精品解析：宁夏回族自治区银川一中2025届高三第四次模拟考试数学试卷

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题卷 （银川一中第四次模拟考试） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 若，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为i B. C. D. 4. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A. B. C. D. 5. 平面外有两条直线，，它们在平面内的射影分别是直线，，则下列命题正确的是. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若和相交，则和相交或异面 6. 为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（　　） A. 他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人增加了2个 B. 他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数没有改变 C. 他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kg D. 他们健身后，原来体重在区间[110kg，120kg）内的肥胖者体重都有减少 7. 函数在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. 2， D. 1， 8. 如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为 A. B. 2 C. D. 9. 已知函数满足，，函数，若，则的值可以是（ ） A. 149 B. 151 C. 199 D. 300 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 10. 2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高堆积条形图． 根据图中的信息，下列结论中一定正确的是（ ）． A. 样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通 B. 样本中多数女性是35岁及以上 C. 样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多 D. 样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高 11. 已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（ ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A. B. C. 作于点，则（为坐标原点） D. 若的延长线交于点，则的内心在定直线上 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 13. 一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个位置上，则与相邻的概率为___________. 14. 在中，，则_______. 15. 在棱长为的正方体中，棱，的中点分别为，，点在平面内，作平面，垂足为．当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于_____________． 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 已知等差数列和等比数列满足，，，. （1）求和的通项公式； （2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和. 17. 如图1，在中，，，D为AC中点，于E，延长AE交BC于F，将沿BD折起，使平面平面，如图2所示． （I）求证：平面BCD； （Ⅱ）求二面角的余弦值； 18. 已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数m的值． 19. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：. 20. 为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）： 发病 没发病 合计 使用药物 10 30 40 没使用药物 25 15 40 合计 35 45 80 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值． （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题卷 （银川一中第四次模拟考试） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 若，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可 【详解】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误； 对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确； 对于C，为集合，是有序数对，故C错误； 对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误. 故选：B 2. 如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量基本定理得到，，从而求出两向量的坐标. 【详解】根据平面直角坐标系，可知，， ∴，. 故选：C. 3. 若复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为i B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的虚部、模、共轭复数、复数运算等知识求得正确答案. 【详解】复数的虚部为，A选项错误. ，B选项错误. ，C选项错误. ，D选项正确. 故选：D 4. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A不符题意； 对于B，当时，，故B不符题意； 对于C，当时，，故C不符题意； 对于D，因为，所以， 若，则， 所以“”的一个充分不必要条件可以是，故D符合题意. 故选：D. 5. 平面外有两条直线，，它们在平面内的射影分别是直线，，则下列命题正确的是. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若和相交，则和相交或异面 【答案】D 【解析】 【分析】本道题可以通过发挥空间想象能力，对每个选项逐一排除，即可． 【详解】A选项，若，则m不一定垂直n，可能m,n的夹角为钝角或者锐角，故错误；B选项，若，则a不一定垂直b，可能a,b夹角为钝角或锐角，故错误；C选项，若m平行n，则a与b可能异面，故错误；D选项，若m和n相交，可能a在b的上方，此时异面，a与b也可能相交，故正确．故选D． 