第05讲 有理数的加法与减法-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第05讲 有理数的加法与减法 内容导航——预习三步曲 第一步：主动学 析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习 讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法 练考点 强知识：四大核心考点六种常考题型精准练 第二步：用心记 串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系 第三步：限时测 过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点 知识点1：有理数的加法法则 1.加法法则 加数类型 加法法则 典型范例 同号两数相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一数与0相加 一个数同0相加，仍得这个数 2.有理数加法运算的步骤： 第一步：先看两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则； 第二步：根据加法法则确定和的符号(是“+”还是“－”)． 第三步：求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减：同则加，异则减)． 知识点2：有理数的加法运算律 1.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 名师点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整，凑同号； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点3：有理数的减法法则 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 名师点拨： （1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减号变加号；二变是把减数变为它的相反数”． （2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点4：有理数的加减混合运算 做有理数的加减混合运算题目时的步骤： 1. 观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； 2. 将加减法统一成加法运算； 3. 利用加法运算法则解决问题。 教材习题第40页练习第2题 现有5筐苹果,每筐以15kg为标准,超过或不足分别用 +1.2,+2,-0.8,-1.2,+1.8. 求这5筐苹果的总质量。 解题方法指导 解法一：分别求出每框的质量，再求总质量； 解法二：每框都按15Kg算，直接求总质量，“多退少补”。 【分析】 解法一：分别求出每框的质量，再求总质量； 第1框： 第2框： 第3框： 第4框： 第5框： 总质量： 解法二：每框都按15Kg算，直接求总质量，“多退少补”。 (此处可以利用加法结合律简化计算) 教材习题第40页习题第1题第（4）题 计算： 解题方法指导 1.弄清有理数加减混合运算的步骤； 2.学会利用结合律简化计算； 【分析】 题型1 根据加法法则计算 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)(2)绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． (3)同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． 本题考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)8 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加法运算： （1）直接利用异号两数相加的运算法则计算即可； （2）直接利用异号两数相加的运算法则计算即可； （3）直接利用同号两数相加的运算法则计算即可； （4）直接利用同号两数相加的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， （3）解：； （4）解：． 3．计算： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加法法则，同号两数相加，取相同的符号，绝对值相加即可，计算即可； （2）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可；． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法法则． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】（1）利用有理数的加减混合运算法则即可求解． （2）利用有理数的加减混合运算法则即可求解． （3）利用有理数的加减混合运算法则即可求解． （4）利用有理数的加减混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 5．计算: (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】（1）根据有理数的加法可以解答本题； （2）根据有理数的加法可以解答本题； （3）根据有理数的加法可以解答本题； （4）根据有理数的加法可以解答本题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【点睛】本题考查了有理数的加法．有理数的加法法则：1.同号的两个数相加，取与加数相同的符号，并将它们的绝对值相加；2.异号两数相加，且绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两数相加得0． 题型2 利用加法运算律简便计算 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是灵活运用加法结合律、交换律进行简便运算． （1）同号的数先加，然后再加减即可； （2）同分母的分数先加减即可解决问题． 【详解】（1）解： ； （2） 2．用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，直接利用运算律把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 3．计算∶ 【答案】18 【分析】本题考查了有理数的加减法运算，掌握分数加减法的运算法则是解题的关键． 根据加法交换律和结合律，把同分母的分数先计算,再把结果相加即可． 【详解】解： ． 4．计算： 【答案】 【分析】根据有理数加法法则和运算律进行解答即可得． 【详解】解：原式= = = 【点睛】本题考查了有理数加法，解题的关键是掌握有理数加法的法则和运算律． 5．运用运算律计算： （1）； （2）． 