第06讲 有理数的乘法与除法-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第06讲 有理数的乘法与除法 内容导航——预习三步曲 第一步：主动学 析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习 讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法 练考点 强知识：四大核心考点八种常考题型精准练 第二步：用心记 串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系 第三步：限时测 过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点 知识点1：有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2. 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来： 如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 3. 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等， 即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 4. 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 知识点2：倒数的概念 倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点3：有理数的除法法则 有理数除法法则： （1）法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 （2）法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点4：有理数的乘除混合运算 1.由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 2.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 教材习题第47页练习第1（3）题 计算： 解题方法指导 解法一：利用乘法分配率计算； 解法二：先计算括号内的，直接通分计算。 【分析】 解法一：利用乘法分配率计算； 点拨：乘法分配率看似简单，其实书写过程较多，符号较多容易弄错。 解法二：先计算括号内的，直接通分计算 点拨：使用分配率计算，书写过程较少，适合对通分比较熟悉的同学使用。 教材习题第51页练习第2题第（3）题 计算： 解题方法指导 1.严格按照混合运算的运算顺序计算； 2.不能随意约分； 【分析】错误解法提醒 正确解法： 题型1 根据有理数乘法法则计算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则求解即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘法运算法则求解即可； （4）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换． （1）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （3）根据0乘以任何数都是0，即可求解； （4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 4．计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解题的关键． (1)根据两数相乘，异号得负，先确定符号，再把绝对值相乘即可； （2）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可； （3）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】利用有理数的乘法法则，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键； （1）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解； （2）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解； （3）根据有理数的乘法法则，任何数与相乘都得，计算即可求解； （4）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 题型2 利用乘法运算律简便计算 1．计算：． 【答案】14 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】原式 ． 2．下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 【答案】(1)①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律简便运算是解答的关键． （1）①利用乘法分配律可得答案；②根据有理数的乘法运算法则判断即可； （2）根据乘法分配律和有理数的乘法和加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：①在所给运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误， 故答案为：①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误； （2）解： ． 3．计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可； （2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2025 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的乘法运算律： （1）仿照第一位同学的解法解答； （2）仿照第二位同学的解法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 5．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式． 计算： 解：原式＝… (1)直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果； (2)请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律即可求得答案； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得遮盖的算式为：， 则； （2）解：原式 ． 题型3 根据有理数除法法则计算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数除法运算法则，是解题的关键． （1）先变除法为乘法，然后进行计算即可； （2）先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键． （1）将除法化为乘法，再计算即可； （2）根据0除任何数都等于0，计算即可； （3）根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】（1） ． （2）． （3） ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）按照除法运算法则计算； （2）按照除法运算法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．计算： (1)； (2)； (3)；(4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)36 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； （3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算．根据有理数的除法运算法则，先确定结果符号，再计算数值． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型4 有理数的乘除混合运算 1．计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题的关键是将带分数化为假分数，再根据有理数乘除法运算法则，从左到右依次进行计算． 将带分数化为假分数，按照从左到右的顺序进行乘除运算． 【详解】解：原式 ． 2．计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法混合计算，先计算乘法，再计算除法即可得到答案． 【详解】解： ． 3．计算． (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法法则． （1）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． （2）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 4．计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解：原式． 5．下面是小虎同学的计算； ＝……第①步 ＝……第②步 ＝……第③步 (1)请指出第 步错误 (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)正确过程见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算： （1）同级运算，从左到右依次运算，故第①步出现错误； （2）除法变乘法，约分化简进行计算即可． 【详解】（1）解：同级运算，从左到右依次运算，故第①步出现错误； 故答案为：① （2）解： ． 题型5 有理数运算的规律探究问题 1．（1）观察图1中的规律，求出图2中各字母的值； （2）求图2比图1中6个数的平均数大多少？ 【答案】（1），，；（2） 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则运算的应用，掌握有理数的运算法则是关键． （1）由，，，再总结可得规律即可确定字母的值； （2）根据（1）中规律可得：，，，再进一步计算即可． 【详解】解：（1）根据表格可知，， ， ， 图1中的规律为：两肩上的数字和等于头的数字； 根据规律补可得： ， ， ， （2）图2的6个数的平均数为：， 图1的6个数的平均数为：， ， 图2比图1中6个数的平均数大． 2．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 3．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 【答案】(1) (2)①306；②468． 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可； （2）利用得出的规律计算各式即可． 【详解】（1）解：第⑤个等式：； 故答案为：； （2）解：①； ② ． 【点睛】本题主要考查了对数字变化规律的考查，有理数的乘法，熟练掌握运算规律是解此题的关键． 4．计算．联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立（a，b是有理数，）？从它们可以总结什么规律？ （1）；    （2）． 【答案】见解析． 【知识点】有理数的除法运算 【分析】先计算前面除法的结果，根据结果判断（1）（2），并总结规律． 【详解】， ， （1）（2）中的式子都成立由此可以总结出：分子，分母以及分数这三者中的符号，改变其中两个，分数的值不变． 【点睛】本题考查了有理数的除法，根据前面的算式总结出规律，是解决本题的关键． 5．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式： ； (2)用含有的式子表示第个等式： （为正整数）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数乘法运算律 【分析】（1）根据上述等式，找出规律，根据规律，即可求出第五个等式； （2）根据（1）得到的规律，即可； （3）根据（1）得到的等式规律，得到，，，，然后根据有理数的加法运算法则，计算，即可． 【详解】（1）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ∴第个等式： ∴第五个等式为： ∴． （2）由（1）得，第个等式： ∴． （3）∵ …… ∴ ． 题型6 有理数的新定义问题 1．定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 2．已知x，y为有理数，规定一种新的运算，． (1)求的值； (2)求的值； (3)任意选取两个有理数(至少有一个为负数)分别填入与的与内，并比较两个运算结果，你能发现什么规律？ (4)设a，b，c为有理数，讨论与的关系，并用式子把它表示出来． 【答案】(1)9 (2)1 (3)见解析 (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键． (1) 利用新定义进行运算即可； (2) 利用新定义先运算小括号内的再进行运算即可； (3) 按要求选择两个数，依据新定义运算，最后比较两个结果即可； (4) 分别利用新定义计算两个算式，通过比较结果即可得出结论． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． （3）解：如：选5和．(答案不唯一) ， ， 发现运算结果相等，即． （4）解：， ， 所以． 3．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算；” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；； ；；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ①______；②______； (2)______；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)若，计算：的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算： （1）（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加； （2）根据（加乘）运算的法则计算即可； （3）可知，，原式，进而即可求解． 【详解】（1）根据题意可知，（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加． ， 故答案为：， （2） 原式 故答案为： （3）根据题意可知，，即 ， 原式 4．阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (3)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？例如：所以故加法的交换律仍然适用． 那么加法的结合律在*（加乘）运算中是否适用 （填“适用”或“不适用”） 【答案】(1)；；5 (2)同号为正，异号为负，并把绝对值相加；结果是这个数的绝对值 (3)不适用 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】（1）参照示例，运算求解； （2）根据示例，分符号和绝对值两部分总结法则； （3）根据运算，举例验证说明． 【详解】（1）解：；；． （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号为正，异号为负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，结果是这个数的绝对值； （3）解：不适用，举例说明：如 ， ∴ ∴加法的结合律在*（加乘）运算中不适用． 【点睛】本题考查有理数的运算，新定义运算；转化思想是解决问题的关键． 5．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)计算： ① ② (2)归纳*运算的法则（文字语言或符号语言均可）：两数进行*运算时，_____________；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，___________． (3)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； (3)1或5 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】（1）根据示例，参照求解； （2）根据示例，参照有理数乘法法则归纳； （3）由题知，与异号，，得或，求得参数值，代入代数式求值． 【详解】（1） 解：①； ②； （2）解：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （3）解：∵， ∴与异号， ． ∵m，n是整数， ∴或． ∴或． ∴或． 【点睛】本题考查有理数的运算，新定义运算；理解新定义是解题的关键． 题型7 有理数乘法的实际应用 1．出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【答案】(1)4千米 (2)6 (3)升 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用 【分析】此题考查了正负数的实际应用，有理数的运算的实际应用，解题的关键是正确列式． （1）将出租车当天行驶的记录相加即可求解； （2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站求解即可； （3）首先求出行驶的总路程，然后乘以1千米耗油量即可求解． 【详解】（1）（千米） ∴说明出租车离A市多远4千米； （2）∵出租车从A市出发前往B市，规定向北行驶为正 ∴向南行驶为负 ∴由可得，当出租车向南行驶8千米时，第一次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边1千米，故第二次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边10千米，故第三次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边4千米，故第四次经过加油站； ∴此时离A市南边17千米，故第五次经过加油站； ∴此时离A市南边4千米，故第六次经过加油站； 综上所述，出租车经过加油站6次； （3） （升） ∴该出租车一天共耗油升． 2．嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”． (1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少． (2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果执行扣分（每超过扣1分，每不足扣3分）． ①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分？ ②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果． 【答案】(1) (2)①14分；②有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）由题意得到，即可得到答案； （2）①根据题意列出计算式进行计算即可； ②原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分，即可得到答案． 【详解】（1）解：． 故最大块的边长比最小块多． （2）解：① （分）； ②解：原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分， 有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板． 3．小明开车从家出发，在东西走向的道路上行驶，规定向东为正，向西为负，从出发到停车，行驶的路程记录如下（单位：千米）； ，，，，，． (1)停车时，小明在家的哪边？距离多远？ (2)汽车在行驶过程中，若每行驶千米耗油0.1升，则汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)东边，9千米 (2)升． 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查数轴与正数，负数的知识，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算． （1）利用有理数的加法即可得解； （2）先求出小明开车的总过程，把这些行驶的路程的绝对值相加，再利用有理数的乘法即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得： 千米． 答：小明停车时，小明在家的东边，距离家千米． （2）解：千米， 升， 答：汽车共耗油升． 4．某出租车一天下午某时间段以广场为出发点，在东西方向的大道上营运，规定向东为正，向西为负，单次行车里程依先后顺序记录如下：，，，，，，，单位： (1)该出租车司机将最后一名乘客送到目的地后，出租车在广场的什么方向？距广场多远？ (2)若每千米耗油升，该出租车这个时间段共耗油多少升？ 【答案】(1)东面，； (2)升． 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查正负数，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，需要注意第二问中的总路程是所有路程的绝对值的和 （1）把一天走的路程相加，再根据有理数加减混合运算的法则计算，若计算结果是正数，则是在广场向东；若是负数，则是在广场向西；等于0，则是回到广场； （2）求出这一组数据的绝对值的和，再乘每千米耗油量即可． 【详解】（1）解： ． 答：出租车在广场的东面，距广场； （2） 升， 答：该出租车这个时间段共耗油升． 5．股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)周三收盘时股价为元 (2)本周内最高股价是每股元，最低价是每股元 (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及正负数表示一对具有相反意义的量，解题关键在于认真的阅读题目，分析题意，认真的进行计算． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （3）分别求出卖出时的受益，买进的费用即可解决问题； 【详解】（1）解：周三收盘时股价为： (元)． 答：周三收盘时股价为元； （2）解：周一股价为：(元)； 周二股价为：(元)； 周三股价为：(元)； 周四股价为：(元)∶ 周五股价为：(元)； 答：本周内最高股价是每股元，最低价是每股元； （3）解：根据题意得∶（元） 答：如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元． 题型8 有理数乘法除法的实际应用 1．乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数除法的应用 【分析】此题考查了正数和负数的意义，解题的关键是理解正和负的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据绝对值的定义即可得到结论； （3）根据误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品分别占总数的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：其中偏差最大的乒乓球的直径是； （2）解：∵，，，，，，，，，中绝对值最小的是， ∴抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是； （3）解：∵，，，，，，，，，， 误差在“”以内的球可以作为合格产品， ∴合格的有，，，，，，， 这些球的合格率是； ∵误差在“”以内的球可以作为良好产品， ∴良好产品有，，，，， ∴良好率为； 2．近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 【答案】(1)万辆 (2) 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键． （1）先求出这七个月高于（或低于）10万的标准所销售的数量，再加上七个月按标准销售的数量，即可求解； （2）求出的电量的里程即可． 【详解】（1）解： （万辆）． 答：该汽车生产厂家这七个月一共销售了万辆新能源汽车． （2）解： ． 答：该汽车充电前还能行驶． 3．小明是一名喜欢跳绳的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次跳绳测试一分钟都要超过180个．