精品解析：2025年福建省泉州市惠安县中考模拟数学试题

2025年惠安县初中毕业班模拟考试 数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列各数中，有理数是（ ） A. 1.414 B. C. D. 2. 2025年第一季度报告数据显示，中国电子产品中的智能手机出口数量是台．用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由两个圆柱组成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某药品连续两次降价，每盒药零售价由86元降为40元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 6. 设小明同学的月零花钱为a元，其月支出情况如扇形统计图所示，那么下列说法不正确的是（ ） A. 捐赠款所对应的圆心角为 B. 小明的捐赠款为元 C. 捐赠款是购书款的2倍 D. 其他消费占 7. 若 的对角线，，则边 的长可以是（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，用一根长的铝合金型材做成一个中间有一条横档的“日字形”窗框（缝隙忽略不计），设，，则y与x之间的函数关系是（ ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数 9. 如图， 是的直径，点C、D都在上，弦 与相交于点Q．若，，，则的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 10. 已知一次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数b，使得 B. 无论实数b取什么值，都有 C. 可以找到一个实数c，使得 D. 无论实数c取什么值，都有 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，点A与点B在数轴上，，点A对应的数为，则点B所对应的数为________． 12. 若用七巧板组成的凸多边形，则其边数最大不超过________． 13. 小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则________． 14. 甲、乙、丙、丁四位同学参加学校象棋选拔赛培训．已知这四位同学近5次组内训练积分均相同，5次成绩的方差分别为，，，．若从中选拔发挥较稳定的1位选手参加县级象棋赛，则应选择________同学参赛． 15. 如图，中，， 平分交于点D，，，则长为________． 16. 如图，菱形 的四个顶点分别在双曲线与双曲线的图象上，若菱形面积的最小值是12，则k的值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在矩形 中，点E、F在边 上，，求证：． 20. 一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字，它们除了数字不同外，其他完全相同． （1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 _______． （2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 的横坐标；然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 的纵坐标．如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，求点 落在四边形 内部（含边界）的概率． 21. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 翻译成现代汉语大意是：如图所示，有一个秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．如果秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？（要求：根据题意画出图形并解答） 22. 如图，中，，，． （1）在边上求作一点D，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求的度数． 23. 已知二次函数（b、c是常数）的图象经过，两点． （1）求c的值； （2）令，求当时，y的取值范围． 24. 一部台式切割机的截面图如图1所示．点P为转动杆手把位置，A为转动杆与底座连接处的转动点，为底座，O为圆形切割片的圆心（点O在上）．已知切割机未工作时的最大仰角，，底座长．圆形切割片的半径等于． （1）切割机工作时，转动杆绕点A按顺时针方向旋转锐角，此时与相切于点G（如图2）．若，求： ①的大小； ②点到转动杆的距离． （2）现将一方形薄铁片置于底座上进行加工，切开一个长度的口子（切口大小应符合实际要求）．已知底座有凹槽，允许切割片穿过的最大深度为，请判断能否达到加工要求，并说明理由． 25. 已知是等腰直角三角形，，D是 的中点． （1）如图1，连接，将绕点 逆时针旋转 ，得到，并连接 ． ①求 长； ②连接 ，求的面积； （2）如图2，F是的中点，G是外的一点，将绕D点顺时针旋转 得到 ，连接，若，请用一个等式表示之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年惠安县初中毕业班模拟考试 数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列各数中，有理数是（ ） A. 1.414 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数与无理数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A．1.414是有理数， B．是无理数； C．是无理数； D．是无理数； 故选：A． 2. 2025年第一季度报告数据显示，中国电子产品中的智能手机出口数量是台．用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 3. 如图是由两个圆柱组成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据从正面几何体得到的平面图形是主视图即可得到答案，掌握主视图定义，发挥空间想象能力是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，几何体的主视图是： ， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 某药品连续两次降价，每盒药零售价由86元降为40元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为x，根据该药品连续两次降价，每盒药零售价由86元降为40元，列出方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得： ， 故选：C． 