【点睛】本道题考查了空间直线与直线的位置关系，关键发挥空间想象能力，逐一排除答案，即可，难度中等． 6. 为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（　　） A. 他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人增加了2个 B. 他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数没有改变 C. 他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kg D. 他们健身后，原来体重在区间[110kg，120kg）内的肥胖者体重都有减少 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分析题目中各选项中的命题，判断正误即可． 【详解】解：体重在区间[90kg，100kg）内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，所以人数增加了2个，A正确； 他们健身后体重在区间[100kg，110kg）内的百分比没有变，所以人数没有变，B正确； 他们健身后20人的平均体重大约减少了(0.3×95+0.5×105+0.2×115) (0.1×85+0.4×95+0.5×105)＝5kg，C错误； 因为图（2）中没有体重在区间[110kg，120kg）内的比例，所以原来体重在区间[110kg，120kg）内的肥胖者体重都有减少，D正确． 故选：C． 7. 函数在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. 2， D. 1， 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件即可得出，并设，然后根据即可得出，这样结合图象即可得出，从而解出，即可． 【详解】解：根据题意知，，设，且， ，解得， 结合图象，把两点的坐标代入函数解析式中得，，解得． 故选：． 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，根据点的坐标求向量的坐标的方法，五点法画的图象的方法，考查了计算能力，属于基础题． 8. 如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为 A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接,可得三角形为等边三角形，过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，可得|=2c, , ||=, ||=，连接,利用双曲线的性质, 2a=||-||=-2c=,可得离心率e. 【详解】解：由题意得： 四边形的边长为2c, 连接,由对称性可知, ||=||=2c,则三角形为等边三角形. 过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60， ||=2c,在直角三角形中, ||=, ||=, 则P(2c,), 连接, 则||=. 由双曲线的定义知,2a=||-||=-2c=, 所以双曲线的离心率为e===， 故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的相关性质及菱形的性质，灵活运用双曲线的性质是解题的关键. 9. 已知函数满足，，函数，若，则的值可以是（ ） A. 149 B. 151 C. 199 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数的特点观察的取值规律，再由函数的特点可知，当为正偶数时，，当为正奇数时，，所以只需判断中正奇数的个数为时的取值即可． 【详解】由，， 得的前项的值依次为， 观察规律可得：当时，为正偶数，， 当或时，为正奇数，， 故，易知为正偶数，故， 所以，同理可得，，， 结合选项可知n的值可为149， 故选：A． 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 10. 2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高堆积条形图． 根据图中的信息，下列结论中一定正确的是（ ）． A. 样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通 B. 样本中多数女性是35岁及以上 C. 样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多 D. 样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过等高堆积条形图构建列联表，根据条形图所呈现的信息得出列联表中各部分数量的大小关系，再依据这些关系对各个选项进行分析. 【详解】设等高堆积条形图对应的列联表如下： 项目 35岁及以上 35岁以下 合计 男性 a c 女性 b d 合计 根据第1个等高堆积条形图可知，35岁及以上的男性比女性多，即； 35岁以下的男性也比女性多，即， 根据第2个等高堆积条形图可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，即； 女性中35岁及以上的也比35岁以下的多，即， 对于选项A，男性人数为，女性人数为，，，故A正确， 对于选项B，35岁及以上女性人数为，35岁以下女性人数为d，，故B正确， 对于选项C，35岁以下男性人数为c，35岁及以上女性人数为b，由，无法直接判断b与c的大小关系，故C不一定正确， 对于选项D，35岁及以上的人数为，35岁以下的人数为，，，故D正确， 故选：ABD． 11. 已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，结合正弦函数的单调性、幂函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为，所以. A：在上是增函数，故，故本关系恒成立； B：当时，显然符合，但是不成立，故本关系式不恒成立； C: 因为在上是增函数，所以，故本关系恒成立. D：由于为单调递增函数，为单调递减函数，故为上的单调递增函数，由可得，故，故本关系式恒成立； 故选：ACD 12. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（ ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A. B. C. 作于点，则（为坐标原点） D. 若的延长线交于点，则的内心在定直线上 【答案】BCD 【解析】 【分析】设点在第一象限，根据离心率求出，可得选项A错误；根据得，结合双曲线方程可得B正确；分析得直线与双曲线相切，是切点，结合等腰三角形性质及双曲线定义可得选项C正确；分析得直线是双曲线的切线，切点分别为点，联立两切线方程表示点坐标可得选项D正确. 【详解】设双曲线的半焦距为.根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限. 对于A，由题意得，，，解得， 故，，A错误. 对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为，故，则， ∴直线的斜率存在， ∵点在直线上，∴， ∴，则， ∵，∴，故，解得，故B正确. 对于C，由题意得，点处的切线方程为，切线斜率为， ∵，故直线与双曲线相切，是切点. 由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角， 则平分，延长，与的延长线交于点，连接， 则为等腰三角形，， ∵为的中点，为的中点， ∴，故C正确. 对于D，记的内心为，则是的平分线，是的平分线， 由选项C可得，直线是双曲线的切线，切点分别为点，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立两式，解得， 由得，，设直线， 则式可化为，即点在定直线上，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 13. 一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个位置上，则与相邻的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算，，三人随机坐到其他三个位置上的所有情况，再计算“与不相邻” 的情况，利用古典概型的概率公式，即得解 【详解】，，三人随机坐到其他三个位置上，共有种等可能情况， 要使与不相邻，则必坐在的对面，此时与的坐法共有2种情况， 所以根据古典概型求概率公式可知与相邻的概率为. 故答案为： 14. 在中，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据正弦定理得到，即可求出，再利用余弦定理即可求解. 【详解】解：， 由正弦定理得：， 又， 即， 由余弦定理得：， 即， 解得：. 故答案为： . 15. 在棱长为的正方体中，棱，的中点分别为，，点在平面内，作平面，垂足为．当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】 由正方体性质可知平面平面，且平面，故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正 投影图形全等，故可求得投影的面积，即为所求解. 【详解】由正方体性质可知平面平面，且平面， 故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正投影图形全等， 又为正三棱锥， 故正投影如图 即再平面的正投影为， 且，，，， ， 点的轨迹所组成的图形的面积为， 故答案为：. 【点睛】根据图形特征转化为正投影,确定轨迹的图形是解题的关键. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 已知等差数列和等比数列满足，，，. （1）求和的通项公式； （2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， ∴，， ∴，. （2）当的前60项中含有的前6项时，令， 此时至多有项（不符）. 当的前60项中含有的前7项时，令， 且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项. ∴. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析新数列是由和中的哪些选项构成的，还要注意去掉公共项. 17. 如图1，在中，，，D为AC中点，于E，延长AE交BC于F，将沿BD折起，使平面平面，如图2所示． （I）求证：平面BCD； （Ⅱ）求二面角的余弦值； 【答案】（I）证明：∵平面平面BCD，交线为BD， 又在中，于E，平面ABD， ∴平面BCD． （Ⅱ）. 【解析】 【分析】（I）由面面垂直的性质定理得证线面垂直； （Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值． 【详解】（I）略 （II）由（I）知平面BCD，∴， 由题意知，又， 如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ∴，，， 则，，，，，， ，， 由平面BCD知平面BCD的一个法向量为， 设平面ADC的一个法向量， 则，取，得， ∴， ∴二面角的平面角为锐角，故余弦值为． 【点睛】方法点睛：本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，用空间向量法求二面角．在图形中有相互垂直的三条直线时，常常建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角．这种方法用计算代替证明，考查了学生运算求解能力． 18. 已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数m的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得实数m的值． 【小问1详解】 由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，， ∴椭圆C的方程为． 【小问2详解】 将直线方程与椭圆联立， 消去y得：.由题，其判别式大于0. 设，，由韦达定理得： .又由题可得 . 则实数m的值为1. 19. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：. 【答案】（1） （2）和 （3）当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值等于， 令，所以， 在上在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性求解出函数的极值即可 （2）当时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间 （3）分和讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于. 【小问2详解】 因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. 【小问3详解】 略 20. 为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）： 发病 没发病 合计 使用药物 10 30 40 没使用药物 25 15 40 合计 35 45 80 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值． （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关； （2） 由条件可得， 由表中数据可知，，，则. （3） 【解析】 【分析】（1）求得卡方值，与临界值进行比较即可； （2）利用条件概率的概率公式、对立事件的概率公式、以及全概率公式进行化简，再利用表中数据求出，即可； （3）先求出频率，则服从二项分布，按照二项分布列出其分布列，并求其期望即可. 【小问1详解】 提出零假设该药物与预防该疾病无关， 根据表格得出，， 由此推断不成立， 则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 样本中没发病的动物有只，其中使用药物的有只， 则使用药物且没发病的频率为， 将频率视作概率，则， 则，， ，， 则的分布列为： 期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $