第08讲 有理数的混合运算-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第08讲 有理数的混合运算 内容导航——预习三步曲 第一步：主动学 析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习 讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法 练考点 强知识：两大核心考点五种常考题型精准练 第二步：用心记 串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系 第三步：限时测 过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点 知识点1：有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序：（混合运算三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 名师点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率． 知识点2：合理运用运算律简化运算 1.加法运算律： 加法交换律： 加法结合律： 2.乘法交换律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 3.灵活选用适当的运算律，可以简化计算，减少错误。运用乘法分配率时要根据自己的基础情况选用。 教材习题第62页习题第3（2）题 计算： 解题方法指导 本题很多同学易错用分配率； 正确做法应按照混合运算的顺序计算 【分析】 错误解法提醒：错用分配率计算； …………………………此处错误使用了分配率 点拨： 此处错误使用了分配率，牢记：没有的规律不能自己随便乱造。 正确解法： 教材习题62页习题第3（3）题 计算： 解题方法指导 1.注意对比上一题； 2.此题可以使用乘法分配率计算； 3.如果自己通分学得比较好的同学建议使用通分做，好处是写的少。 【分析】 解法一：使用乘法分配律计算 解法二：直接通分，按顺序计算 题型1 有理数的混合运算问题 1．计算： (1) (2) (3) (4) 2．计算： (1) (2) (3) (4) 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 有理数混合运算的新定义问题 1．对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 2．阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 3．我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 4．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 5．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)请你猜测这种新的运算“*”是否具有乘法交换律？并写出验证过程． 题型3 与有理数混合运算有关的程序图问题 1．仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 2．数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______，算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； (3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 3．如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果． 4．小明同学设计了4张如图写有不同运算的卡片，，，，小明选择一个有理数，让小聪选择，，，的顺序，进行一次列式计算．如：选择了2和的顺序，其结果是... (1)当小明选择了3，小聪选择的顺序，列出算式并计算结果； (2)当小明选择了，小聪选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小聪选择的顺序并列出算式． 5．如图，这是一个计算程序． (1)若输入的值为1，求输出的值． (2)若输入的值为，直接写出输出的值． 题型4 有理数混合运算的实际应用 1．聪明的小明根据某市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图： (1)根据该程序转换机计算下列各户月应缴纳水费（元） 用户 张大爷 刘奶奶 王阿姨 小明家 输入（m3） 7 15 18 25 输出（元） (2)当时，月应缴纳水费 元.（用含x的代数式表示）； (3)小丽家某月缴纳水费120元，则小丽家该月用水多少？ 2．为积极响应政府提出的“绿色发展．低碳出行”号召，某自行车厂决定生产一批共享单车投入市场．该厂原计划一周生产1400辆共享单车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况：（超产为正、减产为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知星期一生产___________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产___________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 3．一名交警骑交警铁骑从岗亭出发，在东西走向的公路上执勤，如果规定向东为正，向西为负，这天早上的行驶里程（单位：千米）如下：，，，，，， (1)请问现在这名交警离岗亭多远，在岗亭东面还是西面？ (2)若交警铁骑每100千米耗油3升，这名交警现在接到指令，立刻返回岗亭，这天早上交警铁骑一共耗油多少升？ 4．外卖送餐为日常生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖员一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分，记为“”，低于50单的部分，记为“”，下表是该外卖员一周的送餐量． 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量／单 (1)该外卖员这一周送餐量最多的一天比最少的一天多______单． (2)外卖员每单的底薪为4元．若当天送餐量超过50单，超过的每一单，奖励2元；当天送餐量不足50单，不足的每一单，扣款1元．求该外卖员这一周的收入． 5．水果店有20箱樱桃，以每箱5千克为标准，超过5千克的数记为正数，不足5千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 0.1 0.3 0.6 箱数（箱） 2 1 2 5 4 m 4 (1)求m的值和这20箱樱桃的总质量； (2)若这批樱桃的批发价是200元/箱，售价是55元/千克，该水果店第一天销售了这批樱桃的，第二天打八折把剩余的樱桃全部售出． 水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元？ 题型5 有理数混合运算与24点游戏 1．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 2．有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 3．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 4．如图，5张卡片上面分别标注了一个数，请你从中选取4张卡片，仅使用“+，－，×，÷”四种运算符号（可用括号）将这些卡片上的数连起来，组合成一个式子，使其计算结果为24．