以180个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负，下表是他测试六次的成绩： 测试次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 成绩（个） 0 (1)在这六次跳绳测试中，小明的最高成绩比最低成绩高多少个？ (2)请你帮小明算一算，他这六次跳绳测试的平均成绩是多少个？ 【答案】(1)小明的最高成绩比最低成绩高18个 (2)他这六次跳绳的平均成绩是183个 【知识点】正负数的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：由表格知，小明六次测试成绩的最大值为，最小值为， ∴（个）， ∴小明的最高成绩比最低成绩高18个； （2）解：（个）， ∴他这六次跳绳的平均成绩是183个． 4．某地的气象观测资料表明，高度每增加，气温大约下降，该地地面温度为． (1)求距地面高度处的温度； (2)若高空某处气温为，求此处距地面的高度． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际运用，解题的关键是求出温度差； （1）根据高度每增加，气温大约下降，列式计算，即可解题； （2）根据题意得到温度差，再除以，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 答：此高空比地面高． 5．某次数学演讲比赛中，某选手得分情况如下：90、85、89、92、80、88、87、93．要想计算出平均分，可以直接把8个数相加，再用和除以8．小明在学习了正负数以后，提出以下方法：若以90分为标准，超出部分记为正，低于部分记为负，那么这位选手的得分是：0、、、、、、、．请帮助小明继续完成计算． 【答案】88分 【知识点】有理数除法的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（分）， 即这位选手的得分是88分． 知识导图记忆 知识目标复核 1．掌握有理数乘法法则即多个有理数相乘的符号法则； 2．掌握有理数乘法的运算律，并能灵活运用运算律简化运算； 3．掌握有理数除法法则； 4. 能熟练地进行有理数的乘除混合运算； 一、选择题 1．下面算式错误的是（　　） A． B． C． D． 2．计算：（　　） A． B． C． D． 3．已知有理数a，b在数轴上表示的点如右下图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 5．在篮球比赛中，如果甲队进5个三分球，记作分，那么甲队失2个三分球记作（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 6．如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 7．下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 8．计算的结果等于（   ） A．75 B．10 C． D． 9．计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 10．规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算： . 12．乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 13．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 14．若，那么□中填入正确的数是 ． 15．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 16． ． 17．用“”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定，如，则的值是 ． 18．定义新运算：，计算 ． 19．规定图形表示运算，图形表示运算，则= ．（直接写出答案） 20．已知有理数、满足，则 ． 三、解答题 21．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 22．计算： (1)； (2) 23．下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 24．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘法与除法 内容导航——预习三步曲 第一步：主动学 析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习 讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法 练考点 强知识：四大核心考点八种常考题型精准练 第二步：用心记 串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系 第三步：限时测 过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点 知识点1：有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2. 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来： 如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 3. 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等， 即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 4. 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 知识点2：倒数的概念 倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点3：有理数的除法法则 有理数除法法则： （1）法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 （2）法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点4：有理数的乘除混合运算 1.由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 2.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 教材习题第47页练习第1（3）题 计算： 解题方法指导 解法一：利用乘法分配率计算； 解法二：先计算括号内的，直接通分计算。 【分析】 解法一：利用乘法分配率计算； 点拨：乘法分配率看似简单，其实书写过程较多，符号较多容易弄错。 解法二：先计算括号内的，直接通分计算 点拨：使用分配率计算，书写过程较少，适合对通分比较熟悉的同学使用。 教材习题第51页练习第2题第（3）题 计算： 解题方法指导 1.严格按照混合运算的运算顺序计算； 2.不能随意约分； 【分析】错误解法提醒 正确解法： 题型1 根据有理数乘法法则计算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 利用乘法运算律简便计算 1．计算：． 2．下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 3．计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 4．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 5．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式． 计算： 解：原式＝… (1)直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果； (2)请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：． 题型3 根据有理数除法法则计算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4 有理数的乘除混合运算 1． 计算： 2． 计算：． 3．计算． (1)； (2)． 4.计算：． 5．下面是小虎同学的计算； ＝……第①步 ＝……第②步 ＝……第③步 (1)请指出第 步错误 (2)写出正确的解答过程． 题型5 有理数运算的规律探究问题 1．（1）观察图1中的规律，求出图2中各字母的值； （2）求图2比图1中6个数的平均数大多少？ 2．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 3．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 4．计算．联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立（a，b是有理数，）？从它们可以总结什么规律？ （1）；    （2）． 5．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式： ； (2)用含有的式子表示第个等式： （为正整数）； (3)求的值． 题型6 有理数的新定义问题 1．定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 2．已知x，y为有理数，规定一种新的运算，． (1)求的值； (2)求的值； (3)任意选取两个有理数(至少有一个为负数)分别填入与的与内，并比较两个运算结果，你能发现什么规律？ (4)设a，b，c为有理数，讨论与的关系，并用式子把它表示出来． 3．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算；” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；； ；；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ①______；②______； (2)______；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)若，计算：的值． 4．阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (3)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？例如：所以故加法的交换律仍然适用． 那么加法的结合律在*（加乘）运算中是否适用 （填“适用”或“不适用”） 5．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)计算： ① ② (2)归纳*运算的法则（文字语言或符号语言均可）：两数进行*运算时，_____________；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，___________． (3)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 题型7 有理数乘法的实际应用 1．出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 2．嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”． (1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少． (2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果执行扣分（每超过扣1分，每不足扣3分）． ①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分？ ②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果． 3．小明开车从家出发，在东西走向的道路上行驶，规定向东为正，向西为负，从出发到停车，行驶的路程记录如下（单位：千米）； ，，，，，． (1)停车时，小明在家的哪边？距离多远？ (2)汽车在行驶过程中，若每行驶千米耗油0.1升，则汽车共耗油多少升？ 4．某出租车一天下午某时间段以广场为出发点，在东西方向的大道上营运，规定向东为正，向西为负，单次行车里程依先后顺序记录如下：，，，，，，，单位： (1)该出租车司机将最后一名乘客送到目的地后，出租车在广场的什么方向？距广场多远？ (2)若每千米耗油升，该出租车这个时间段共耗油多少升？ 5．股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 题型8 有理数乘法除法的实际应用 1．乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 2．近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 3．小明是一名喜欢跳绳的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次跳绳测试一分钟都要超过180个．以180个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负，下表是他测试六次的成绩： 测试次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 成绩（个） 0 (1)在这六次跳绳测试中，小明的最高成绩比最低成绩高多少个？ (2)请你帮小明算一算，他这六次跳绳测试的平均成绩是多少个？ 4．某地的气象观测资料表明，高度每增加，气温大约下降，该地地面温度为． (1)求距地面高度处的温度； (2)若高空某处气温为，求此处距地面的高度． 5．某次数学演讲比赛中，某选手得分情况如下：90、85、89、92、80、88、87、93．要想计算出平均分，可以直接把8个数相加，再用和除以8．小明在学习了正负数以后，提出以下方法：若以90分为标准，超出部分记为正，低于部分记为负，那么这位选手的得分是：0、、、、、、、．请帮助小明继续完成计算． 知识导图记忆 知识目标复核 1．掌握有理数乘法法则即多个有理数相乘的符号法则； 2．掌握有理数乘法的运算律，并能灵活运用运算律简化运算； 3．掌握有理数除法法则； 4. 能熟练地进行有理数的乘除混合运算； 一、选择题 1．下面算式错误的是（　　） A． B． C． D． 2．计算：（　　） A． B． C． D． 3．已知有理数a，b在数轴上表示的点如右下图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 5．在篮球比赛中，如果甲队进5个三分球，记作分，那么甲队失2个三分球记作（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 6．如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 7．下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 8．计算的结果等于（   ） A．75 B．10 C． D． 9．计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 10．规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算： . 12．乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 13．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 14．若，那么□中填入正确的数是 ． 15．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 16． ． 17．用“”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定，如，则的值是 ． 18．定义新运算：，计算 ． 19．规定图形表示运算，图形表示运算，则= ．（直接写出答案） 20．已知有理数、满足，则 ． 三、解答题 21．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 22．计算： (1)； (2) 23．下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 24．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$