【答案】(1)+5;(2)-17 【分析】根据加法交换律计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式． 【点睛】本题主要考查了加法交换律，熟练掌握运算规律是解题的关键. 题型3 有理数加法的实际应用 1．出租车司机小李某天营运全是在东西走向的国道上进行的，如果规定向东为正向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下： ，，，，，； (1)将最后一名乘客送达目的地时，小李距下午出发地点的距离是多少千米？在出发地什么方向？ (2)若汽车耗油量升/千米，则当天下午消耗汽油______升． 【答案】(1)千米 (2)升 【分析】本题考查了正数和负数的实际应用，解题的关键牢记有理数的加减运算法则． （1）按照正负数加法的运算规则，即可得出结论； （2）路程跟方向无关，故用绝对值相加，再乘以单位耗油量即可． 【详解】（1）解： （千米） 小李距下午出发地点的距离是千米． （2）解： （升） 这天下午汽车耗油共升． 2．某冷库天内鲜肉进、出库吨数统计如下（“＋”表示进库，“－”表示出库）：，，，，，，请通过计算说明．这天内冷库里的鲜肉增加了还是减少了？变化了多少？ 【答案】这天内冷库里的鲜肉减少了，减少了吨 【分析】利用有理数加法把天的数据相加即可得出答案； 【详解】解：（吨）， 答：这天内冷库里的鲜肉减少了，减少了吨． 【点睛】本题考查了相反意义的量，利用有理数加法进行计算是解决本题的关键． 3．现有一批水果包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重记录如下（单位：千克）：27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化计算： (1)请你选择一个恰当的基准数将它记作“0”：___________； (2)根据你选取的数，用正、负数填写下表； 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？ 【答案】(1)25（答案不唯一） (2)见解析 (3)这8筐水果的总质量是198千克 【分析】（1）选取包装质量作为基准数即可； （2）将8筐样品的质量分别减去基准数，将所得的结果填入表中即可； （3）利用基准数求和，可根据和=基准数×个数+浮动数来得出8筐水果的总重量． 【详解】（1）解：这批水果包装质量为每筐25千克， 基准数可取25； 故答案为：25； （2）解： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 2 3 1 2 （3）解： 千克， 答：这8筐水果的总质量是198千克． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法是解题关键，注意相反意义的量用正数和负数表示． 4．我市合江县先滩乡出产的香米口感香糯，包装质量为每袋千克，县粮油公司应成都某粮油公司要求抽取袋样品进行检测，称重结果如下表（单位：千克）：，，，，，，，，，． （1）为了简化运算，可选取一个恰当的基准数_________，用正、负数填写下表： 原质量 与基准数的差距 （2）根据这个表，计算这袋先滩香米的总质量． 【答案】（1）25；表格见解析；（2）247千克 【分析】（1）这组数据都在25上下波动，故可选择25为基准数，用10袋样品的质量分别减去基准数，将所得的结果填入表中即可； （2）利用基准数求和，可根据和=基准数×个数+浮动数，来得出袋先滩香米的总重量． 【详解】（1）选择25为基准数，用正、负数填表为： 原质量 与基准数的差距 -1 -2 0 1 -3 0 2 -2 -1 3 故答案为：25 （2）（千克） 答：这袋先滩香米的总质量为247千克． 【点睛】本题考查的是有理数加法的应用，选取适当的数作为基准数，并能用正、负数表示出这组数据是关键． 5．一只蚂蚁从某点出发在一直线上爬行，假设向右爬的路程记为正数，爬行的各段路程依次为（单位：cm）：+5   +10   ﹣6   ﹣3   +12   ﹣8   ﹣10 问：（1）通过计算，回答小蚂蚁最后回到出发点了吗？ （2）若在爬行过程中，它每爬行1cm就能得到一粒小米粒，则小蚂蚁可得到多少小米粒？ （3）小蚂蚁离开出发点最远是多少cm ？ 【答案】（1）小蚂蚁最后回到出发点了；（2）54；（3）18. 【分析】（1）把记录数据相加，结果为0，说明小虫最后回到出发点A； （2）小蚂蚁一共得到的米粒数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数； （3）分别计算出每次爬行后距离A点的距离． 【详解】解：（1）5+10-6-3+12-8-10=0 答：小蚂蚁最后回到出发点了； （2）小蚂蚁爬行的总路程为： 5+10+6+3 +12+8+10=54（cm） 54×1=54(粒) 答：小蚂蚁可得到54粒小米粒； （3）5+10=15，15-6=9，9-3=6，6+12=18，18-8=10，10-10=0 从上面可以看出小蚂蚁离开出发点最远时是18cm． 答：小蚂蚁离开出发点最远是18cm． 故答案为（1）小蚂蚁最后回到出发点了；（2）54；（3）18. 【点睛】本题考查正数和负数的知识，正负数是表示相反意义的量，如果规定一个量为正，则与它相反的量一定为负值． 题型4 利用有理数减法法则计算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）运用有理数的减法法则运算即可； （2）运用有理数的减法法则运算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的减运算，属于基础题，解题的关键是正确化简多重符号． （1）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可； （2）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)．(5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】(1)～(6)根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 本题考查了有理数的减法运算，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【详解】（1）解： （2）， ， （3）， ， ； （4）， ， ； （5）， ， ； （6）． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)2 (3)21 (4) (5) (6)119 【分析】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可 （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 5．计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1) (2) (3)119 【分析】本题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． （1）利用有理数减法法则运算即可； （2）利用有理数减法法则运算即可； （3）利用有理数减法法则运算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 题型5 有理数减法的实际应用 1．计算： （1）比低的温度；     （2）比低的温度． 【答案】（1）；（2） 【分析】一般地，数量关系“比…小（少、低）多少”用减法计算． 【详解】（1）2－8=2+(－8)= （2）－3－6=－3+(－6)= 【点睛】本题考查了有理数减法的应用，理解数量关系“比…小（少、低）多少”是解题关键． 2．青岛市某集团公司对所属甲、乙两分厂下半年经营情况记录（其中“＋”表示盈利，“－”表示亏损，单位；亿元）如下表： 七月份 八月份 九月份 十月份 十一月份 十二月份 甲厂 -0.2 -0.4 +0.5 0 +1.2 +1.3 乙厂 +1.0 -0.7 -1.5 +1.8 -1.8 0 （1）计算八月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？ （2）计算十一月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？ 【答案】（1）0.3亿元（2）3亿元 【分析】（1）由表格可得出乙厂八月份亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，相减即可得到结果． （2）由表格可得出乙厂十一月份亏1.8亿元，甲厂赢利1.2亿元，相减即可得到结果． 【详解】解：（1）-0.7-（-0.4）=-0.3（亿元）． 答：八月份乙厂比甲厂多亏0.3亿元． （2）-1.8-（+1.2）=-3.0 答：十一月份乙厂比甲厂多亏3亿元．． 【点睛】本题考查有理数的加减法，关键在于看懂表格的意思． 3．“十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日  期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 ＋1.4 ＋0.8 ＋0.4 －0.6 －0.2 ＋0.2 －1.6 日  期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 ＋1.4 ＋0.8 ＋0.4 －0.6 －0.2 ＋0.2 －1.6 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 （1）10月2日的游客人数是 _____万人 ． （2）这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． （3）请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 【答案】（1）3.2；（2）3，3.6；（3）19.4万人 【分析】（1）根据正负数的意义列式计算即可得解； （2）分别求出这7天的游客人数，然后解答即可； （3）将这七天游客人数相加即可． 【详解】（1）10月2日的游客人数是：1+1.4+0.8=3.2（万人）． （2）1日游客数为：1+1.4=2.4（万人）， 2日游客数为：2.4+0.8=3.2（万人）， 3日游客数为：3.2+0.4=3.6（万人）， 4日游客数为：3.6-0.6=3（万人）， 5日游客数为：3-0.2=2.8（万人）， 6日游客数为：2.8+0.2=3（万人）， 7日游客数为：3-1.6=1.4（万人）， 所以，游客人数最多的是3日，游客数为3.6万人． （3）七天游客总数：2.4+3.2+3.6+3+2.8+3+1.4=19.4（万人）． 【点睛】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 题型6 有理数的加减混合运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)4.5 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加减混合运算计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算计算即可； （4）根据有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟知有理数的加减运算法则是解题的关键．根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】解： 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减测混合运算，熟练运用加法的运算律及加减法的计算法则是正确解决本题的关键． 运用加法的交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)6 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减运算法则先去掉括号，再计算即可； （2）先去括号，再把分母相同的结合起来，最后根据加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知有理数的加减运算法则．根据有理数的加减运算法则即可求解． 【详解】 ． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查有理数的加减运算，属于基础题，解题的关键是正确化简多重符号． （1）先去括号，再按照有理数加减运算法则计算即可； （2）直接按照有理数加减运算法则计算即可； （3）先去括号，再利用加法交换律和有理数加减运算法则计算即可； （4）先去括号，再把小数化为分数，利用加法交换律和有理数加减运算法则计算即可； （5）先去括号，再把小数化为分数，利用加法交换律和有理数加减运算法则计算即可；． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ， ； （5）解：， ， ， ． 7．简便计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算法则，掌握有理数的运算律，简便计算是解题的关键．根据有理数的运算律，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 知识导图记忆 知识目标复核 1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律；感受分类讨论的数学思想的运用； 2．掌握有理数减法的法则，知道减法与加法的关系，体会其中的转化数学思想； 3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题. 一、选择题 1．下列计算结果为0的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数加减法，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键． 根据有理数加减法法则计算并判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 2．计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 3．x的相反数是2，，则（    ） A．或1 B．5或 C．1 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、已知字母的值 ，求代数式的值、相反数的定义、有理数加法运算 【分析】此题考查了代数式求值的知识，涉及了相反数及绝对值的知识，属于基础题，注意本题有两个解，不要遗漏． 先根据相反数及绝对值的知识求出和，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的相反数是， ， 故或． 故选：A． 4．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 5．若a，b，c三个有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法中的符号问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值．根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可判断a，b，c的符号，根据到原点的距离即可判断绝对值的大小，再根据有理数的加法法则即可作出判断． 【详解】解：根据数轴可知：，且，则 A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原选项错误，符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：C． 6．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 【详解】解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 7．下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查加法交换律，根据加法交换律逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形正确，符合题意； D、，原选项变形错误，不符合题意； 故选C． 8．计算的结果等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，直接根据有理数的减法计算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 9．在一次数学测验中，把高出平均分的部分记为正数，小明考了98分记作分，若小强成绩记作分，则他的考试分数为（    ） A．90分 B．88分 C．84分 D．82分 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了正数与负数，弄清题意是解题的关键．把高出平均分的成绩记为正数，小郑考了98分，记作分，由此求出平均成绩，再根据低于平均分的成绩记为负数，结合已知条件即可得出小强的考试分数． 【详解】解：由题意得，平均成绩为（分， 小强成绩记作分， 他的考试分数为（分， 故选：D． 10．某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（   ） 1月28日（除夕） 1月29日（春节） 1月30日（初二） 1月31日（初三） A．1月28日 B．1月29日 C．1月30日 D．1月31日 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，用当天的最高气温减去最低气温可求出当天的温差，据此求出四天的温差，比较即可得到答案． 【详解】解：1月28日的温差为， 1月29日的温差为， 1月30日的温差为， 1月31日的温差为， ∵， ∴1月30日的温差最大， 故选：C． 二、填空题 11．计算：（1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：，． 12．把写成省略加号和括号的形式为 ． 【答案】 【知识点】有理数加法中的符号问题、有理数的加减混合运算 【分析】把减法转化为加法，再省略加号和括号即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了加减混合运算，熟练掌握省略加号和括号的形式是解题的关键． 13．的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 14．运用加法交换律和加法结合律填空：（ ）+（ ）． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法交换律和结合律，解题的关键是掌握常见简便计算的方法与技巧．根据有理数的加法交换律和结合律求解即可． 【详解】解：， 故答案为：，． 15．在括号里填上合适的运算律． ( ) ( ) ． 【答案】 加法交换律 加法结合律 【知识点】有理数加法运算律 【分析】此题考查有理数的加法．加法交换律：在两个数的加法运算中，在从左往右计算的顺序，两个加数相加，交换加数的位置，和不变；先把前两个数相加，或者把后两个数相加，和不变，这叫做加法结合律． 【详解】解： （加法交换律） （加法结合律） ． 故答案为：加法交换律；加法结合律． 16．计算的结果是 ． 【答案】15 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的减法，根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：15． 17．一种食品包装袋上标有“质量：克”，这种食品一袋最多 克． 【答案】505 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，熟练掌握正、负数的相对性并灵活运用是解决本题的关键； 首先根据题意可得500克克，即质量最大为500克5克，最少不低于500克克； 接下来再根据整数的加减计算法则进行计算即可得到结论； 【详解】解：根据题意克，质量最大为500克5克，最少不低于500克克； 所以，这种食品一袋最多：(克)， 故答案为：505． 18．计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 19．七名同学为了测量一栋高楼的实际高度时，需要在若干个观测点，测量两个相邻可视观测点的相对高度．如为9米表示观测点A比观测点C高9米，然后用这些相对高度计算出楼的高度.下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 9米 7.5米 米 4米 米 6米 【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式计算即可． 【详解】 （米） 即是米． 故答案为：． 20．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》，如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的、分别表示一个数，则的值为 ． 【答案】或1 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加法，减法运算，熟知题意，理解“横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等”是解题关键．根据题意先得到内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为，进而求出，小圆圈上空白圆圈上数字为，从而求出或2，即可求出答案． 【详解】解：由题意得， ∴内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为， ∴⊙， ∴小圆圈上空白圆圈上数字为， ∴或2， ∴或． 故答案为：或1． 三、解答题 21．计算： (1) ； (2)． (3)， (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数减法计算法则求解即可； （3）根据有理数加减法计算法则求解即可； （4）根据有理数加减法计算法则求解即可． 【详解】（1）解；； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 22．“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【答案】(1)星期五，个； (2)小李这周一共生产了个毛绒玩具． 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】此题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算应用等知识，读懂题意是关键． （1）利用有理数比较大小即可得到小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多，利用加法即可求出个数； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多， （个）， 即最多是个； （2）（个） 答：小李这周一共生产了个毛绒玩具． 23．小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克 (2)小王第一周实际销售文具的总量是718千克 (3)小王这一周文具销售收入共3590元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六文具的销量减去周五文具的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知，实际每天销售量最多超过13千克，实际每天销售量最少低7千克， 所以（千克）， 答：小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克． （2）解：小王第一周实际销售文具的总量： （千克）， 答：小王第一周实际销售文具的总量是718千克． （3）解：小王这一周文具销售收入共： （元）， 答：小王这一周文具销售收入共3590元． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的加法与减法 内容导航——预习三步曲 第一步：主动学 析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习 讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法 练考点 强知识：四大核心考点六种常考题型精准练 第二步：用心记 串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系 第三步：限时测 过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点 知识点1：有理数的加法法则 1.加法法则 加数类型 加法法则 典型范例 同号两数相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一数与0相加 一个数同0相加，仍得这个数 2.有理数加法运算的步骤： 第一步：先看两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则； 第二步：根据加法法则确定和的符号(是“+”还是“－”)． 第三步：求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减：同则加，异则减)． 知识点2：有理数的加法运算律 1.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 名师点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整，凑同号； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点3：有理数的减法法则 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 名师点拨： （1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减号变加号；二变是把减数变为它的相反数”． （2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点4：有理数的加减混合运算 做有理数的加减混合运算题目时的步骤： 1. 观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； 2. 将加减法统一成加法运算； 3. 利用加法运算法则解决问题。 教材习题第40页练习第2题 现有5筐苹果,每筐以15kg为标准,超过或不足分别用 +1.2,+2,-0.8,-1.2,+1.8. 求这5筐苹果的总质量。 解题方法指导 解法一：分别求出每框的质量，再求总质量； 解法二：每框都按15Kg算，直接求总质量，“多退少补”。 【分析】 解法一：分别求出每框的质量，再求总质量； 第1框： 第2框： 第3框： 第4框： 第5框： 总质量： 解法二：每框都按15Kg算，直接求总质量，“多退少补”。 (此处可以利用加法结合律简化计算) 教材习题第40页习题第1题第（4）题 计算： 解题方法指导 1.弄清有理数加减混合运算的步骤； 2.学会利用结合律简化计算； 【分析】 题型1 根据加法法则计算 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算: (1)； (2)； (3)； (4). 题型2 利用加法运算律简便计算 1．计算： (1) (2) 2．用简便方法计算： 3．计算∶ 4．计算： 5．运用运算律计算： （1）； （2）． 题型3 有理数加法的实际应用 1．出租车司机小李某天营运全是在东西走向的国道上进行的，如果规定向东为正向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下： ，，，，，； (1)将最后一名乘客送达目的地时，小李距下午出发地点的距离是多少千米？