1.1 集合的概念-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

第一章 a P=20+2w 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 明学习目标 知结构体系 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的 关系：∈，，二者必居其一 课标 属于关系 集合 要求 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础 与元素 确定性 上，用符号语言刻画集合 集合的概念 元素特性 互异性 自然语言 无序性 集合的 列举法 集合相等 重点 重点：元素与集合的关系、集合的表示方法 表示方法 描述法 难点 难点：用描述法表示集合 常用数集的表示 图示法 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)集合的含义 ;2.集合中元素的特征 特征 含义 示例 般地，我们把研究 统称为 ,把一些 含义 叫做集合（简称为集） 给定一个集合，任何一 给定集合1,2,3)，可知 确定性 个对象在不在这个集1在该集合中，4不在该 通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小写 合中是确定的 集合中 表示 拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素 集合中的任何两个元 素都不相同.也就是 [即学即练] 互异性 集合{a,b}应满足a≠b 说，集合中的元素没有 下列所给的对象能构成集合的是 (填 重复现象 序号) 组成集合的元素间无集合{1,2,3}和{2,1,3》 无序性 ①所有的正三角形； 先后顺序之分 是同一个集合 ②高中《数学必修第一册》课本上的所有难题； 3.集合相等 ③比较小的正整数； 只要构成两个集合的元素是 ,我们就 称这两个集合是相等的， ④参加2022年北京冬奥会的国家， [即学即练] (二)元素与集合 1.（多选)下列所给的对象能构成集合的是( 1.元素与集合的关系 A.所有的平行四边形 B.花园中所有漂亮的花 给定一个集合A,如果a是集合A的元素，就说； C.接近√2的所有实数 a 集合A,记作 :如果a不是集 D.2022年北京冬奥会的所有志愿者 合A中的元素，就说a 集合A,记作2.若集合A中的两个元素分别是-2，a十1，若 3∈A,则a= 数学必修第一册 (三)集合的表示方法与分类 :3.集合的分类 1.常用数集及其记法 按集合中元素个数的多少，可将集合分为有限 集和无限集， 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 含有有限个元素的集合.例如，集合A={a, 有限集 或 b,c}是有限集 含有无限个元素的集合，例如，所有自然数组 2.集合的表示方法 无限集 成的集合是无限集 (1)自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的 :[即学即练 方法.如小于10的所有的自然数组成的集合. 、 1.(多选)下列用描述法表示的集合，正确的是() (2)列举法：把集合的所有元素 出： A.奇数集可以表示为{x∈Zx=2k十1，k∈Z} 来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫： B.“小于10的整数”构成的集合可以表示为 做列举法。 {xlx<10} (3)描述法：一般地，设A是一个集合，我们把 C.{xx>2}表示大于2的全体实数 集合A中所有具有 的元素x所： D.不等式x2-1>0的解集表示为{xx2-1>0} 组成的集合表示为{x∈AP(x). 2.集合{x|一1<x<4,x∈Z}用列举法可表示为 先写花括号 分隔线 3.用“∈”或“”填空： x∈AP(x)} 2 代表元素的共同特征 Q,元 Q,√7 R,√2+5 代表元素 (所满足的条件) R. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一集合的概念 题点二 元素与集合关系的判断 [典例1]考察下列每组对象能否构成一个集合： [典例2](1)（多选）集合M是由大于一2且小 (1)不超过20的非负数； 于1的实数构成的，则下列关系正确的是 (2)方程x2一9=0在实数范围内的解； ( (3)某校2022年在校的所有高个子同学； A.5∈M B.0∈M (4)√5的近似值的全体. C.1∈M 听课记录 D.-ZEM (2)已知集合A中元素x满足2x十a>0, a∈R,若1氏A,2∈A,则实数a的取值范围为 听课记录 ……/方法技巧/ 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是 否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定 无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无 疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可” 的，就不能构成集合 /思维升华 对点训练 判断元素和集合关系的两种方法 (多选)下列每组对象能组成一个集合的是( (1)直接法：首先明确集合是由哪些元素构成 A.未来世界的高科技产品 的，然后判断该元素在已知集合中是否出现. B.不超过20的非负数 (2)推理法：首先明确已知集合的元素具有什 C.方程x2-16=0在实数范围内的解 么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素 D.屠呦呦实验室的所有人员 所具有的特征。 第一章集合与常用逻辑用语 对点训练 对点训练 1.已知集合A={xx≤2W3,且x∈R},a=14, 1.用描述法表示下列集合： b=2√2，则 ( ) (1)不等式2x一3<1的解组成的集合A; A.a∈A且b在A B.a庄A且b∈A (2)被3除余2的正整数组成的集合B; C.a∈A且b∈A D.atA且b氏A (3)C={2,4,6,8,10}; 2.若1∈{x,x2},则x= ) (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的 A.1 B.-1 集合D C.0或1 D.0或1或-1 题点三集合的表示方法 [典例3]用适当的方法表示下列集合： （1)方程组2二3=4的解集 3x+2y=8, (2)不大于10的非负偶数组成的集合； : 2.选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是 (3)二次函数y=x2十2x-10的图象上所有点 有限集，哪些是无限集。 的纵坐标组成的集合； (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A: (4)二次函数y=x2十2x-10的图象上所有的： (2)方程x2一x十2=0的实数解构成的集合B; 点组成的集合 (3)小于8的质数组成的集合C; 听课记录 (4)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集 合D: (5)函数y=一2x2十x图象上的所有点组成的 集合E; (6)不等式2x一3<5的解组成的集合F. /方法技巧/… 集合的表示方法的选取原则 :要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方 法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通 常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素 较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点 是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明 显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或 元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知集合A={12,a2+4a,a一2}，且一3∈A,则：4.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题： a= ( “今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女 A.-1 B.-3或-1 三日一归，问三女何时相会？”则此三女前三次 C.3 D.-3 相会经过的天数用集合表示为 2.下列各组集合中，表示同一个集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)》 B.M={3,2},N={2,3} 5.已知U={a1,a2,a3,a4},集合A是集合U中的 C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} 两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个 D.M={(1,2)},N={1,2} 条件：①若a1∈A,则a2∈A;②若a3A,则 3.设A,B为两个实数集，定义集合A+B={a+ a2庄A;③若a3∈A,则a4任A.则集合A= ba∈A,b∈B}.若A={1,2,3},B={2,3},则 集合A+B中元素的个数为 ( 请做课时分层检测（一） A.3 B.4 C.5 D.6 温馨提示学习讲义参考答案与解析 第一章集合与常用逻辑用语 , (2)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8， 10,故集合可用列举法表示为{0,2,4,6,8， 1.2集合间的基本关系 1.1集合的概念 10},也可用描述法表示为{xx=21,0必备知识·自主梳理 15,n∈Z}. '(一)1.任意一个A≤BB口Ax∈B,且 必备知识·自主梳理 (3)二次函数y=x2十2x一10的图象上所·x在AA至BB星A任何一个 任何一个 (.)什美 元素元素组成的总体 有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为1 A=又 「即学即练 y,故可用描述法表示为{yy=x +2x-2.封闭曲线 3.(1)子集(2)A二C ①④「①能构成集合，其中的元素需满足 10 :「即学即练 三条边相等；②③不能构成集合，因为“难： 题”“比较小的正整数”的标准不明确，所以： (4)二次函数y=x2+2x -10的图象上所1.A[由题意，M=(1,-1},N={-1,0,1},故 组成集合的元素不确定，故不能构成集合： 有的点组成的集合中，代表元素为(t),2.M 集合二V. 故可用描述法表示为{(x,y)y=x2十2x一 [因为正方形是菱形，所以 ④能构成集合，其中的元素是参加“冬奥！ 会”的国家，门 10} NM.] 3.4 [集合{0,1}的子集有⑦，{0}，{1}， (二)1.属于a∈A不属于a度A3. ·对点训练 1.解 )不等式2x一3的解组成的集合：(S不含任何元素 {0,1},共4个. 样的 为A,则集合A中的元素是数， 财任何集合必军A 「即学即练] 1.AD「A,D中的对象是确定的，可以构成： 设代表元素为x,则x满足2x一31， :「即学即练 集合：而B,C中的对象是不确定的，不能构： 则A={x2x 31},即A={xx2} 1.(4)(5)「集合(1)中有元素0，集合(2)中 (2)设被3除余2的数为x,则x=31十2， 有元素⑦，它们都不是空集.对于集合(3)， 成集合，这是因为“漂亮”、“接近√2的实数” n∈Z,但元素为正整数，故x=3n十2， 当m<0时，m>3m,此集合不是空集，在集 的标准不明确， EN 合(4)中，不论a取何值，a十2总是大于a, 2.2[由题意知3-a十1，解得a=2.] 所以被3除余2的正整数组成的集合B= 故集合(4)是空集.对于集合(5)，x2十2.x (三)1.NN'N+ZQR {xx-31+2,1∈N}. 5一0在实数范国内无解，故集合(5)是 2.(2)一一列举(3)共同特征P(x) (3)设偶数为x,则x-2n,n∈Z 空集。 即学即练] 213 但元素是2,4,6,8,10， (2)三 1.ACD[B中，{xx10}表示“小于10的 实数”，“小于10的整数”构成的集合表示！ 所以x=21,n≤5，n∈N”, :关键能力·合作探究 所以C {xx=2n,5,n∈N"}. 典例1门 (1)B (2)ACD [(1)正方形都 为{xx10,且x∈Z}.其余的全正确 是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形 2.{0,1,2,3} 「满足一 x<4的整数是0， (4)平面直角坐标系中第二象限内的，点的 都是四边形，则Q二M二VP. 1,2,3,故用列举法可表示为{0,1,2,3}.] 横坐标为负，纵坐标为正，即x0,y>0,故！ (2)由题意得A={0,2},且空集是任何集 3. 第二象限内的点组成的集合为D{(x,y)x 合的子集，故A正确：因为A={0,2},所以 关键能力·合作探究 0.u>0 C、D正确，B错误，故选ACD. 典例1 ,解(1)对任意一个实数能判断出2，解(1)可用描述法表示为A={x1<x< 对点训练 是不是“不超过20的非负数”，所以能构成 70,x∈Z},有限集 1.C (2)因为△=1-8=-7<0， A={x-1<x2},B={x0 集合： x<1},,'.B二A. (2)能构成集合，方程只有两个实根3和 所以该方程无实数解，即集合B中不存在2.BCD 任何元素， 「由题意知，Y={⑦，{1}，{2}，{3}， {1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}},所以A∈ (3)“矮个子”无明确的标准，对于某个人算！ 所以B=⑦ Y,故A错误，易知B,CD正确.] 不算矮个子无法客观地判断，因此不能构！ (3)因为小于8的质数有2,3,5,7，所以 成一个集合； B={2,3,5,7},有限集. (4)因为方程2x2一x一3=0的实数根为 .A[集合M={aa-261, “2,k∈Z},N- (4)“√⑤的近似值”不明确精确到什么程度， 因此很难判断一个数如“2”是不是它的近· 似值，所以不能构成集合 -1,受，所以C={-1,}有限集. {aa-冬，k∈Z},因为k∈z表示所有的 整数，2k士1表示所有的奇数，所 对点训练 (5)函数y=一2x2十x图象上的所有点组 以M≤N. BCD 「由于“高科技”无明确的标准，无法！ 成的集合可表示E=(x,y)y=一2x+[典例2]解由题意可以确定集合M必含 进行客观地判断，因此A不能组成一个集： x},无限集， 有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的 合，B中任给一个实数x,可以明确地判断： (6)不等式2x一3<5的解组成的集合可表 个，因此依据集合M的元素个数分类如下」 它是不是“不超过20的非负数”，即“0≤ 示为{x2x一35}，即F={xx4},无 含有3个元素：{1,2,3}，(1,2,4}，1,2， x20”与“x<0或x>20”,两者必居其 限集 5}.含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}， 且仅居其一，故“不超过20的非负数”能组：素养演练·提升技能 {1,2,4,5}.含有5个元素：{1,2,3,4,5}. 成一个集合，C中任给 个实数r,可以明：1.D[,集合A={12,a2+4a,a-2},且 故满足条件的集合M:{1,2,3},{1,2,4}, 确地判断它是不是方程x2一16=0在实数！ 3∈A,.a2+4a=-3或a-2=-3, {1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4, 范围内的解，即“x 一16=0”与“x 16≠ 解得a=一1或a=-3. 5},{1,2,3,4,5}.综上，符合条件的集合共 0”,两者必居其一，且仅居其一，故“方程 当a=一1时，a2十4a=a一2-一3，不满足 有7个 x2一16=0在实数范围内的解”能组成一个 集合中元素的互异性，舍去；当a=一3时，：对点训练 集合，D中人员是确定的，故能组成一个！ A={12, 3, -5},符合题意.综上可知，1，，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a, 集台 -3. D.C L集合{a,b,c}的子集有：，{a}, 「典例2](1)BD(2)-4a一2 :2.BL远项A,两个集合中的元素是有序数 {b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其 [(1)W5>1,故A错误：一2<0<1，故B正 对，显然元素不同：选项C,集合M表示的： 中除{a,b,c}外，都是{a,b,c}的真子集，共 是直线x y=1上的，点，而集合N表示的 7个， 确：1在M,故C错误；一2< <1,故D 是直线x十y=1上的点的纵坐标，不是同2.解 .A={(x,y)|x十y=2,x,y∈N}, 正确」 个集合：远项D,集合M中的元素是有序 .A={(0,2),(1,1),(2,0)},A的子集 (2)因为1eA,2∈A,所以{8X)士a≤0即 数对，而集合V中的元素是实数，不是同一 有☑，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)， 2×2+a>0, 个集合：选项B,两个集合都表示由2,3这 (1,1)},{(0,2),(2,0},{(1,1),(2,0)}, 4<a2.] 两个元素构成的集合 {(0,2),（1,1),(2,0)}.A的真子集有0， 对点训练 3. 当a=1,b=2或3时，a十b=1+2=31 {(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2), 1.B[,集合A={xx2√3，且x∈R}, 或a+b=1+3=4:当a=2,b=2或3时， (1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}. 解(1)当B a=√14，b=2√2，.由√14>2√5，可得1 a十b=2十2=4或a十b=2十3=5；当a=:[典例3] 3,b=2或3时，a十b-3十2=5或a十b ≠时，如图所示 a度A:由22<25，可得b∈A.] 十3=6.所以A十B={3,4,5,6},共4个 m十1≥-2， -2m+12m15主 2.B[若1∈{x,x2},则必有x=1或x2=1.1 元素. ∴.2n-15, ①当x=1时，x2=1,不符合集合中元素的：4.{60,120,180}易得三女相会经过的天 (2n-1≥n十1 互异性，舍去：②当x一1时，解得x一一1 数是5,4,3的公倍数，它们的最小公倍数 m十1>-2， 或x=1(舍去).当x=一1时，x2=1,符合 为60，因此三女前三次相会经过的天数用 或2m一15， 题意，综上可得，x=一1.故远B.] 集合表示为{60,120,180}. 2m -1≥m十1， [典例3]解(1)解方程组{2x3v=14,5.{a,4 [假设a1∈A,则a2∈A,若ag3 解这两个不等式组，得2m≤3. 3.x+2y=8, A,则a2日A,·a3∈A,与集合A中有且仅i (2)当B=时，由十1>2m-1,得m<2. 得{工二4，)故解集可用描述法表示为 有两个元素不符，，假设不成立，，a1任A. 综上可得，m的取值范围是{mn3}. {v=-2, 假设a∈A,则aA,且aGA,则a1汇拓展] {(x,) v=一2}，也可用列举法表示为 〔x=4, A,与集合A中有且仅有两个元素不符， 1,{nm3}(1)当 .假设不成立，∴a任A故集合A={a2a3,1 B=0时，由n十1 (4,-2)}. 2n一1，得m2. 2m+1 2m-15x 经检验知符合题意.」 255