请仿照以上方法，解决如下问题 (1)化简； (2)计算． 6．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是____________，____________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为  所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次根式 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、二次根式有意义的条件 2、利用二次根式的性质化简 3、二次根式的混合运算 4、无理数的大小估算 5、同类二次根式 6、二次根式应用 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 二次根式有意义的条件 2024·江苏徐州·中考真题 利用二次根式的性质化简 2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题 二次根式的混合运算 2024·山东威海·中考真题 无理数的大小估算 2023·重庆·中考真题 同类二次根式 2023·山东烟台·中考真题 一．二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 2． 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2 三.二次根式运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【题型1利用二次根式的性质化简】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，整式的加减．根据二次根式有意义的条件求得，推出，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式以及绝对值的性质，首先根据的范围确定与的符号，然后根据，以及绝对值的性质即可化简求值，正确理解是关键． 【详解】解：， ，， 原式． 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·北京昌平·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质等知识，先根据数轴得出，则，然后根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料． 材料一：化䈒：． 解：由可知，有隐含条件，解得原式． 材料二：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：． 当时，， ，解得（舍去）； 当时，， ，符合条件； 当时，， ，解得（舍去）． 的取值范围是． (1)按照上面的解法，化简：； (2)实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，实数与数轴等知识，掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据二次格式的性质化简即可； （2）先根据数轴得出，， ，，然后根据二次格式的性质化简即可； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可得． 【详解】（1）解：由可知：， ， ， ； （2）解：由数轴知：，， ，， ； （3）解： ， ， 当时，，， ， （舍去）； 当时，，， ，符合条件； 当时，，， ， （舍去）； x的取值范围为． 【题型2分母有理化】 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：__________． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理数，二次根式的混合运算，化简求值： （1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）先进行分母有理化求出的值，进而求出的值，利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）原式 ； （3）∵， ， ∴，， ∴． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，利用整体代入的方法可简化计算．也考查了平方差公式和分母有理化． （1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （2）先分母有理化得到，再变形为，则两边平方可得，接着用表示出，则利用降次的方法得到原式，然后把的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ， 即， ， ， 原式． 【题型3 二次根式混合运算】 4．（24-25八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘方和负整数指数幂，再算除法，最后算加减即可； （2）先算乘除，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算． （1）原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，化为最简二次根式，合并即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【阅读材料】已知，为非负实数， ， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 【灵活运用】 （1）已知，则当　　时，代数式到最小值，最小值为________． （2）已知，求代数式的最小值． 【拓展运用】 （3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为500平方米的花圃，所用的围栏至少为多少米？ 【答案】（1）； （2） （3）所用的围栏至少为米 【分析】本题考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，二次根式的运算及分式的运算，正确理解题意并举一反三是解题关键． （1）参考例题得求解过程即可； （2）根据，求出得最小值即可求解； （3）设花圃的宽为米，则长为米，所用的围栏，据此即可求解； 【详解】解：（1）令，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）， 令，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 代数式的最小值为； （3）设花圃的宽为米，则长为米， 所用的围栏， 令，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 故：所用的围栏至少为米； 真题感知 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 3．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 5．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 6．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 7．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 【答案】/ 【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键． 8．（2024·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】0 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 ． 9．（2023·湖南益阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把代入化简后的分式中进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，熟练的计算分式的混合运算是解本题的关键． 提升专练 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知，． (1)求的立方根； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2)123 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，求一个数的立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）代入后根据平方差公式计算化简即可； （2）代入根据平方差公式计算可得结果． 【详解】（1）解： ，， ． ． ∴的立方根是3； （2）． ，， 原式 ． 2．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）①将原式转成，转化成完全平方式，化简即可求得答案． ②将原式转化成，转成完全平方式，化简即可求得答案． 【详解】（1）解： ； 故答案为：，； （2）解：① ， ② ． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知，，，求值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）原代数式化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．（24-25八年级上·全国·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，二次根式性质，整式的加减，根据数轴上的位置，可得，，由此得出，然后再化简绝对值进行计算即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴ ． 5．（24-25八年级上·广东茂名·期中）我们知道，因此想要化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式，分母就变成了有理数，这就是分母有理化．例如： 请仿照以上方法，解决如下问题 (1)化简； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）利用互为有理化因式的定义求解； （2）根据题目所给方法分母有理化后合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 6．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是____________，____________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为  所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （3）根据题干给出的解题方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$