在出发地什么方向？ (2)若汽车耗油量升/千米，则当天下午消耗汽油______升． 2．某冷库天内鲜肉进、出库吨数统计如下（“＋”表示进库，“－”表示出库）：，，，，，，请通过计算说明．这天内冷库里的鲜肉增加了还是减少了？变化了多少？ 3．现有一批水果包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重记录如下（单位：千克）：27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化计算： (1)请你选择一个恰当的基准数将它记作“0”：___________； (2)根据你选取的数，用正、负数填写下表； 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？ 4．我市合江县先滩乡出产的香米口感香糯，包装质量为每袋千克，县粮油公司应成都某粮油公司要求抽取袋样品进行检测，称重结果如下表（单位：千克）：，，，，，，，，，． （1）为了简化运算，可选取一个恰当的基准数_________，用正、负数填写下表： 原质量 与基准数的差距 （2）根据这个表，计算这袋先滩香米的总质量． 5．一只蚂蚁从某点出发在一直线上爬行，假设向右爬的路程记为正数，爬行的各段路程依次为（单位：cm）：+5   +10   ﹣6   ﹣3   +12   ﹣8   ﹣10 问：（1）通过计算，回答小蚂蚁最后回到出发点了吗？ （2）若在爬行过程中，它每爬行1cm就能得到一粒小米粒，则小蚂蚁可得到多少小米粒？ （3）小蚂蚁离开出发点最远是多少cm ？ 题型4 利用有理数减法法则计算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5) (6)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 题型5 有理数减法的实际应用 1．计算： （1）比低的温度；     （2）比低的温度． 2．青岛市某集团公司对所属甲、乙两分厂下半年经营情况记录（其中“＋”表示盈利，“－”表示亏损，单位；亿元）如下表： 七月份 八月份 九月份 十月份 十一月份 十二月份 甲厂 -0.2 -0.4 +0.5 0 +1.2 +1.3 乙厂 +1.0 -0.7 -1.5 +1.8 -1.8 0 （1）计算八月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？ （2）计算十一月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？ 3．“十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日  期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 ＋1.4 ＋0.8 ＋0.4 －0.6 －0.2 ＋0.2 －1.6 日  期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 ＋1.4 ＋0.8 ＋0.4 －0.6 －0.2 ＋0.2 －1.6 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 （1）10月2日的游客人数是 _____万人 ． （2）这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． （3）请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 题型6 有理数的加减混合运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算：． 3．计算： 4．计算： (1)； (2)． 5．计算： 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 7．简便计算： (1)； (2)； (3)． 知识导图记忆 知识目标复核 1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律；感受分类讨论的数学思想的运用； 2．掌握有理数减法的法则，知道减法与加法的关系，体会其中的转化数学思想； 3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题. 一、选择题 1．下列计算结果为0的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 3．x的相反数是2，，则（    ） A．或1 B．5或 C．1 D． 4．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 5．若a，b，c三个有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 7．下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．计算的结果等于（   ） A．3 B． C．2 D． 9．在一次数学测验中，把高出平均分的部分记为正数，小明考了98分记作分，若小强成绩记作分，则他的考试分数为（    ） A．90分 B．88分 C．84分 D．82分 10．某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（   ） 1月28日（除夕） 1月29日（春节） 1月30日（初二） 1月31日（初三） A．1月28日 B．1月29日 C．1月30日 D．1月31日 二、填空题 11．计算：（1） ； （2） ． 12．把写成省略加号和括号的形式为 ． 13．的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 14．运用加法交换律和加法结合律填空：（ ）+（ ）． 15．在括号里填上合适的运算律． ( ) ( ) ． 16．计算的结果是 ． 17．一种食品包装袋上标有“质量：克”，这种食品一袋最多 克． 18．计算： 19．七名同学为了测量一栋高楼的实际高度时，需要在若干个观测点，测量两个相邻可视观测点的相对高度．如为9米表示观测点A比观测点C高9米，然后用这些相对高度计算出楼的高度.下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 9米 7.5米 米 4米 米 6米 20．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》，如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的、分别表示一个数，则的值为 ． 三、解答题 21．计算： (1) ； (2)． (3)， (4) 22．“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 23．小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$