第01讲 数学与我们同行-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第01讲 数学与我们同行 内容导航——预习三步曲 第一步：主动学 析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习 讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法 练考点 强知识：4大核心考点精准练 第二步：用心记 串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系 第三步：限时测 过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点 知识点1：生活 观察 1．什么是数学 数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。 2．图形与生活 生活中充满了图形，各式各样的图形不仅起到美化生活的作用，而且包含着很多信息和数学知识；生活中的图形一般有基本的几何图形构成.不同的图形具有不同的意义，起到不同的作用。 生活中各种神奇的几何图形： 饮 食 服 饰 房 屋 交 通 正四面体的粽子 各种形状的服饰图案 不同形状不同功能 正八边形的停车让行 五角星形的杨桃 不同纹理的抱枕 四边形不稳定性的妙用 三角形的稳定性妙用 3. 数字与生活 生活中离不开数字，数字是我们表达和交流的重要工具。 例如：身份证号码、学籍号、高铁票等等； 示 例 1 430512 19890813 136 7 省市县 出生日期 顺序码 校验码 示 例 2 P077722:左上角的红色数字代表出售窗口代码 C6565:表示车次 2019年08月25日10:42：火车的发车日期和时间 61.0元：车票的价格 03车03C：表示车上对应的座位 A4A5:表示候车室 数字，图形是我们生活的重要组成部分，要学会从数字和图形中获取有用信息。 4.数学与文化 学习数学的相关知识之前，了解其背后相关的数学文化是非常有必要的，可以帮助我们更好地学习数学这门学科，培养我们对数学的兴趣，提高我们的数学文化素养。 例如： 我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产.是三阶幻方的一种表示形式。 学会利用好网络，快速查找自己需要的学习数学的资料，提高自己学习数学的效率。 知识点2：活动 思考 1.动手操作 动手操作，是数学学习的一种非常重要方法。通过动手操作，培养创新能力和实践能力，数学中的动手操作主要包括：折叠，裁剪，拼图，绘图等活动。 2.运算推理 动手操作的目的是为了发现问题背后隐藏的规律，但是，只有操作是不够的。数学学习还需要运算，分析和推理证明的，只有这样，才能找到背后隐藏的数学规律，找到规律所在，才能真正地解决问题，使数学更好地为我们的生活服务。 3.分析问题 分析一个数学问题，可以从两个方面入手，一是从数与式的角度，找出背后隐藏的规律，二是从图与形的角度，找出各种图形之间的关系，从而解决问题。 知识点3：交流 表达 1.借助几何图形表达数学规律 表达一个数学规律，通常有几种方式：语言叙述法、图形图象表示法、表格表示法、数学式子表示法。 语言叙述法：就是用自己的语言去概括； 图形图象表示法：数学规律通过几何图形间的关系反应出来； 例如： 如图，先画一个等边三角形，然后连接三条边的中点得到4个相同的三角形，将中间的三角形涂色，再对其余三个三角形进行同样的操作。 图2 图3 表达图2，图3中的数学规律，可以采用以下几种方式： 语言叙述法：图2中绿色三角形的面积是大三角形面积的 图形表示法：见上图； 数学表达式法： 2.借助表格表达数学规律 表达有关变化的规律可以借助表格列举的方法，例如：室温下开水温度随时间变化的规律 时间/分钟 0 5 10 15 25 温度/℃ 98 71 55 45 35 时间/分钟 35 45 55 65 70 温度/℃ 28 24 22 22 22 3．借助图像表达数学规律 活动二中关于室温下开水温度随时间变化的规律，也可以借助图象表达这一规律。 4.借助数学式子表达数学规律 表达一个量随着另一个量的变化规律，常常用一个数学式子表示更方便，例如按照下图所示的方式用火柴棒搭正方形。 火柴棒根数和正方形个数之间的关系可以借助一个数学式子表示，设正方形的个数为n, 需要火柴棒的根数为s,则： 这个数学等式就清晰地反映了火柴根数与所搭正方形个数之间的关系。 借助数学式子（等式、不等式）可以简洁地反应几个研究对象之间的规律。 教材习题第05页练习第2题 学校打算用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔。怎样围可使小兔的活动范围尽可能大？ 解题方法指导 方法一：尝试用16厘米长的细绳围成长方形，度量其长和宽，计算其面积，进行比较，发现其规律； 方法二：列表，让长和宽取不同值，直接计算其面积，发现规律； 长 7 6 5 4 3 2 1 宽 面积 方法三：借助几何画板尝试。 【分析】 列表，让长和宽取不同值，直接计算其面积，发现规律；（为了计算方便，可以取整数） 长 7 6 5 4 3 2 1 宽 1 2 3 4 5 6 7 面积 7 12 15 16 15 12 7 从以上列表计算可以发现，当围成的篱笆变成正方形时，面积最大，小兔的活动范围最大。 要获得更精确的数据，可以让长和宽取小数或分数，可以发现同样的规律。 教材习题第09页练习题 按照下图所示的方式用火柴棒搭正方形。 （1） 完成下表： 正方形个数 1 2 3 4 5 火柴棒根数 （2） 探究火柴棒根数与正方形个数之间的关系，表达这个关系并与同学交流。 解题方法指导 1.选择合适的表达方式； 2.语言叙述法； 3.表格表示法；（填表） 4.数学式子表示法；（找到两者之间关系） 比较各种方式的优缺点。 【分析】 正方形个数 1 2 3 4 5 …… 火柴棒根数 4 7 10 13 16 …… 根据表格中的规律，可以用数学式子表示：（m表示火柴根数，n表示正方形个数） 题型一：寻找图形中的规律 1．如图，图1中小黑点的个数记为，图2中小黑点的个数记为，图3中小黑点的个数记为，… 根据以上图中的规律完成下列问题： (1)图5中小黑点的个数记为，则__________； (2)图中小黑点的个数记为，则___________（用含的式子表示）； (3)若第个图形中小黑点的个数比它前一个图形中小黑点的个数多2023，则的值是多少？ 2．如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 3．下列图案是某大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，求： (1)第1个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第2个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第3个图中所贴剪纸“”的个数为 个； (2)第n个图中所贴剪纸“”的个数为 个； (3)如果所贴剪纸“”的个数为2024个时，那么它是第几个图？ 4．如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“●”的个数是________． (2)请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数． (3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 5．如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”． (1)按照此规律继续摆下去，第7个“小屋子”中图形“”的个数为______个，“”的个数为______个； (2)按照此规律继续摆下去，第几个“小屋子”中图形“”的个数是图形“”的个数的4倍？ 题型二：探究数字间的规律 1．观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 2．某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数相同，个位上的数的和等于10，那么这两个数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… (1)探索以上算式规律，请写出___________=___________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，个位上的数字都是5，请证明等式是成立的； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，其中一个数的个位上的数字是b，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并证明这个规律． 3．观察下列各式：①；②；③；④；… (1)根据上述规律写出第⑤个等式：______； (2)请写出第个等式（用含的式子表示）； 4．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式； (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式； (3)请利用上述规律计算：． 5．解答题． 观察下列各式： … (1)按照上面的规律请写出个等式． (2)利用上面的结论计算 (3)请结合长方形的面积公式，利用面积的不同计算方式，解释（1）的合理性．如需画图请先用铅笔作图，确定后再用黑色碳素笔描绘清楚． 题型三：月历中隐藏的数学规律 1．如图是某月的日历． （1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？ （2）不改变方框的大小如果将带阴影的方程移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立． 活学活用： 小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题： （3）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？ （4）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由． 2．如图是某月的月历．   (1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系？ (2)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，设中间数为a，这五个数还有这种规律吗？若有请证明，若没有请说明理由． 3．如图1是2020年11月的日历，请据图回答下列问题： （1）如图1，如果本周六对应日期用（，且为整数）表示，那么本周五对应日期可以表示为 ；下周六对应日期可以表示为 ； （2）如图2，阴影部分表示的5天中最中间一天的日期用表示，5天之和用表示，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）小明的爸爸每月18日值班，根据图1可以推算出12月18日是星期 ． 4．日历是一份来自时间的礼物，它让生活有迹可循，同时提醒我们要珍惜时间，不负韶华．如图是年月份的日历，小颖用一个“”形框选中了个数． (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系； (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数，（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由． 5．如图1，在某月的月历中，用一个“”形框出5个数． (1)图1中所框出的5个数中最大数与最小数的差为____，所框出的5个数的和为____． (2)若在图2中用一个“”形框任意框出5个数，设这5个数中最小的数为a．则： ①请在右边的“”形框中，用含a的代数式表示其它各数，然后求出这5个数的和为多少？（用含a的代数式表示） ②若，则框出的5个数中最大的数为多少？框出的5个数的和为多少？ 题型四：火柴棒中的数学知识 1．综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 2．用火柴棒按图中的方式摆图形： 按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 5 9 13 (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数． 3．火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．下面是小明同学利用火柴按照一定的规律拼摆的一组图形： (1)填写下面的表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 ... 三角形的个数 1 2 3 ... 正方形的个数 3 5 ... 火柴棒总根数 12 20 ... (2)按此规律拼摆的第个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总很数是_____；（用含n的代数式表示） (3)按这种方法拼摆出的第100个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总根数是_____． 4．按下图的方式，用火柴棒搭“小鱼”． (1)搭1条、2条、3条“小鱼”各用多少根火柴棒？ (2)按同样方式，搭20条“小鱼”要用多少根火柴棒？ (3)如果用n表示所搭“小鱼”的条数，那么搭n条这样的“小鱼”需要多少根火柴棒？ 5．如图，用火柴棒按下图中的方式搭几何图形． (1)按照这种方式搭下去，第④个图形需要______根火柴棒； (2)按照这种方式搭下去，第2025个图形需要多少根火柴棒？ 知识导图记忆 知识目标复核 1．数学的意义：数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。 2．数学对生活的作用：衣食住行等方面。 3．学习数学的方法：观察、操作、交流、表达。 4．数学规律的表示方法：语言叙述法、图形图象表示法、表格表示法、数学式子表示法。 一、选择题 1．一个小正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，将它按如图所示的方式顺时针滚动，每滚动算一次，则滚动第2025次时，小正方体朝下一面标有的数字是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．计算：，，，，，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 4．如图1，八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻（yáo），“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦之中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示．十进制的有理数“3”可以用图2中八卦符号表示的是（   ） A．B． C． D． 5．二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生、请判断下列选项中表示9班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 6．将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第1个图形有5朵梅花，第2个图形有8朵梅花，第3个图形有13朵梅花，⋯，按此规律，则第6个图形中共有梅花的朵数是（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 7．观察下列图形（     ） 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形中的个数有（    ） A． B． C． D． 8．如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 9．小明在某月的日历上圈出相邻的三个数，算出这三个数的和是78，则这三个数的排列方式一定不可能是 A． B． C． D． 10．在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中正确的一个是（　　） A．28 B．34 C．45 D．75 二、填空题 11．用长度相同的火柴棒按如图所示的方式摆图形，其中第（1）个图形用了6根火柴棒，第（2）个图形用了11根火柴棒，第（3）个图形用了16根火柴棒，按照这样的规律继续摆下去，第10个图形需要 根火柴棒． 12．如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”分别用了8根、14根、20根火柴……，则要搭17条“金鱼”需要的火柴数为 根． 13．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案中有两个正方形，第2个图案中有4个正方形，…，依此规律，第15个图案中有 个正方形． 14．计算的结果的末位数字是 ． 15．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行最中间的数字是 ． 三、解答题 16．某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数相同，个位上的数的和等于10，那么这两个数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… (1)探索以上算式规律，请写出___________=___________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，个位上的数字都是5，请证明等式是成立的； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，其中一个数的个位上的数字是b，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并证明这个规律． 17．在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空：①；②． (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，则的取值范围为_______，则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边=右边，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 18．用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 6 11 16 按上述信息填空： (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示）； (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 19．用火柴棒按如图所示的规律排列成一串图形： (1)第4个图形中有几根火柴棒？第5个呢？第个呢？ (2)小梧发现：按照这种方式搭图形会产生若干个六边形，若使用1603根火柴搭图形，则图中会产生多少个六边形？ 20．下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 21．阅读下列材料，解决相应问题． “有形数”如图1，四个图形中点的个数可以类比正方形的面积公式计算，即，其中是正方形边上的点的个数，称为正方形数．   图2是边上有5个点的三角形，如图3，创新小组在图2的基础上增加一个相同的三角形，连接相应线段形成一个平行四边形．将求三角形数转化为求平行四边形数．计算过程如下：已知两个三角形组合成的平行四边形的底为个点，高（行数）为5，所以该平行四边形数为底高，则该三角形数．   总结：边上有5个点的三角形数． (1)参照材料中“总结”的格式，计算边上有100个点的三角形数：____________． (2)边上有个点的三角形数______． (3)仿照上述的“计算过程”求图4中三角形的点的个数． 22．用黑色、白色棋子摆成图中的正方形，观察各个图形和对应表达式的变化规律： (1)写出第4个图形对应的表达式； (2)写出第个图形对应的表达式； (3)利用上面发现的规律计算：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数学与我们同行 内容导航——预习三步曲 第一步：主动学 析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习 讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法 练考点 强知识：4大核心考点精准练 第二步：用心记 串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系 第三步：限时测 过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点 知识点1：生活 观察 1．什么是数学 数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。 2．图形与生活 生活中充满了图形，各式各样的图形不仅起到美化生活的作用，而且包含着很多信息和数学知识；生活中的图形一般有基本的几何图形构成.不同的图形具有不同的意义，起到不同的作用。 生活中各种神奇的几何图形： 饮 食 服 饰 房 屋 交 通 正四面体的粽子 各种形状的服饰图案 不同形状不同功能 正八边形的停车让行 五角星形的杨桃 不同纹理的抱枕 四边形不稳定性的妙用 三角形的稳定性妙用 3. 数字与生活 生活中离不开数字，数字是我们表达和交流的重要工具。 例如：身份证号码、学籍号、高铁票等等； 示 例 1 430512 19890813 136 7 省市县 出生日期 顺序码 校验码 示 例 2 P077722:左上角的红色数字代表出售窗口代码 C6565:表示车次 2019年08月25日10:42：火车的发车日期和时间 61.0元：车票的价格 03车03C：表示车上对应的座位 A4A5:表示候车室 数字，图形是我们生活的重要组成部分，要学会从数字和图形中获取有用信息。 4.数学与文化 学习数学的相关知识之前，了解其背后相关的数学文化是非常有必要的，可以帮助我们更好地学习数学这门学科，培养我们对数学的兴趣，提高我们的数学文化素养。 例如： 我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产.是三阶幻方的一种表示形式。 学会利用好网络，快速查找自己需要的学习数学的资料，提高自己学习数学的效率。 知识点2：活动 思考 1.动手操作 动手操作，是数学学习的一种非常重要方法。通过动手操作，培养创新能力和实践能力，数学中的动手操作主要包括：折叠，裁剪，拼图，绘图等活动。 2.运算推理 动手操作的目的是为了发现问题背后隐藏的规律，但是，只有操作是不够的。数学学习还需要运算，分析和推理证明的，只有这样，才能找到背后隐藏的数学规律，找到规律所在，才能真正地解决问题，使数学更好地为我们的生活服务。 3.分析问题 分析一个数学问题，可以从两个方面入手，一是从数与式的角度，找出背后隐藏的规律，二是从图与形的角度，找出各种图形之间的关系，从而解决问题。 知识点3：交流 表达 1.借助几何图形表达数学规律 表达一个数学规律，通常有几种方式：语言叙述法、图形图象表示法、表格表示法、数学式子表示法。 语言叙述法：就是用自己的语言去概括； 图形图象表示法：数学规律通过几何图形间的关系反应出来； 例如： 如图，先画一个等边三角形，然后连接三条边的中点得到4个相同的三角形，将中间的三角形涂色，再对其余三个三角形进行同样的操作。 图2 图3 表达图2，图3中的数学规律，可以采用以下几种方式： 语言叙述法：图2中绿色三角形的面积是大三角形面积的 图形表示法：见上图； 数学表达式法： 2.借助表格表达数学规律 表达有关变化的规律可以借助表格列举的方法，例如：室温下开水温度随时间变化的规律 时间/分钟 0 5 10 15 25 温度/℃ 98 71 55 45 35 时间/分钟 35 45 55 65 70 温度/℃ 28 24 22 22 22 3．借助图像表达数学规律 活动二中关于室温下开水温度随时间变化的规律，也可以借助图象表达这一规律。 4.借助数学式子表达数学规律 表达一个量随着另一个量的变化规律，常常用一个数学式子表示更方便，例如按照下图所示的方式用火柴棒搭正方形。 火柴棒根数和正方形个数之间的关系可以借助一个数学式子表示，设正方形的个数为n, 需要火柴棒的根数为s,则： 这个数学等式就清晰地反映了火柴根数与所搭正方形个数之间的关系。 借助数学式子（等式、不等式）可以简洁地反应几个研究对象之间的规律。 教材习题第05页练习第2题 学校打算用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔。怎样围可使小兔的活动范围尽可能大？ 解题方法指导 方法一：尝试用16厘米长的细绳围成长方形，度量其长和宽，计算其面积，进行比较，发现其规律； 方法二：列表，让长和宽取不同值，直接计算其面积，发现规律； 长 7 6 5 4 3 2 1 宽 面积 方法三：借助几何画板尝试。 【分析】 列表，让长和宽取不同值，直接计算其面积，发现规律；（为了计算方便，可以取整数） 长 7 6 5 4 3 2 1 宽 1 2 3 4 5 6 7 面积 7 12 15 16 15 12 7 从以上列表计算可以发现，当围成的篱笆变成正方形时，面积最大，小兔的活动范围最大。 要获得更精确的数据，可以让长和宽取小数或分数，可以发现同样的规律。 教材习题第09页练习题 按照下图所示的方式用火柴棒搭正方形。 （1） 完成下表： 正方形个数 1 2 3 4 5 火柴棒根数 （2） 探究火柴棒根数与正方形个数之间的关系，表达这个关系并与同学交流。 解题方法指导 1.选择合适的表达方式； 2.语言叙述法； 3.表格表示法；（填表） 4.数学式子表示法；（找到两者之间关系） 比较各种方式的优缺点。 【分析】 正方形个数 1 2 3 4 5 …… 火柴棒根数 4 7 10 13 16 …… 根据表格中的规律，可以用数学式子表示：（m表示火柴根数，n表示正方形个数） 题型一：寻找图形中的规律 1．如图，图1中小黑点的个数记为，图2中小黑点的个数记为，图3中小黑点的个数记为，… 根据以上图中的规律完成下列问题： (1)图5中小黑点的个数记为，则__________； (2)图中小黑点的个数记为，则___________（用含的式子表示）； (3)若第个图形中小黑点的个数比它前一个图形中小黑点的个数多2023，则的值是多少？ 【答案】(1)=26 (2)= (3) 【分析】（1）由已知图形得出可得； （2）由题意得，整理即可得； （3）利用（2）中所得结果列出方程，解之可得答案． 本题考查了图形的变化类问题，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现，解题的关键是能够找到图形变化的通项公式，难度不大． 【详解】（1）解∶将黑点从左向右分列观察计算， ， ， ， …… ∴； （2）由（1）可知 ； （3）由题意得， 则 ， 解得：． 2．如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3)2500 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，图形的变化类，根据已知图形得出数字的变化规律是解题关键． （1）根据已知数据即可得出每一层棋子个数是连续的奇数，进而得出答案； （2）利用已知数据的规律即可得出答案； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第一层有1个棋子， 第二层有个棋子， 第三层有个棋子， 第四层有个棋子， 第五层有个棋子， 第六层有个棋子， ……， 由此发现，第n层有个棋子， 故答案为：； （2）解：∵前2层棋子的个数和为或， 因此可以得到， ∵前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… ∴前n层棋子的个数和， 即前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为． 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 当，即时， ∴． 3．下列图案是某大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，求： (1)第1个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第2个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第3个图中所贴剪纸“”的个数为 个； (2)第n个图中所贴剪纸“”的个数为 个； (3)如果所贴剪纸“”的个数为2024个时，那么它是第几个图？ 【答案】(1)，， (2) (3)第674个图 【分析】本题考查的知识点是规律型-图形的变化类，解题的关键是找出图形变化的部分是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分变化的规律后直接利用规律求解． （1）第1个图中所贴剪纸“”的个数为；第2个图中所贴剪纸“”的个数为；第3个图中所贴剪纸“”的个数为； （2）根据（1）中的规律可得出第个图中所贴剪纸“”的个数为； （3）利用（2）中得出的规律代入求解即可． 【详解】（1）解：第1个图中所贴剪纸“”的个数为； 第2个图中所贴剪纸“”的个数为； 第3个图中所贴剪纸“”的个数为； 故答案为： ，，； （2）由（1）得：第个图案所贴剪纸“”数为个； （3）令，则   ，因此是第个 4．如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“●”的个数是________． (2)请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数． (3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 【答案】(1)35 (2)或个 (3)个 【分析】本题考查了图形的变化规律． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）根据每组图形规律列出每个图案中最长的线段上“●”的个数，即可得解． 【详解】（1）解：观察图形： 第1个图案中“●”的个数是个， 第2个图案中“●”的个数是个， 第3个图案中“●”的个数是个， 第4个图案中“●”的个数是个， ∴第5个图案中“●”的个数是个， 故答案为：35； （2）解：， ， ， ， …… 由上规律知，第n个图案中“●”的个数为或； （3）解：第1个图案中最长的线段上“●”的个数为2， 第2个图案中最长的线段上“●”的个数为3， 第3个图案中最长的线段上“●”的个数为4，…， ∴第n个图案中最长的线段上“●”的个数为． 5．如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”． (1)按照此规律继续摆下去，第7个“小屋子”中图形“”的个数为______个，“”的个数为______个； (2)按照此规律继续摆下去，第几个“小屋子”中图形“”的个数是图形“”的个数的4倍？ 【答案】(1)，； (2)第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的4倍． 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、用代数式表示图形的规律，能根据所给图形发现“”和“”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“”和“”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； …， 由此可知， 第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 故答案为：，； （2）解：第个“小屋子”中图形“”的个数为，“”的个数为； 由题意得，解得（舍），， 答：第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的4倍． 题型二：探究数字间的规律 1．观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 【答案】(1) (2)；2025 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，难度适中，注意找等式的规律时，要注意观察等式的左边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系． （1）根据题意材料即可得出第5个等式即可； （2）根据题意材料即可得出第n个等式即可；根据得出的一般等式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； …… ∴第5个等式为： ； （2）解：∵； ； ； ； …… ∴第n个等式为： ； 当时， ． 2．某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数相同，个位上的数的和等于10，那么这两个数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… (1)探索以上算式规律，请写出___________=___________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，个位上的数字都是5，请证明等式是成立的； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，其中一个数的个位上的数字是b，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并证明这个规律． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、数字的变化类规律等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则是解题的关键． （1）根据所给的等式的形式，找出规律进行解答即可； （2）利用多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则进行证明即可； （3）根据（2）中的等式，写出表示这两个两位数的积的一般规律，并证明这个规律即可． 【详解】（1）解：． （2）证明：左边， 又右边， 左边=右边，即． （3）解：其中一个数的个位上的数字是b，个位上的数的和等于10， 另一个数的个位上的数字是， 这两个两位数的积的一般规律是： ， 左边 ， 又右边， 左边=右边，即． 3．观察下列各式：①；②；③； ④；… (1)根据上述规律写出第⑤个等式：______； (2)请写出第个等式（用含的式子表示）； (3)若，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，规律探索问题， （1）根据已知等式写出第⑤个等式即可； （2）根据规律写出第个等式即可； （3）根据绝对值的非负性求得，的值后代入原式，然后根据规律裂项并计算即可． 【详解】（1）根据上述规律写出第⑤个等式： 故答案为：． （2）第个等式为 （3）解：∵ ，， 解得：，， ∴原式 ． 4．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式； (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式； (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律． （1）根据题目中的式子，可以写出第四个等式； （2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式； （3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：第四个等式：； （2）解：第n个等式：； （3）解： ． 5．解答题． 观察下列各式： … (1)按照上面的规律请写出个等式． (2)利用上面的结论计算 (3)请结合长方形的面积公式，利用面积的不同计算方式，解释（1）的合理性．如需画图请先用铅笔作图，确定后再用黑色碳素笔描绘清楚． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）根据题中的等式，找出规律，用字母表示； （2）根据（1）中的公式计算； （3）作边长和的长方形． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：原式； （3）解：如图所示， 图中大长方形的面积可表示为，也可以表示为， 所以． 题型三：月历中隐藏的数学规律 1．如图是某月的日历． （1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？ （2）不改变方框的大小如果将带阴影的方程移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立． 活学活用： 小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题： （3）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？ （4）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由． 【答案】（1）方框中9个数之和为方框正中的数的9倍 （2）成立，理由见解析 （3）十字框中的五个数的和是中间数16的5倍 （4）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查图形与数字规律，有理数的混合运算， （1）根据图示，列式求解即可； （2）设中心数为，根据（1）中的计算方法即可求解； （3）根据图示，列式计算即可求解； （4）设中间的数为，由此列式求解可得，再根据402在第41行的第一个数字进行判定即可求解． 【详解】解：（1）， ， ∴方框中9个数之和为方框正中的数的9倍； （2）成立，理由如下， 设中心数为， ∴， ∴9个数之和是方框正中的数的9倍； 活学活用 （3），， ∴十字框中的五个数的和是中间数16的5倍； （4）不能，理由如下， 设中间的数为， ∴，则， ∵402在第41行的第一个数字， ∴框住的5个数的和不能为2010． 2．如图是某月的月历．   (1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系？ (2)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，设中间数为a，这五个数还有这种规律吗？若有请证明，若没有请说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的和与中间数的关系是 (2)有，证明见详解 【分析】（1）先求出十字框中的五个数的和，然后观察与中间数的联系即可； （2）设中间数为a，也用含有a的代数式表达其他4个数，观察它们的特征，即可作答． 【详解】（1）解：， ， 所以十字框中的五个数的和与中间数的关系是； （2）解：设中间数为a，那么a的上方的数是，a的左边的数是，a的右边的数是，a的下方的数是， 这五个数的和是， 所以十字框中的五个数的和中间数． 【点睛】本题属于日历中的问题，要解决此类题问题，关键是弄清楚各个数之间的关系，左右相邻的两个数相差1，上下相邻的两个数相差7． 3．如图1是2020年11月的日历，请据图回答下列问题： （1）如图1，如果本周六对应日期用（，且为整数）表示，那么本周五对应日期可以表示为 ；下周六对应日期可以表示为 ； （2）如图2，阴影部分表示的5天中最中间一天的日期用表示，5天之和用表示，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）小明的爸爸每月18日值班，根据图1可以推算出12月18日是星期 ． 【答案】（1） ，；（2），见解析；（3）五 【分析】（1）根据日历即可得出答案； （2）将日期的上周三，下周三，前一天和后一天表示出来，然后计算即可； （3）根据12月18日与11月18日间隔30天，一星期有7天，计算出过了几个星期，根据余数即可得出答案． 【详解】解：（1）由图可知本周五对应日期可以表示为， 下周六对应日期可以表示为； （2）． 理由如下：日期的上周三可表示为，日期的下周三可表示为，日期的前一天可表示为，日期的后一天可表示，则； （3）∵12月18日与11月18日间隔30天，一星期有7天， ∴30÷7=4……2， ∴多出两天， ∵11月18日是周三， ∴12月18日是周五． 【点睛】本题考查了代数式的应用和规律探索，理解日期的规律是解题关键． 4．日历是一份来自时间的礼物，它让生活有迹可循，同时提醒我们要珍惜时间，不负韶华．如图是年月份的日历，小颖用一个“”形框选中了个数． (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系； (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数，（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍 (2)成立，理由见详解 【分析】本题考查有理数的加法，求代数式的值，根据题意列代数式是解题的关键； （1）计算这五个数的和，即可找到与中间数的关系； （2）设中间的数为，其余四个数分别为，，，，计算五个数的和即可求解； 【详解】（1）解：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； （2）解：成立； 设中间的数为，其余四个数分别为，，，， 五个数的和为：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； 5．如图1，在某月的月历中，用一个“”形框出5个数． (1)图1中所框出的5个数中最大数与最小数的差为____，所框出的5个数的和为____． (2)若在图2中用一个“”形框任意框出5个数，设这5个数中最小的数为a．则： ①请在右边的“”形框中，用含a的代数式表示其它各数，然后求出这5个数的和为多少？（用含a的代数式表示） ②若，则框出的5个数中最大的数为多少？框出的5个数的和为多少？ 【答案】(1)14，45； (2)①表格见解析，；②最大的数为31，120 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各数之间的关系，用含的代数式表示出其它4个数及5个数之和是解题的关键． （1）利用图1中所框出的5个数中的最大数最小数，即可求出图1中所框出的5个数中最大数与最小数的差，再将5个数相加，即可求出所框出的5个数的和； （2）①根据各数之间的关系，可用含的代数式表示出其它4个数，再将5个数相加，即可得出结论； ②代入，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：图1中所框出的5个数中最大数与最小数的差为； 所框出的5个数的和为． 故答案为：14，45； （2）解：①根据题意，得：其它4个数分别为， 如图所示， ∴个数的和为； ②当时， 框出的5个数中最大的数为； 框出的5个数的和为． 题型四：火柴棒中的数学知识 1．综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意数出图形中含有4个三角形时需要的火柴棒数量即可； （2）观察图形可知，每多一个三角形，则要多两根火柴棒，据此规律求解即可； （3）根据（2）所求求出所需要的火柴棒数量即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要9根火柴棒； （2）解：图形中含有1个三角形，需要3根火柴棒， 图形中含有2个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有3个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有4个三角形，需要根火柴棒， ……， 以此类推，可知，图形中含有n个三角形，需要根火柴棒， （3）解：当图形中含有2024个三角形时，火柴棍的根数为（根）， ∴图形中所有火柴棍的长度和为． 2．用火柴棒按图中的方式摆图形： 按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 5 9 13 (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径． （1）根据所给图形可得a，b的值； （2）根据（1）的结果可得出规律； （3）把n的值代入（2）的规律式中可求值． 【详解】（1）解：由图④可数出火柴棒的根数为17，故可得， 由图①②③④可得图⑤为：， 故； 故答案为：17；21． （2）解：由（1）可得第n个图形需要火柴棒的根数为， 故答案为：； （3）解：将代入中得：． 即第2024个图形需要的火柴棒根数为8097根． 3．火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．下面是小明同学利用火柴按照一定的规律拼摆的一组图形： (1)填写下面的表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 ... 三角形的个数 1 2 3 ... 正方形的个数 3 5 ... 火柴棒总根数 12 20 ... (2)按此规律拼摆的第个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总很数是_____；（用含n的代数式表示） (3)按这种方法拼摆出的第100个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总根数是_____． 【答案】(1)见解析 (2)n；； (3)100；201；804 【分析】主要考查了图形类规律探索．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是此类题目中的难点． （1）根据题意，数出图中的三角形、正方形、火柴棒数量即可； （2）由（1）可知，找出数量的变化规律，即可得到答案； （3）把代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：如下表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 …… 拼成三角形个数 1 2 3 4 5 …… 拼成的正方形个数 3 5 7 9 11 …… 所用火柴棒总根数 12 20 28 36 44 …… （2）解：第n个图中，三角形有n个，正方形：个，所有火柴棒有根； （3）解：当时，， ； 所以，按这种拼图方法拼出的第100个图形三角形有100个，正方形201个，共需要火柴棒804根． 4．按下图的方式，用火柴棒搭“小鱼”． (1)搭1条、2条、3条“小鱼”各用多少根火柴棒？ (2)按同样方式，搭20条“小鱼”要用多少根火柴棒？ (3)如果用n表示所搭“小鱼”的条数，那么搭n条这样的“小鱼”需要多少根火柴棒？ 【答案】(1)搭1条，2条，3条“小鱼”各用8根，14根，20根火柴棒 (2)按同样方式，搭20条“小鱼”要用122根火柴棒 (3)搭n条这样的“小鱼”需要根火柴棒 【分析】本题考查了图形的变化类问题，对于找规律的题目首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，注意由特殊到一般的分析方法． （1）根据题干内容求解即可； （2）找出规律，得出搭20条这样的小鱼需要的火柴根数即可； （3）根据规律，总结出公式即可． 【详解】（1）搭第1条小鱼需要的火柴棒个数为：； 搭第2条小鱼需要的火柴棒个数为：； 搭第3条小鱼需要的火柴棒个数为：； （2）由（1）得，搭第20条小鱼需要的火柴棒个数为：； （3）由（1）得，搭第n条小鱼需要的火柴棒个数为：． 5．如图，用火柴棒按下图中的方式搭几何图形． (1)按照这种方式搭下去，第④个图形需要______根火柴棒； (2)按照这种方式搭下去，第2025个图形需要多少根火柴棒？ 【答案】(1) (2)按照这种方式搭下去，第个图形需要根火柴棒 【分析】本题考查了图形类规律探索， （1）根据图形得出规律：第个图形需要火柴棒根火柴棒，即可得到第④个图形需要的火柴棒数量； （2）根据（1）得出的规律，将代入计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可知，第1个图形需要根火柴棒， 第2个图形需要根火柴棒， 第3个图形需要根火柴棒， …… 观察得到规律：第个图形需要火柴棒根火柴棒， 第④个图形需要根火柴棒， 故答案为：29 （2）解：由（1）得出一般规律，第个图形需要火柴棒根火柴棒， 将代入上式得：根 答：按照这种方式搭下去，第个图形需要根火柴棒． 知识导图记忆 知识目标复核 1．数学的意义：数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。 2．数学对生活的作用：衣食住行等方面。 3．学习数学的方法：观察、操作、交流、表达。 4．数学规律的表示方法：语言叙述法、图形图象表示法、表格表示法、数学式子表示法。 一、选择题 1．一个小正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，将它按如图所示的方式顺时针滚动，每滚动算一次，则滚动第2025次时，小正方体朝下一面标有的数字是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据滚动方式可得滚动时，小正方体朝下一面标有的数字是以为一个循环往复的，由此即可得． 【详解】解：滚动第1次时，小正方体朝下一面标有的数字是2， 滚动第2次时，小正方体朝下一面标有的数字是3， 滚动第3次时，小正方体朝下一面标有的数字是5， 滚动第4次时，小正方体朝下一面标有的数字是4， 滚动第5次时，小正方体朝下一面标有的数字是2， 归纳类推得：滚动时，小正方体朝下一面标有的数字是以为一个循环往复的， ∵， ∴滚动第2025次时，小正方体朝下一面标有的数字与滚动第1次时，小正方体朝下一面标有的数字相同，即为2， 故选：A． 2．观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的尾数，找到这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现，据此规律求解即可． 【详解】解：∵，，，，，，，， ......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现， ∵， ∴的末尾数字与的尾数相同为， ∵，，，，，，，， ......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现， ∵ ∴的末尾数字与的尾数相同为， ∵， ∴的末位数字是5． 故选：B． 3．计算：，，，，，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到的个位数字． 【详解】解：由，，，，，……可知计算结果中的个位数字以为一个循环组依次循环， ∵， ∴的个位数字是3， 故选：B． 【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字． 4．如图1，八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻（yáo），“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦之中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示．十进制的有理数“3”可以用图2中八卦符号表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，新定义运算，解题的关键是理解题意，准确计算．把每个选项的二进制的数化为十进制的数即可得到答案. 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选：C 5．二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生、请判断下列选项中表示9班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算的应用，图形的规律，因为其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．所以分别算出第一、二行的数，进行验证即可． 【详解】解：A、第二行：，学号不符合，故该选项不符合题意； B、第一行：，第二行：，班级、学号均符合，故该选项符合题意； C、第二行：，学号不符合，故该选项不符合题意； D、第一行：，班级不符合，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第1个图形有5朵梅花，第2个图形有8朵梅花，第3个图形有13朵梅花，⋯，按此规律，则第6个图形中共有梅花的朵数是（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】B 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系，找出规律即可求解，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】解：∵第1个图形有（朵）梅花， 第2个图形有（朵）梅花， 第3个图形有（朵）梅花， … ∴第n个图形中共有梅花的朵数是， ∴第6个图形中共有梅花的朵数是． 故选：B． 7．观察下列图形（     ） 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形中的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的排序及数量的关系，找出规律即可求解． 【详解】解：第个图五角星的数量是， 第个图五角星的数量是， 第个图五角星的数量是， 第个图五角星的数量是， ∴第个图五角星的数量是， 故选：． 【点睛】本题主要考查图形规律，有理数的混合运算，理解图形的排序与数量的关系，掌握有理数的混合运算方法是解题的关键． 8．如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的9倍， 故选：C． 9．小明在某月的日历上圈出相邻的三个数，算出这三个数的和是78，则这三个数的排列方式一定不可能是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】78，即圈出的三个数的平均数为26，所以这三个数不可能是纵向排列的，故选B 10．在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中正确的一个是（　　） A．28 B．34 C．45 D．75 【答案】C 【分析】日历纵列上圈出相邻的三个数,下边的数总比上边上的数大7,设中间的数是a,则上边的数是a－ 7,下边的数是a ＋ 7,则三个数的和是3a,因而一定是3的倍数,且3数之和一定大于等于24,一定小于等于72,据此即可判断. 【详解】日历纵列上圈出相邻的三个数,下边的数总比上边的数大7,设中间的数是a,则上边的数是a－ 7,下边的数是a＋ 7,则三个数的和是3a,因而一定是3的倍数，当第一个数为1,则另两个数为8,15,则它们的和为24,当第一个数为17,则另两个数为24,31,则它们的和为72,所以符合题意的三数之和一定在24到72之间,所以符合题意的只有45，所以C选项是正确的. 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的计算，正确理解图表，得到日历纵列上圈出相邻的三个数的和一定是3的倍数以及它的取值范围是关键. 二、填空题 11．用长度相同的火柴棒按如图所示的方式摆图形，其中第（1）个图形用了6根火柴棒，第（2）个图形用了11根火柴棒，第（3）个图形用了16根火柴棒，按照这样的规律继续摆下去，第10个图形需要 根火柴棒． 【答案】51 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型问题，列代数式等知识点，根据后一个图形的木棒比前一个图形的木棒多5根，即可得到答案，找到“后一个图形的木棒比前一个图形的木棒多5根”这个规律，是解题的关键. 【详解】解：搭第1个图形需要：， 搭第2个图形需要：， 搭第3个图形需要：， ………， 搭第个图形需要的木棒的根数是：， 搭第个图形需要的木棒的根数是：， 故答案为：． 12．如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”分别用了8根、14根、20根火柴……，则要搭17条“金鱼”需要的火柴数为 根． 【答案】104 【分析】本题考查了图形规律的探究．根据每增加一条“金鱼”，需要增加6根火柴列代数式即可求解． 【详解】解：第一条金鱼用了根火柴； 第2条金鱼用了根火柴； 第3条金鱼用了根火柴； 第n条金鱼用了根火柴； 则第17条金鱼用了根火柴， 故答案为：104． 13．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案中有两个正方形，第2个图案中有4个正方形，…，依此规律，第15个图案中有 个正方形． 【答案】121 【分析】本题考查了规律的探索，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据题意，得第1个图案中有两个正方形即，第2个图案中有 4个正方形即，第3个图案中有 7个正方形即，…，第n个图案中有，据此即可求解． 【详解】解：根据题意，得第1个图案中有两个正方形即， 第2个图案中有 4个正方形即， 第3个图案中有 7个正方形即， …， ∴第n个图案中有， 依此规律，第15个图案中有个正方形． 故答案为：121． 14．计算的结果的末位数字是 ． 【答案】2 【分析】本题考查乘方有关的规律，先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出的末位数字． 【详解】解：， ∵末位数字是，末位数字是，末位数字是，末位数字是，末位数字是， ∴的末位数字是，，，四个数字循环， ∵， ∴末位数字是， 即的结果的末位数字是， 故答案为：． 15．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行最中间的数字是 ． 【答案】20 【分析】本题考查数字找规律，解题关键是掌握杨辉三角每行数字个数规律、数字对称特点及除两端1外每个数等于它肩上两数和的规律来推导所需数字． 观察杨辉三角形的规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小到1，第n行有n个数．要求第7行最中间的数字，需要先确定第7行的数字个数以及中间位置． 【详解】观察杨辉三角形的规律是： 每行数字左右对称，由1开始逐渐增大再减小到1 每行除两端的1以外，每个数都是它肩上两个数的和． 第n行有n个数， ∴第7行有7个数． ∵第5行是1  4   6   4   1， 根据规律，第6行第一个数是1，第二个数是第5行第一个数1与第二个数4相加，即；第三个数是第5行第二个数4与第三个数6相加，即；第四个数是第5行第三个数6与第四个数4相加，即；第五个数是第5行第四个数4与第五个数1相加，即；最后一个数是1． ∴第6行是1  5   10  10  5   1． 第7行：第一个数是1；第二个数是第6行第一个数1与第二个数5相加，即；第三个数是第6行第二个数5与第三个数10相加，即；第四个数是第6行第三个数10与第四个数10相加，即． ∴第7行：1  6  15  20  15  6  1 ∵第7行共7个数，最中间是第4个数， ∴第7行最中间数字是20． 7个数的中间位置是第4个． ∴第7行最中间的数字是20． 故答案为：20． 三、解答题 16．某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数相同，个位上的数的和等于10，那么这两个数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… (1)探索以上算式规律，请写出___________=___________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，个位上的数字都是5，请证明等式是成立的； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，其中一个数的个位上的数字是b，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并证明这个规律． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、数字的变化类规律等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则是解题的关键． （1）根据所给的等式的形式，找出规律进行解答即可； （2）利用多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则进行证明即可； （3）根据（2）中的等式，写出表示这两个两位数的积的一般规律，并证明这个规律即可． 【详解】（1）解：． （2）证明：左边， 又右边， 左边=右边，即． （3）解：其中一个数的个位上的数字是b，个位上的数的和等于10， 另一个数的个位上的数字是， 这两个两位数的积的一般规律是： ， 左边 ， 又右边， 左边=右边，即． 17．在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空：①；②． (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，则的取值范围为_______，则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边=右边，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【答案】(1)①，；②， (2)， 【分析】本题考查数字变化规律问题，能观察多组数据找出数字间的运算规律是解题关键，从特殊到一般总结出普遍规律是解题难点． （1）观察题中等式即可发现规律； （2）根据整式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：根据题中等式的规律可得，①；②， 故答案为：①，；②， （2）解：设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，则的取值范围为，则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边=右边，为11的倍数． 18．用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 6 11 16 按上述信息填空： (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示）； (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)21，26 (2) (3)10121 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加5是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）结合（2）中发现的结论即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 搭第1个图形，需要的火柴棒的根数为：； 搭第2个图形，需要的火柴棒的根数为：； 搭第3个图形，需要的火柴棒的根数为：； …， 搭第个图形，需要的火柴棒的根数为（）根． 当时，； 当时，； 故答案为：21，26； （2）解：由（1）知， 搭第个图形，需要的火柴棒的根数为（）根， 故答案为：； （3）解：当时，（根）， 第2024个图形需要的火柴棒根数为10121根． 19．用火柴棒按如图所示的规律排列成一串图形： (1)第4个图形中有几根火柴棒？第5个呢？第个呢？ (2)小梧发现：按照这种方式搭图形会产生若干个六边形，若使用1603根火柴搭图形，则图中会产生多少个六边形？ 【答案】(1)第4个：35根 ； 第5个：43根 ； 第个：； (2)产生400个六边形． 【分析】本题考查规律类问题的应用． （1）根据所给图形总结出火柴棒的规律是解题的关键，通过规律即可知道第四个第五个即第个图形火柴棒数量； （2）根据题意找出第一个图形有2个正六边形，第2个图形有4个正六边形，以此得到规律即可得知1063个火柴棒是第几个图形，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵根据图形规律可知，第一个图形火柴棒11根，第2个图形火柴棒19根，第3个图形火柴棒27根．．．．．． ∴据此可知第四个图形火柴棒35根，第五个图形火柴棒43根，第个图形火柴棒数量为； （2）解：∵第个图形火柴棒数量为， ∴根据题意可得，解得：， ∵第一个图形有2个正六边形，第2个图形有4个正六边形，第三个图形有6个正六边形， ∴第个图形有正六边形， ∴， 综上所述：使用1603根火柴搭图形，则图中会产生400个六边形． 20．下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 【答案】(1)9；17 (2) (3)1601 【分析】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键． （1）观察图形规律，可知第1图涂有阴影的小正方形的个数为5个，第2图涂有阴影的小正方形的个数为个，第3个图涂有阴影的小正方形的个数为个，以此类推，可知第4图涂有阴影的小正方形的个数； （2）观察可知后面一个图形比前面一个图形多4个涂有阴影的小正方形，据此规律求解即可； （3）将代入计算求解即可． 【详解】（1）解：第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，即， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个，即 故答案为：9，17； （2）观察图形规律，可知： 第1个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个， 第3个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个 以此类推， 第n个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 故答案为：； （3）解：将代入中得： 即第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数为根． 21．阅读下列材料，解决相应问题． “有形数”如图1，四个图形中点的个数可以类比正方形的面积公式计算，即，其中是正方形边上的点的个数，称为正方形数．   图2是边上有5个点的三角形，如图3，创新小组在图2的基础上增加一个相同的三角形，连接相应线段形成一个平行四边形．将求三角形数转化为求平行四边形数．计算过程如下：已知两个三角形组合成的平行四边形的底为个点，高（行数）为5，所以该平行四边形数为底高，则该三角形数．   总结：边上有5个点的三角形数． (1)参照材料中“总结”的格式，计算边上有100个点的三角形数：____________． (2)边上有个点的三角形数______． (3)仿照上述的“计算过程”求图4中三角形的点的个数．    【答案】(1)，5050 (2) (3)25个 【分析】本题考查图形类规律探究： （1）直接根据题干信息进行总结计算即可； （2）根据题干信息总结即可； （3）类比题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：，5050； （2）； （3）已知两个三角形组合成的平行四边形的底为，高（行数）为5， 所以该平行四边形数为底高． 则所求三角形的点的个数为． 22．用黑色、白色棋子摆成图中的正方形，观察各个图形和对应表达式的变化规律： (1)写出第4个图形对应的表达式； (2)写出第个图形对应的表达式； (3)利用上面发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)4049 【分析】本题主要考查了图形与式子的规律，代数式表示式，有理数的乘方运算，通过观察所给的式子，找到规律，并用规律进行变形应用是解题的关键． (1)根据题干中的规律写出第4个图形对应的表达式即可； (2)总结题干中的规律写出第个图形对应的表达式即可； (3)结合题干所总结的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第4个图形对应的表达式为， （2）解：观察图形和表达式知，第个图形对应的表达式为； （3）解：由(2)知． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$