6. 设小明同学的月零花钱为a元，其月支出情况如扇形统计图所示，那么下列说法不正确的是（ ） A. 捐赠款所对应的圆心角为 B. 小明的捐赠款为元 C. 捐赠款是购书款的2倍 D. 其他消费占 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，用360度乘以捐赠款的百分比即可判断A；用总钱数乘以捐赠款的百分比即可判断B；用捐赠款的百分比除以购书款的百分比即可判断C；用1减去捐赠款的百分比，再减去购书款的百分比即可判断D． 【详解】解：A、捐赠款所对应的圆心角为，原说法错误，符合题意； B、，则小明的捐赠款为元，原说法正确，不符合题意； C、捐赠款是购书款的倍，原说法正确，不符合题意； D、其他消费占，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 7. 若 的对角线，，则边 的长可以是（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质求出和，在中，根据三角形三边关系定理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形，， ∴， 在中，由三角形三边关系定理得： ， 即， ∴ 的长可以是7， 故选：B． 8. 如图，用一根长的铝合金型材做成一个中间有一条横档的“日字形”窗框（缝隙忽略不计），设，，则y与x之间的函数关系是（ ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数，矩形的周长，二元一次方程，掌握矩形周长的求法是解题的关键． 根据矩形的周长是长宽之和的2倍，即可列出二元一次方程，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ， 即，为一次函数． 故选C． 9. 如图， 是的直径，点C、D都在上，弦 与 相交于点Q．若，，，则的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，含30度的直角三角形的性质，连接 ，三角形的外角求出，圆周角定理求出，进而求出 的长即可． 【详解】解：连接 ， ∵，， ∴， ∴， ∵ 是的直径， ∴， ∴， ∴的半径为2； 故选B． 10. 已知一次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数b，使得 B. 无论实数b取什么值，都有 C. 可以找到一个实数c，使得 D. 无论实数c取什么值，都有 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解题关键，求出即可判断A、B选项，求出即可判断C、D选项． 【详解】解： 一次函数的图象经过， ， ，故选项A、B均错误； 一次函数的图象经过， ， 当时，，故，故选项C正确； 当时，，故，选项D错误； 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，点A与点B在数轴上，，点A对应的数为，则点B所对应的数为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，有理数的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合数轴得点B在点A的右边，根据，点A对应的数为，则，即可作答． 【详解】解：由数轴得点B在点A的右边， ∵，点A对应的数为， ∴， ∴点B所对应的数为， 故答案为：8 12. 若用七巧板组成的凸多边形，则其边数最大不超过________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查考查了多边形内角和，一元一次不等式，根据七巧板可得能构成的最大内角为度，再列一元一次不等式即可解答，熟练利用相关知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， ， 七巧板中所有角度为， 能构成的最大内角为度 设边为， 则可得 解得， 所以其边数最大不超过， 故答案为：． 13. 小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两个锐角互余，解题关键利用直角三角形两个锐角互余求出相应角度． 根据求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：． 故答案为：． 14. 甲、乙、丙、丁四位同学参加学校象棋选拔赛培训．已知这四位同学近5次组内训练积分均相同，5次成绩的方差分别为，，，．若从中选拔发挥较稳定的1位选手参加县级象棋赛，则应选择________同学参赛． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查方差的实际应用．根据方差的意义解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故答案为：丁． 15. 如图， 中，， 平分交 于点D，，，则 长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，过点 作于 ，设，则，，可得，，利用勾股定理列方程即可，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：如图，过点 作于 ，设，则，， 平分交 于点 ，，， ， 根据勾股定理可得 ， ， ， ， 根据勾股定理可得，即， 解得（负值舍去）， ， 故答案为：． 16. 如图，菱形 的四个顶点分别在双曲线与双曲线的图象上，若菱形面积的最小值是12，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，完全平方式的非负性等知识点，难度大，计算复杂，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 设，连接，过点分别作轴，轴，垂足为点，则，则，得到，则，而，，可得，令，则，故，那么，即可求解． 【详解】解：设， 连接，过点分别作轴，轴，垂足为点，则， 由菱形和反比例函数图象均是中心对称图形可得，交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及求一个数的算术平方根和零指数幂，掌握运算法则是解题的关键． 分别计算算术平方根和零指数幂以及绝对值，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先把各分子和分母因式分解和把括号内通分以及除法运算转化为乘法运算，约分化简成最简式，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当时， ． 19. 如图，在矩形 中，点E、F在边 上，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据证明，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意证得是解答本题的关键． 