精品解析：河北省衡水市武强中学2024-2025学年高二下学期期末数学试题

武强中学2024-2025学年度下学期期末考试 高二数学试题 出题人：吉岩岩 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 3. 随机变量的分布列如表格所示，若构成等差数列，则（ ） 0 1 A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 0 5. 已知随机变量服从二项分布若，则（ ） A. 144 B. 48 C. 24 D. 16 6. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 7. 某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 B. 的展开式中二项式系数和为32 C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 D. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.95和0.8，则模型甲的拟合效果更好 10. 2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（ ） A. 《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法 B. 两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法 C. 两部动画片相邻放映，共有48种排法 D. 3部喜剧电影不相邻，共有24种排法 11. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C. 展开式中的系数为 D. 若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 13. 已知在的二项展开式中，所有项的系数和为，所有项的二项式系数和为，则__________________. 14. 在的展开式中，不含的所有项的系数和为______（用数值作答）. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 （1）若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ （2）若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 16. “茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. （1）从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； （2）若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． （1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； （2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 18. 某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. （1）求和的值； （2）估计目标用户对该设备有需求的概率； （3）是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 19. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武强中学2024-2025学年度下学期期末考试 高二数学试题 出题人：吉岩岩 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数解析式得集合，再应用集合的交运算求结果. 【详解】由题设，而，可得. 故选：C 2. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性计算即可求解. 【详解】由题意得， 由正态曲线的对称性知， 所以． 故选：C 3. 随机变量的分布列如表格所示，若构成等差数列，则（ ） 0 1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项和分布列性质列方程求出即可得解. 【详解】因为构成等差数列，所以， 又，所以，，所以. 故选：C 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，可得， 令，可得， 所以， 故选：A 5. 已知随机变量服从二项分布若，则（ ） A. 144 B. 48 C. 24 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布方差公式，结合方差的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， ， ， 故选：D 6. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数． 【详解】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大， 它的展开式共计有9项，， 故二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：C． 7. 某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是， 其中高一、高二、高三年级人数比为， 根据全概率公式可得：全校“优秀率”为. 故选：C. 8. 已知，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由赋值法逐项判断A，C，D即可，对于B，求展开式中第7项的系数即可. 【详解】对于A，取，得，故A错误； 对于B，的展开式中第7项为， 所以，故B错误； 对于C，取得， 所以，故C错误； 对于D，由， 取得， 取得， 所以，故D正确. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 B. 的展开式中二项式系数和为32 C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 D. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.95和0.8，则模型甲的拟合效果更好 【答案】ABD 【解析】 【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求得，可判定A正确；根据二项式展开式的二项式系数的性质，可判定B正确；根据独立性检验的定义，可判定C错误；根据决定系数越大，拟合效果越好，可判定D正确. 【详解】对于A中，将样本点中心点代入回归方程为， 可得，解得，所以A正确； 对于B中，二项式的展开式中二项式系数和为，所以B正确； 对于C中，在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，所以C错误； 对于D中，根据决定系数的含义知：决定系数越大，模型拟合效果越好， 由，所以模型甲的拟合效果更好，所以D正确. 故选：ABD. 10. 2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（ ） A. 《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法 B. 两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法 C. 两部动画片相邻放映，共有48种排法 D. 3部喜剧电影不相邻，共有24种排法 【答案】ABC 【解析】 【分析】由特殊元素优先法即可判断A，由倍缩法即可判断B，由捆绑法即可判断C，由插空法即可判断D. 【详解】对于A，先从剩下的四场中选一场排《哪吒之魔童闹海》，然后另外的4部电影全排列， 则有种排法，故A正确； 对于B，5部电影全排列有种排法，因为两部动画片放映的先后顺序固定， 则有种排法，故B正确； 对于C，先将两部动画片捆绑，再与另外三部电影全排列， 则有种排法，故C正确； 对于D，先排两部动画片，刚好形成3个空，将三部喜剧电影插入这3个空， 则有种排法； 故选：ABC 11. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C. 展开式中的系数为 D. 若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意写出展开式的通项，根据组合数的对称性、二项式系数之和、赋值法以及二项式系数的单调性，逐项检验，可得答案. 【详解】由，则其展开式的通项为， 对于A，根据题意可得，由组合数的性质可知，故A正确； 对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误； 对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C错误； 对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得， 可得展开式的通项为，即每项系数均为该项的二项式系数， 易知展开式中第6项为二项式的中间项，则其系数最大，故D正确. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，， 所以， 所以， 因为，所以 故答案为：0. 13. 已知在的二项展开式中，所有项的系数和为，所有项的二项式系数和为，则__________________. 【答案】272 【解析】 【分析】利用赋值法求出，再利用二项式系数的和即可. 【详解】取，则，而， 所以. 故答案为：272 14. 在的展开式中，不含的所有项的系数和为______（用数值作答）. 【答案】 【解析】 【分析】先将问题转化为各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案. 【详解】二项式， 其展开式的通项为， 令，则， 则不含的项的系数和等于的各项系数之和， 令，则. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 （1）若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ （2）若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 【答案】（1）150 （2）14 【解析】 【分析】（1）按照1，1，3或1，2，2两种方式，先分组再分配即可； （2）先考虑5人中选3人安排到全程马拉松项目的所有情况，再计算甲乙两人在同一个项目的情况，利用间接法即可. 【小问1详解】 将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法， 若为1，1，3，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种； 若为1，2，2，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种， 所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案. 【小问2详解】 先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法， 然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有种， 则共有种分配方案， 若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的3人每个项目安排1人即可，有种分配方案， 最后共有种分配方案. 16. “茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. （1）从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； （2）若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式计算即可； （2）应用贝叶斯公式计算即可. 【小问1详解】 设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； 【小问2详解】 设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． （1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； （2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 ． 【解析】 【分析】（1）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，分别为甲击中目标2次且乙击中目标0次与甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可； （2）甲的设计过程可看作独立重复试验，所以，根据二项分布即可求解. 【小问1详解】 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． 【小问2详解】 由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 18. 某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. （1）求和的值； （2）估计目标用户对该设备有需求的概率； （3）是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） （2）； （3）有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于m，n的等量关系式即可求解； （2）由题设数据结合古典概型直接计算即可得解； （3）列出列联表，计算出卡方值即可判断得解. 【小问1详解】 由题得； 【小问2详解】 由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为； 【小问3详解】 列出列联表： 学校用户 非学校用户 总计 有需求 300 270 570 无需求 100 170 270 总计 400 440 840 零假设学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异. 由表格得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 19. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1）0.92，线性相关性程度很强． （2），15.9百亿． 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的计算公式可得，再判断可得答案； （2）根据公式求线性回归方程，再将代入方程进行预测. 【小问1详解】 由已知得，， ，， ， 故， ，所以线性相关性程度很强； 【小问2详解】 ，， 则， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以预计2025年该平台的交易额为15.9百亿． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $