小议分层随机抽样问题&古典槪型题型例讲-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■柳丽芳 分层随机抽样也称为比例随机抽样或配 额随机抽样,分层随机抽样是常见的抽样 方法。 一、求总体容量 例1 为实现乡村生态振兴,走乡村绿 色发展之路,某乡政府采用分层随机抽样的 方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调 研,已知甲村和乙村的人数之比是10∶9,被 抽到的参与环保调研的村民中,甲村比乙村 多7人,则参加调研的总人数是( )。 A.133 B.170 C.70 D.63 解:已知甲村和乙村的人数之比是10∶ 9。由分层随机抽样,可设甲村被抽取参与调 研的村民有10a 人,则乙村被抽取参与调研 的村民有9a人,所以10a-9a=7,解得a= 7。故参加调研的总人数为10a+9a=(10+ 9)a=19×7=133。应选A。 感悟:在一个调查中,我们把调查对象的 全体称为总体。 二、求层中容量 例2 甲、乙两套设备生产的同类型产 品共4800件,采用分层随机抽样的方法从中 抽取一个样本容量为80的样本进行质量检 测。若样本中有50件产品由甲设备生产,则 乙设备生产的产品总件数为 。 解:由题设得抽样比为 80 4800= 1 60 。设甲 设备生产的产品为x 件,则 x 60=50 ,所以x= 3000。故乙设备生产的产品总件数为4800 -3000=1800。 感悟:在分层随机抽样中,总体容量等于 各层容量之和。 三、求总体样本量 例3 已知A,B,C 三种不同型号的产 品数量之比依次为4∶3∶7,现用分层随机 抽样的方法抽取容量为 N 的样本,若样本中 A 型号产品有20件,则N 为( )。 A.60 B.70 C.80 D.90 解:因为 A,B,C 三种不同型号的产品 数量之比依次为4∶3∶7,且用分层随机抽 样的方法抽取一个容量为 N 的样本,所以A 型号产品被抽取的抽样比为 4 4+3+7= 2 7 。 因为A 型号产品有20件,所以 20 N= 2 7 , 解得N=70。应选B。 感悟:在每个子总体中,独立地进行简单 随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合 在一起作为总样本。 四、求层中样本量 例4 我国古代某数学著作中有这样一 段话:今有北乡八千一百人,西乡九千人,南 乡五千四百人,凡三乡,发役五百。若用分层 随机抽样的方法从这三乡中共抽取500人服 役,则西乡比南乡多抽取的人数为( )。 A.20 B.60 C.80 D.200 解:由题设知北乡有8100人,西乡有 9000人,南乡有5400人,所以北乡,西乡,南 乡的人数之比为8100∶9000∶5400=9∶ 10∶6,所以西乡抽取的人数为 10 9+10+6× 500=200,南乡抽取的人数为 6 9+10+6× 500=120,所 以 西 乡 比 南 乡 多 抽 取200- 120=80(人)。应选C。 感悟:在分层随机抽样中,每个个体等可 能抽取,每层样本量与每层个体数量的比等 于抽样比。 作者单位:湖北省恩施市第三高级中学 (责任编辑 王琼霞) 31 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月 ■汤子豪 古典概型是概率论中最为基础且重要的 概念之一,它在高中数学中占有举足轻重的地 位。通过古典概型,我们可以对许多实际问题 进行数学建模,进而求出各种事件的概率。 一、古典概型的判断 例1 判断下列概率模型中哪些是古典 概型,并说明理由。 ①从区间[1,10]内任意取出一个数,求 取到1的概率;②从含有1的10个整数中任 意取出一个数,求取到1的概率;③向一个正 方形ABCD 内投掷一点P,求点P 恰好与点 A 重合的概率;④向上抛掷一枚不均匀的旧 硬币,求正面朝上的概率。 解:根据古典概型的特征进行判断。 ①③中的样本点有无限多个,因此不属 于古典概型。④中硬币不均匀,则“正面朝 上”“反面朝上”出现的可能性不相等,不属于 古典概型。从含有1的10个整数中任意取 出1个整数,其样本点总数为10,是有限的, 且每个数取到的可能性相等,②属于古典概 型的概率问题。 点睛:判断一个试验是不是古典概型要 抓住两点:一是有限性;二是等可能性。 二、与选人有关的问题 例2 从甲、乙、丙三人中任选两人担任 课代表,则甲被选中的概率为( )。 A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D.1 解:从甲、乙、丙三人中任选两名课代表, 共有3个结果,即(甲,乙),(甲,丙),(乙, 丙),其中甲被选中的有2个结果。故甲被选 中的概率P= 2 3 。应选C。 点睛:古典概型的概率求解步骤:求出所 有样本点的个数n;求出事件A 包含的样本 点的个数m;代入公式P(A)= m n 求解。 三、与图形有关的问题 例3 五行学说是华夏民族创造的哲学 思想,是华夏文明的重要组成部分。古人认 为,天下万物皆由金、木、水、火、土五种属性 的物质组成,如图1,分别是金、木、水、火、土 这五行彼此之间存在的相生相克的关系。若 从这五行中任选不同的两行,则这两行相克 的概率为 。 图1 解:依题意可得,从这五行中任选不同的 两行为金木,金水,火金,土金,水木,木火,木 土,水火,土水,火土,共有10种,其中两行相 克的为金木,木土,土水,水火,火金,共有5 种。所以这两行相克的概率为5 10= 1 2 。 点睛:枚举法适合于给定的样本点的个 数较少,且易一一列举出来的问题。 四、与取球有关的问题 例4 袋子里装有编号分别为1,2,3,4, 5,6的6个大小、质量完全相同的小球,某人 从袋子中一次任取3个球,若每个球被取到 的机会均等,则取出的3个球的编号之和大 于10的概率为 。 解:(方法1)依题意得总的基本事件为 123,124,125,126,134,135,136,145,146, 41 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月 156,234,235,236,245,246,256,345,346, 356,456,共20种情况,其中编号之和大于10 的可能情况为146,156,236,245,246,256, 345,346,356,456,共10种情况。所以3个 球的编号之和大于10的概率P= 10 20= 1 2 。 (方法2)依 题 意 得 总 的 基 本 事 件 为 123,124,125,126,134,135,136,145, 146,156,234,235,236,245,246,256, 345,346,356,456,共20种情况,其中编 号之和小于或等于10的可能情况为123, 124,125,126,134,135,136,145,234, 235,共10种情况,所以3个球的编号之和 大于10的概率P=1- 10 20= 1 2 。 点睛:在列出所有的基本事件时,应注意 数字的顺序,不能有遗漏。 五、与向量有关的问题 例5 已知a,b∈{-2,-1,1,2},若向 量m=(a,b),n=(1,1),则向量m 与n所成 的角为锐角的概率是( )。 A. 3 16 B. 1 4 C. 3 8 D. 7 16 解:向量m 与n 所成的角为锐角等价于 m·n>0,且m 与n不共线。由m·n=a+ b>0,可得满足条件的向量 m 为(-1,2), (1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),其中当 m=(1,1)或m=(2,2)时,m 与n 同向,即m 与n的夹角不是锐角(舍去),所以共有4种 情况满足条件。又 m 的取法共有4×4= 16(种)情况,所以向量m 与n 所成的角为锐 角的概率是 4 16= 1 4 。应选B。 点睛:若向量a,b的夹角为锐角,则a· b>0,且a与b 不共线。注意(-1,2)与(2, -1)是两个不同的向量坐标。 六、有放回抽取与无放回抽取问题 例6 一个袋中装有四个大小完全相同 的球,球的编号分别为1,2,3,4。 (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的 编号之和不大于4的概率。 (2)先从袋中随机取一个球,记该球的编 号为m,将球放回袋中,再从袋中随机取一个 球,记该球的编号为n,求n≥m+2的概率。 解:(1)从袋中随机取两个球,所有可能 的样本点为{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2, 4},{3,4},共6种可能结果。从袋中取出的 两个球的编号之和不大于4的样本点为{1, 2},{1,3},共2种可能结果。所以所求事件 的概率P= 2 6= 1 3 。 (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编 号为n,则所有结果(m,n)的样本空间Ω= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本 点。又满足条件n≥m+2的事件的样本点 为(1,3),(1,4),(2,4),共3个。所以满足条 件n≥m+2的事件的概率P= 3 16 。 点睛:解答此类问题,要分清抽取的方 式,即“有放回”与“无放回”。“有放回”是指 抽取物体时,每一次抽取之后,都把抽取的物 体放回原处,这样前后两次抽取时,被抽取的 物体的总数是一样的。“无放回”是指抽取物 体时,在每一次抽取后,把抽取的物体放到一 边,并不放回原处,这样前后两次抽取时,后 一次被抽取的物体的总数比前一次被抽取的 物体的总数小1。 若从一副52张(不含大小王)的扑克牌 中随机抽取1张,放回后再抽取1张,则2张 牌都是K的概率为 。(结果用最简分数 表示) 提示:52张的扑克牌中共有4张K,每次 取到K的概率都为 4 52= 1 13 ,故2张牌都是K 的概率P= 1 13× 1 13= 1 169 。 作者单位:湖北省黄冈应急管理职业技 术学院 (责任编辑 王琼霞) 51 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月