学习概率需弄清三个区别&从不同侧面理解分层抽样-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■瞿 川 概率与人们的生活密切相关,在生活、生 产和科研等各个领域都有广泛的应用。学习 概率需要弄清三个区别。 区别一:随机事件与必然事件 例1 在1,2,3,…,10这十个数字中,任 取三个不同的数字,那么“这三个数字的和大 于5”这一事件是( )。 A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.以上选项均有可能 解:从1,2,3,…,10这十个数字中任取 三个不同的数字,则这三个数字的和的最小 值为1+2+3=6,所以事件“这三个数字的 和大于5”一定会发生。结合必然事件的定 义可知,该事件是必然事件。应选A。 评注:随机事件在一次试验中是否发生 虽然不能事先确定,但是在大量重复试验的 情况下,随机事件的发生呈现一定的规律性。 在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω 总会发生,我们称Ω 为必然事件。 区别二:和事件与积事件 例2 某市体操队有6名男生,4名女 生,现任选3人去参赛,设事件A={选出的3 人有1名男生,2名女生},事件B={选出的 3人有2名男生,1名女生},事件C={选出 的3人中至少有1名男生},事件D={选出 的3人中既有男生又有女生}。 问:(1)事件D 与A,B 是什么样的运算 关系? (2)事件C 与A 的交事件是什么事件? 解:(1)对于事件 D,可能的结果为1名 男生2名女生,或2名男生1名女生,所以 D=A∪B。 (2)对于事件C,可能的结果为1名男生 2名女生,2名男生1名女生,3名男生,所以 C∩A=A。 评注:进行事件的运算时,一是要紧扣运 算的定义,二是要列出同一条件下的试验可 能出现的全部结果。 区别三:互斥事件与对立事件 例3 某小组有3名男生和2名女生,从 中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每 对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们 是不是对立事件。 ①“恰有1名男生”与“恰有2名男生”; ②“至少有1名男生”与“全是男生”;③“至少 有1名男生”与“全是女生”;④“至少有1名 男生”与“至少有1名女生”。 解:从3名男生和2名女生中任选2人 有三种结果:2名男生,2名女生,1男1女。 ①“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有 2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件。 当选取的结果是2名女生时,它们都不发生, 所以不是对立事件。 ②“至少有1名男生”包括2名男生和1 男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同 时发生,所以它们不是互斥事件。 ③“至少有1名男生”与“全是女生”不可 能同时发生,所以它们是互斥事件。因为它 们必有一个发生,所以它们是对立事件。 ④“至少有1名女生”包括1男1女和2 名女生两种结果,当选出的是1男1女时, “至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时 发生,所以它们不是互斥事件。 评注:事件A,B 互斥包括三种情况:若 事件A 发生,则事件B 就不发生;若事件B 发生,则事件A 就不发生;事件A,B 都不发 生。事件A,B 是对立事件,仅有前两种情 况,因此事件 A 与B 是对立事件,则 A∪B 是必然事件,但若A 与B 是互斥事件,则不 一定是必然事件,即 A 的对立事件只有一 个,而A 的互斥事件可以有多个。 作者单位:湖北省恩施市第三高级中学 (责任编辑 王琼霞) 61 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月 ■刘长柏 统计的基本思想方法是用样本来估计总 体,即用局部推断整体。分层抽样是当总体 由差异明显的几部分组成时采用的抽样方 法,分层抽样是一种比较实用、操作性强、应 用广泛的抽样方法。 一、分层抽样的理解 例1 ①植物根据植株的高度及分枝部 位等可以分为乔木、灌木和草木三大类,某植 物园需要对其园中的不同植物的干重(烘干后 测定的质量)进行测量;②检测员拟对一批新 生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测。 上述两项调查应采用的抽样方法是( )。 A.①用简单随机抽样,②用分层抽样 B.①用简单随机抽样,②用简单随机抽样 C.①用分层抽样,②用简单随机抽样 D.①用分层抽样,②用分层抽样 解:①乔木、灌木、草木,分类明显,可以 采用分层抽样。②并设有明显分层特点,且 样本容量较小,可以采用简单随机抽样。应 选C。 名师点睛:分层抽样适用于总体由差异 明显的几部分组成,为了使样本能充分地反 映总体的情况,常将总体分成几部分,然后按 照各部分所占的比例进行抽样。 二、利用分层抽样计算样本的个数 例2 以“塑造软件新生态,赋能发展新 变革”为主题的第二十五届中国国际软件博 览会于2023年8月31日在天津开幕。本次 参会人员分不同区域落座,其中某个区域的 男性参会人员有25人,女性参会人员有15 人,现按性别比例进行分层抽样,若从该区域 随机抽取16位参会人员,则女性参会人员应 抽取的人数为 。 解:由题意得抽样比为5∶3,所以女性 参会人员应抽取的人数为16× 3 5+3=6 。 名师点睛:分层抽样时,每层入样的个体 数为该层的个体数乘以抽样比。 三、利用分层抽样计算样本容量 例3 2024年某高校有2400名毕业生参 加国家公务员考试,其中专科生有200人,本 科生有1000人,研究生有1200人,现用分层 抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学 习资料的情况,从中抽取一个容量为n 的样 本,已知从专科生中抽取10人,则n= 。 解:每个个体被抽到的概率为10 200= 1 20 , 所以n=2400× 1 20=120 。 名师点睛:分层抽样应注意三点:分层抽 样中分多少层、如何分层要视具体情况而定, 总的原则是层内样本的差异要小,各层之间 的样本差异要大,且互不重叠;为了保证每个 个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比 等可能抽样;在每层抽样时,应采用简单随机 抽样的方法。 四、分层抽样的平均数 例4 田径队有男运动员48人,女运动 员36人,用分层抽样从全体运动员中抽取一 个容量为21的样本,抽出的男运动员平均身 高为177.5cm,抽出的女运动员平均身高为 168.4cm,则估计该田径队运动员的平均身 高是 。 解:由题意得田径队男、女队员的比例为 48∶36=4∶3。 设男运动员为4x 名,则女运动员为3x 名。由4x+3x=21,解得x=3,所以男运动 员12名,女运动员9名。 故该田径队运动员的平均身高大约为 177.5×12+168.4×9 21 =173.6 (cm)。 名师点睛:分清各层结构,厘清数据,利 用样本的平均数,即可估计总体的平均数。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 王琼霞) 71 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月