请写出两个不同的式子． 方案一：我选的是________，列出的算式是________． 方案二：我选的是________，列出的算式是________． 5．数学活动课上，张老师拿来5张数字卡片（如图），让同学们按照要求抽出相应的卡片，并完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小； (2)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种即可） 知识导图记忆 知识目标复核 1.掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算. 2.在有理数的混合运算中，能合理地利用运算律简化运算. 一、选择题 1．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 5．如图，是一个数值转换机，若输入数为3，则输出数是（  ） A．8 B．9 C．60 D．64 6．我们定义一种新的运算“”，并且规定：，例如：，则的值为（   ）． A．5 B． C．3 D．4 7．规定一种新运算：，如，则（　　） A．11 B．13 C．-3 D．-5 8．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低．若该地地面温度为，高空某处温度为，则此处的高度是（   ） A．4千米 B．7千米 C．8千米 D．10千米 9．对有理数，，规定运算如下：，则的值为（   ） A． B． C． D．24 10．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 11．对于有理数，定义一种新运算，规定，则 ． 12．如图所示是计算机程序计算，当输入的数为4时，则输出的结果 ． 13．科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1千米，气温下降6℃．已知甲地现在的地面气温为21℃，则甲地上空10千米处的气温为 ℃． 14．定义新运算：，例如：，则 ． 15．在数轴上，点、点表示的数分别是，16．点以2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴向左运动．当点到达点时，点表示的数是 ． 16．现定义一种新运算：，如，则 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1) (2) 19．P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： ． 计算： 原式＝ ． 20．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24． (1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 有理数的混合运算 内容导航——预习三步曲 第一步：主动学 析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习 讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法 练考点 强知识：两大核心考点五种常考题型精准练 第二步：用心记 串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系 第三步：限时测 过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点 知识点1：有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序：（混合运算三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 名师点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率． 知识点2：合理运用运算律简化运算 1.加法运算律： 加法交换律： 加法结合律： 2.乘法交换律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 3.灵活选用适当的运算律，可以简化计算，减少错误。运用乘法分配率时要根据自己的基础情况选用。 教材习题第62页习题第3（2）题 计算： 解题方法指导 本题很多同学易错用分配率； 正确做法应按照混合运算的顺序计算 【分析】 错误解法提醒：错用分配率计算； …………………………此处错误使用了分配率 点拨： 此处错误使用了分配率，牢记：没有的规律不能自己随便乱造。 正确解法： 教材习题62页习题第3（3）题 计算： 解题方法指导 1.注意对比上一题； 2.此题可以使用乘法分配率计算； 3.如果自己通分学得比较好的同学建议使用通分做，好处是写的少。 【分析】 解法一：使用乘法分配律计算 解法二：直接通分，按顺序计算 题型1 有理数的混合运算问题 1．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查的是求一个数的绝对值，加法的运算律，乘法的运算律，含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数加减乘除，乘方运算的运算法则与运算顺序是解题的关键. （1）利用加法的运算律，把分母相同的两个数先加，从而可得答案； （2）利用乘法的分配律把原式化为：，再计算乘法，最后计算加减运算即可； （3）先计算括号内的运算，同步计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可； （4）先计算乘方运算，同步计算除法与绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先去括号，再根据有理数加减法法则计算即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据有理数乘法法则计算即可； （3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法运算律，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算，即可作答． （2）先运算乘方以及化简绝对值，再运算乘除，最后运算减法，即可作答． （3）先把除法化为乘法，再运用有理数的乘法运算律进行计算，即可作答． （4）先运算乘方以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：． ． （3）解： ； （4）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照加减法运算法则运算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加法即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，计算括号内的值，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)0 (4) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键： （1）利用交换律和结合律进行简算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减； （3）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）： ． （3） ； （4） ． 题型2 有理数混合运算的新定义问题 1．对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）利用新定义的运算法则及有理数的混合运算法则即可求解； （2）利用新定义的运算法则及有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：依题意得： ； （2）解： ． 2．阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①8；②82 (2)存在，2或6或 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①直接根据新定义进行运算即可；②直接根据新定义进行运算即可； （2）现根据新定义列式得出，再进行分类讨论求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵m，n为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为2或6或． 3．我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算： （1）根据新定义得到，据此代值计算即可； （2）根据新定义得到，再根据，进行计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解： ． 4．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)49； (2)109． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）直接根据新定义的法则，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可． （2）先根据新定义计算，再计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 所以的值为109． 5．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)请你猜测这种新的运算“*”是否具有乘法交换律？并写出验证过程． 【答案】(1) (2)这种新的运算“*”不具有乘法交换律，过程见解析； 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义运算． （1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解即可； （2）根据新定义，分别计算，即可验证是否具有乘法交换律． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， 而， ∴这种新的运算“*”不具有乘法交换律； 题型3 与有理数混合运算有关的程序图问题 1．仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【知识点】含乘方的有理数混合运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 2．数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______，算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； (3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 【答案】(1)，； (2)9； (3) 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）根据含乘方的有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据的运算顺序，列出算式进行计算即可； （3）分两种情况：或列出算式，求出结果进行判断即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：∵甲同学选择了的运算顺序， ∴可列算式， ∵ ， ∴他的计算结果为； （3）解：∵乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算， ∴将剩下的卡片有两种情况：或， 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； ∵乙同学列式计算的结果刚好为， ∴乙同学选择的顺序为． 3．如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果． 【答案】3 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据程序流程图，进行运算，根据流程图，按照有理数混合运算法则计算即可得答案． 【详解】解：根据题意得 ． 4．小明同学设计了4张如图写有不同运算的卡片，，，，小明选择一个有理数，让小聪选择，，，的顺序，进行一次列式计算．如：选择了2和的顺序，其结果是... (1)当小明选择了3，小聪选择的顺序，列出算式并计算结果； (2)当小明选择了，小聪选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小聪选择的顺序并列出算式． 【答案】(1) (2)； 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算： （1）按照选择的顺序列式计算即可； （2）按照，两种顺序分别计算，看哪个结果刚好是即可． 【详解】（1）解：由题意，算式为：， （2）解：若选择， 可得：， 若选择， 可得：， ∴小聪选择的顺序为． 5．如图，这是一个计算程序． (1)若输入的值为1，求输出的值． (2)若输入的值为，直接写出输出的值． 【答案】(1)输出的值为 (2) 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了程序流程图，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）将1代入，得，将代入，得．然后输出即可； （2）由，可知输出的值仍为． 【详解】（1）解：将1代入，得， 将代入，得． ∴输出的值为； （2）解：∵， ∴输出的值仍为． 题型4 有理数混合运算的实际应用 1．聪明的小明根据某市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图： (1)根据该程序转换机计算下列各户月应缴纳水费（元） 用户 张大爷 刘奶奶 王阿姨 小明家 输入（m3） 7 15 18 25 输出（元） (2)当时，月应缴纳水费 元.（用含x的代数式表示）； (3)小丽家某月缴纳水费120元，则小丽家该月用水多少？ 【答案】(1)21、45、60、95 (2) (3)30 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、列代数式、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了根据程序图求代数式的值，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是能够读懂示意图的意思，列出代数式． （1）根据用水量的多少和两种不同的计算方法计算水费即可； （2）用15立方米的水费加上比15立方米多的部分的水费即可； （3）代入总水费120元，求得用水量即可． 【详解】（1）解：张大爷应缴纳水费：（元）， 刘奶奶应缴纳水费：（元）， 王阿姨应缴纳水费：（元）， 小明家应缴纳水费：（元）， 故答案为：21、45、60、95； （2）由水费计算程序转换机示意图可知： 当时，月应缴纳水费为（元）， 故答案为：； （3）， 小丽家该月用水， ， 解得：， 答：小丽家该月用水多少． 2．为积极响应政府提出的“绿色发展．低碳出行”号召，某自行车厂决定生产一批共享单车投入市场．该厂原计划一周生产1400辆共享单车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况：（超产为正、减产为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知星期一生产___________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产___________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)205 (2)22 (3)84375元 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了正数与负数、有理数的四则运算的应用． （1）表格中星期一的增减数据为，在与计划的200相加，即可得到答案； （2）表格中增减数据最大的是产量最多的一天，增减数据最小的是产量最少的一天，两个数据相减，即可得到答案； （3）先将表格中这一周的增减数据全部相减，若是正数，则是超额完成，若是负数，则少生产了，再列式计算． 【详解】（1）解：因为表格中星期一的增减数据为， 所以星期一生产的单车辆数为：， 故答案为：205； （2）解：因为表格中增减数据最大的是产量最多的一天，增减数据最小的是产量最少的一天， 所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产的单车辆数为：， 故答案为：22； （3）解：因为， 所以这周超额完成任务， 所以这一周的工资总额为：（元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是84375元． 3．一名交警骑交警铁骑从岗亭出发，在东西走向的公路上执勤，如果规定向东为正，向西为负，这天早上的行驶里程（单位：千米）如下：，，，，，， (1)请问现在这名交警离岗亭多远，在岗亭东面还是西面？ (2)若交警铁骑每100千米耗油3升，这名交警现在接到指令，立刻返回岗亭，这天早上交警铁骑一共耗油多少升？ 【答案】(1)这名交警离岗亭5千米，在岗亭东面 (2)这天早上交警铁骑一共耗油1.2升 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）将所有的行程里程相加，再根据得到的数的正负判断东西面； （2）将所有的行程里程的绝对值求和，根据每千米耗油升进行求解． 【详解】（1） （千米） 答：这名交警离岗亭5千米，在岗亭东面． （2） （升） 答：这天早上交警铁骑一共耗油升． 4．外卖送餐为日常生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖员一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分，记为“”，低于50单的部分，记为“”，下表是该外卖员一周的送餐量． 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量／单 (1)该外卖员这一周送餐量最多的一天比最少的一天多______单． (2)外卖员每单的底薪为4元．若当天送餐量超过50单，超过的每一单，奖励2元；当天送餐量不足50单，不足的每一单，扣款1元．求该外卖员这一周的收入． 【答案】(1)20 (2)1476元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数减法的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． （）用最大数减最小数即可求解； （）根据题意列出算式计算即可求解． 【详解】（1）解：（单）， ∴这一周送餐量最多的一天比最少的一天多20单， （2）解：（单）， （元）， 答：外卖员这一周的收入为1476元． 5．水果店有20箱樱桃，以每箱5千克为标准，超过5千克的数记为正数，不足5千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 0.1 0.3 0.6 箱数（箱） 2 1 2 5 4 m 4 (1)求m的值和这20箱樱桃的总质量； (2)若这批樱桃的批发价是200元/箱，售价是55元/千克，该水果店第一天销售了这批樱桃的，第二天打八折把剩余的樱桃全部售出． 水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元？ 【答案】(1)，总质量为千克； (2)水果店在销售这批樱桃过程中是盈利，盈利元． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题考查有理数混合运算的实际应用， （1）总箱数减去其他箱数即可得到m的值，将所有箱的重量相加即可得到总质量； （2）分别求出总售价及总进价，即可得到销售盈利． 【详解】（1）解：， 这20箱樱桃的总质量为（千克）； （2）解：总售价为（元）， 总进价为（元）， ∵，（元）， ∴水果店在销售这批樱桃过程中是盈利，盈利元． 题型5 有理数混合运算与24点游戏 1．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 2．有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【知识点】算“24”点、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 3．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）依据题干要求选取3，，列式运算即可； （2）依据题干要求选取1，，列式运算即可； （3）按要求列式运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从中取出2张卡片，数字相减的差最大，最大值是． （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ． （3）解：由题意得：； ∴取出的4个数进行的运算式为． 4．如图，5张卡片上面分别标注了一个数，请你从中选取4张卡片，仅使用“+，－，×，÷”四种运算符号（可用括号）将这些卡片上的数连起来，组合成一个式子，使其计算结果为24．请写出两个不同的式子． 方案一：我选的是________，列出的算式是________． 方案二：我选的是________，列出的算式是________． 【答案】见解析 【知识点】算“24”点 【分析】此题考查有理数的四则混合运算．解答此题应根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数即可解决问题． 【详解】解：有如下几种方案： （1）选择，，，3，列出的算式是等； （2）选择，，，6，列出的算式是等； （3）选择，，3，6，列出的算式是等； （4）选择，，3，6，列出的算式是等； （5）选择，，3，6，列出的算式是等． 5．数学活动课上，张老师拿来5张数字卡片（如图），让同学们按照要求抽出相应的卡片，并完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小； (2)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种即可） 【答案】(1)和 (2)（答案不唯一） 【知识点】算“24”点、有理数除法的应用 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题关键是平时强化计算能力的训练，提高计算的速度和技巧． （1）要找相除商最小的就要找符号相异且绝对值最大的数和绝对值最小的数，进而求解即可； （2）答案不唯一，用加减乘除只要答数是24即可． 【详解】（1）解：根据题意得，要找相除商最小的就要找符号相异且绝对值最大的数和绝对值最小的数， ∴应抽取的卡片为和， ∴； （2）解：抽取，5，，3 ∴（答案不唯一）． 知识导图记忆 知识目标复核 1.掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算. 2.在有理数的混合运算中，能合理地利用运算律简化运算. 一、选择题 1．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数含乘方的混合运算，按照有理数的运算顺序与法则依次进行判断即可． 【详解】解：，故甲计算错误； ，故乙计算正确； ，故丙计算错误； ，故丁计算错误； 故选：B． 2．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算．利用有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：，则选项A不符合题意； ，则选项B符合题意； ，则选项C不符合题意； ，则选项D不符合题意； 故选：B． 4．计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ； 故选：A 5．如图，是一个数值转换机，若输入数为3，则输出数是（  ） A．8 B．9 C．60 D．64 【答案】C 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查程序图和有理数的计算，解决本题的关键是要根据程序图正确列式进行计算．将3输入数值转换机可得：，再根据有理数的乘方和加减法法则进行计算． 【详解】解：， ， 故选：C． 6．我们定义一种新的运算“”，并且规定：，例如：，则的值为（   ）． A．5 B． C．3 D．4 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为定义一种新的运算“”，并且规定：，所以，即可作答． 【详解】解：∵定义一种新的运算“”，并且规定：， ∴ ． 故选：A． 7．规定一种新运算：，如，则（　　） A．11 B．13 C．-3 D．-5 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，解题关键是准确理解新定义，按照新定义方法把算式转化为有理数运算，计算求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 8．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低．若该地地面温度为，高空某处温度为，则此处的高度是（   ） A．4千米 B．7千米 C．8千米 D．10千米 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 则此处的高度为． 故选：B． 9．对有理数，，规定运算如下：，则的值为（   ） A． B． C． D．24 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，理解新运算是解答的关键．根据新运算法则，先求得，再求解即可． 【详解】解：， ∴ ， 故选：D． 10．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，先把代入计算，若结果不大于1，则把结果作为新数输入计算，如此反复直至计算的结果大于1并输出，据此求解即可． 【详解】解： ， 把1作为新数输入时， ， ∴输出的结果为， 故选；A． 二、填空题 11．对于有理数，定义一种新运算，规定，则 ． 【答案】14 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的新定义运算，根据新运算的定义逐步计算。 【详解】 故答案为： 14 12．如图所示是计算机程序计算，当输入的数为4时，则输出的结果 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查有理数的加、减运算，相反数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：． 13．科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1千米，气温下降6℃．已知甲地现在的地面气温为21℃，则甲地上空10千米处的气温为 ℃． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算．用甲地现在的地面温度加上高度上升降低的温度即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 14．定义新运算：，例如：，则 ． 【答案】4 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数混合运算，先根据新定义代入，然后先算乘方，再算乘除法，最后再计算加减法. 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4. 15．在数轴上，点、点表示的数分别是，16．点以2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴向左运动．当点到达点时，点表示的数是 ． 【答案】8 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数轴、有理数的四则混合运算，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先求出点、点之间的距离为24，再求出点到达点所需时间，然后根据数轴的性质求解即可得． 【详解】解：∵在数轴上，点、点表示的数分别是，16， ∴点、点之间的距离为， ∵点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴向左运动， ∴点到达点所需时间为（秒）， 又∵点同时以2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动， ∴点表示的数是， 故答案为：8． 16．现定义一种新运算：，如，则 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ∵， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，正确掌握有理数混合运算的计算法则及运算顺序是解答本题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 18．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键； （1）根据乘法分配律进行计算即可求解； （2）根据有理数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 19．P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： ． 计算： 原式＝ ． 【答案】(1)①9；②6 (2) 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）①根据题意列式计算即可； ②根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：①按的顺序，所给数字为“”时， ； ②按的顺序，所给数字为“”时， ； （2）解：若给出某个数，按的顺序运算的结果为14， 则 ， 即符合条件的数为． 20．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24． (1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【知识点】算“24”点 【分析】（1）根据题意将其进行有理数的混合运算得到24即可； （2）假设一组数字，再进行计算即可． 【详解】（1）由题意得：； （2）由题意得，假设抽取的卡牌上的数字为：2、3、4、6， 则．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$