20. 一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字，它们除了数字不同外，其他完全相同． （1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 _______． （2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 的横坐标；然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 的纵坐标．如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，求点 落在四边形 内部（含边界）的概率． 【答案】（1）； （2）点 落在四边形 所围成的部分内（含边界）的概率为． 【解析】 【分析】（）直接利用概率公式计算可得； （ ）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得； 此题考查了用列表法或树状图法求概率，掌握用列表法或树状图法是解题的关键． 【小问1详解】 解：（）在中，正数有个， ∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表知，共有种等可能结果，其中点 落在四边形 所围成的部分内（含边界）的有： 、、、、、、、这个， ∴点 落在四边形 所围成的部分内（含边界）的概率为． 21. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 翻译成现代汉语大意是：如图所示，有一个秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．如果秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？（要求：根据题意画出图形并解答） 【答案】秋千绳索尺 【解析】 【分析】本题考查理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解． 【详解】解：依题意，画出图形如图所示； 作于D，则尺，尺，设秋千绳索长度尺， 则尺，（尺）． 在中， 即 解得（或） 答：秋千绳索14.5尺． 22. 如图， 中，，，． （1）在边上求作一点D，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求的度数． 【答案】（1） 如图，点D即为所求， （其他方法也可，如下，法2法3 法4） （2） 【解析】 【分析】（1）过点B作 的垂线即可； （2）由（1）知，，．则，又，得出，证明，得出，即可得． 【小问1详解】 解：理由：∵， ， ∴． 【小问2详解】 解：如图，由（1）知，又， ∴． ∵， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了三角形内角和定理，尺规作图，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图形． 23. 已知二次函数（b、c是常数）的图象经过，两点． （1）求c的值； （2）令，求当时，y的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）点与点均在抛物线上，得到，再计算即可； （2）抛物线的对称轴为，可得对称轴，由于二次项系数，又，所以存在下面两种情形：①若，即时，②若，即时，分别利用二次函数的图象与性质，画图求解． 【小问1详解】 解：∵点与点均在抛物线上， ∴ 由，得， 即； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为 ∵， ∴对称轴， 由于二次项系数，又，所以存在下面两种情形： ①若，即时， 画出二次函数大致图象如图1所示， 当时，； 当时， ∴； ②若，即时， 画出二次函数大致图象如图2所示， 当时，； 当时， ∴． 综上，满足条件的y的取值范围为或． 24. 一部台式切割机的截面图如图1所示．点P为转动杆手把位置，A为转动杆与底座连接处的转动点，为底座，O为圆形切割片的圆心（点O在上）．已知切割机未工作时的最大仰角，，底座长．圆形切割片的半径等于． （1）切割机工作时，转动杆绕点A按顺时针方向旋转锐角，此时与相切于点G（如图2）．若，求： ①的大小； ②点到转动杆的距离． （2）现将一方形薄铁片置于底座上进行加工，切开一个长度的口子（切口大小应符合实际要求）．已知底座有凹槽，允许切割片穿过的最大深度为，请判断能否达到加工要求，并说明理由． 【答案】（1）①；②； （2） 解：如图2，设与相交于E、F两点，连结，过点O作于点I，交于点G． 设，则， 由勾股定理，得 ∴深度． ∵， ∴能达到加工要求． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，切线的性质． （1）①利用切线的性质结合正弦函数的定义即可求得，据此计算即可求解； ②过点作，，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）利用垂径定理求解即可． 【小问1详解】 解：①如图1，当时，与相切于点G，连结， 则，且，又，， ∴， ∴， 则； ②过点作，交于点B． ∵，， ∴， 则， ∴， 即点与转动标杆的距离为； 【小问2详解】 略 25. 已知 是等腰直角三角形，，D是 的中点． （1）如图1，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到，并连接 ． ①求 长； ②连接 ，求的面积； （2）如图2，F是 的中点，G是 外的一点，将绕D点顺时针旋转 得到 ，连接，若，请用一个等式表示之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①；② （2） 解：，证明如下： 如图2，连接 ，过B作，交 于点P． ∵D、F分别为边的中点， ∴， ∴． ， ∴， 则， ∴，， ，，， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴． ∵， ∴，即， 则， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①利用勾股定理即可解答； ②过点D作，交 延长线于点F，设 与 交于点Q，证明为等腰直角三角形，即可解答； （2）连接 ，过B作，交 于点P，证明，可得，，得到，证明，即可解答． 【小问1详解】 解：①∵，D为 边中点， ∴． ， ∴． ∵，， ∴． ②如图1，过点D作，交 延长线于点F，设 与 交于点Q． ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． ， ∴， ∴． ， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $