统计核心考点强化训练-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■刘中亮(特级教师) 一、选择题 1.从某年级300名学生中抽取50名学 生进行体重的统计分析,就这个问题来说,下 列说法正确的是( )。 A.300名学生是总体 B.每个被抽取的学生是个体 C.样本容量是50 D.样本容量是300 2.某学校在校学生有2000人,为了增强 学生的体质,学校举行了跑步和登山比赛,每 人都参加且只参加其中一项比赛,高一、高 二、高三年级参加跑步的人数分别为a,b,c, 且a∶b∶c=2∶5∶3,全校参加登山的人数 占总人数的 1 4 。为了解学生对本次比赛的满 意程度,按分层抽样的方法从中抽取一个容 量为200的样本进行调查,则应从高三年级 参加跑步的学生中抽取( )。 A.15人 B.30人 C.40人 D.45人 3.根据气象学上的标准,连续5天的日 平均气温低于10℃即为入冬,将连续5天的 日平均温度的记录数据(记录数据都是自然 数)作为一组样本,现有四组样本①②③④, 依次计算得到结果如下:①平均数 x<4; ②平均数x<4且极差小于或等于3;③平均 数x<4且标准差s≤4;④众数等于5且极 差小于或等于4。 则四组样本中一定符合入冬指标的共有 ( )。 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 4.下面关于样本的平均数和中位数的说 法中,不正确的是( )。 A.平均数是表示样本数据平均水平的 量,它到各数据点的距离的平方和最小 B.中位数是表示样本数据平均水平的 量,它到各数据点的距离和最小 C.样本的平均数和中位数都能反映总体 的“平均水平”,但平均数对样本的极端数据 反映灵敏,而中位数则相对稳健 D.样本的平均数和中位数都能反映总 体的“平均水平”,但中位数对样本的极端数 据反映灵敏,而平均数则相对稳健 5.十名工人某天生产同一零件,生产的 件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14, 12,设其中位数为a,众数为b,第一四分位数 为c,则a,b,c的大小关系为( )。 A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 6.(多选题)下列说法正确的是( )。 A.用简单随机抽样从含有50个个体的 总体中抽取一个容量为10的样本,个体 m 被抽到的概率是0.2 B.已知一组数据1,2,m,6,7的平均数 为4,则这组数据的方差是5 C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的 50%分位数是17 D.若样本数据x1,x2,…,x10 的标准差 为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的 标准差为16 7.(多选题)某学生社团有男生32名,女 生24名,从中随机抽取一个容量为7的样 本,某次抽样结果为:抽到3名男生和4名女 生,则下列说法正确的是( )。 A.这次抽样可能采用的是抽签法 B.这次抽样不可能是按性别分层随机 抽样 C.这次抽样中,每个男生被抽到的概率 一定小于每个女生被抽到的概率 32 核心考点演练 高一数学 2025年5月 D.这次抽样中,每个男生被抽到的概率 不可能等于每个女生被抽到的概率 8.(多选题)某地区公共部门为了调查本 地区中学生的吸烟情况,对随机抽出的编号 为1~1000的1000名学生进行了调查。调 查中使用了两个问题,问题1:你的编号是否 为奇数? 问题2:你是否经常吸烟? 被调查 者从设计好的随机装置(内有除颜色外完全 相同的白球50个,红球50个)中摸出一个小 球(摸完放回):摸到白球则如实回答问题1, 摸到红球则如实回答问题2,回答“是”的人 在一张白纸上画一个“√”,回答“否”的人什 么都不用做。由于问题的答案只有“是”和 “否”,而且回答的是哪个问题也是别人不知 道的,因此被调查者可以毫无顾忌地给出真 实的答案。最后统计得出,这1000人中,共 有260 人 回 答 “是”,则 下 列 表 述 正 确 的 是( )。 A.估计被调查者中约有510人吸烟 B.估计约有10人对问题2的回答为 “是” C.估计该地区约有2%的中学生吸烟 D.估计该地区约有1%的中学生吸烟 9.(多选题)为落实党中央的“三农”政 策,某市组织该市所有乡镇干部进行了一期 “三农”政策专题培训,并在培训结束时进行 了结业考试。图1是该次考试成绩的随机抽 样样本的频率分布直方图,则下列关于这次 考试成绩估计正确的是( )。 图1 A.众数为82.5 B.第80百分位数为91.7 C.平均数为88 D.没有一半以上干部的成绩在80~90 分之间 10.(多 选 题)第 一 组 样 本 数 据 为 x1, x2,…,xn,由这组数据得到第二组样本数据 为y1,y2,…,yn,其中yi=axi+b(i=1, 2,…,n),a,b 为正数,则下列命题正确的 是( )。 A.当a=1时,两组样本数据的样本平 均数不相同 B.第二组样本数据的样本极差是第一组 极差的a倍 C.第二组样本数据的样本标准差是第一 组标准差的a倍 D.第二组样本数据的样本方差是第一 组方差的a倍 11.(多选题)用分层随机抽样法从某校 高一年级学生的数学竞赛成绩(满分150分) 中抽取一个容量为120的样本,其中男生成 绩的数据有80个,女生成绩的数据有40个, 将这80个男生的成绩分为6组,绘制成如图 2所示的频率分布直方图,则下列说法正确 的是( )。 图2 A.男生成绩的样本数据在[90,110)内 的频率为0.015 B.男生成绩的样本数据的平均数为97 C.男生成绩的样本数据的第75百分位 数为118 D.若女生成绩的样本数据的平均数为 91,则总样本的平均数为95 二、填空题 12.某学校共有教职员工800人,其中不 超过45岁的有x 人,超过45岁的有320人。 为了调查他们的健康状况,用分层抽样的方 法从全体教职员工中抽取一个容量为50的 样本,应抽取超过45岁的教职员工20人,抽 取的不超过45岁的教职员工y 人,则x+ 42 核心考点演练 高一数学 2025年5月 y= 人。 13.在某地区某高传染性病毒流行期间, 为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该 地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生 专家建议的指标是“连续7天每天新增感染 人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例 数计算,下列各个选项中,一定符合上述指标 的是 。(填序号) ①平均数x≤3;②平均数x≤3且标准 差s≤2;③平均数x≤3且极差小于或等于 2;④众数等于1且极差小于或等于4。 14.已知甲、乙两组按从小到大顺序排列 的数据,甲组为27,28,37,m,40,50;乙组为 24,n,34,43,48,52。若这两组数据的第30 百分位数,第50百分位数分别对应相等,则 n m= 。 三、解答题 15.某工厂为了解员工的工作效率,需调 查A,B,C 三类工种的职工工作情况,已知 在该厂的全体职工中,A 工种占40%,B 工 种占50%,C 工种占10%。现用分层抽样的 方法从全体职工中抽取一个容量为n 的样 本。试确定: (1)若n=200,则在 A 工种,B 工种,C 工种中分别应抽取多少人? (2)若抽取的A 工种比C 工种多30人, 则抽取的B 工种有多少人? 16.某市两所高级中学联合在暑假组织 全体教师外出旅游,活动分为两条线路:华东 五市游和长白山之旅,且每位教师至多参加 了其中的一条线路。在参加活动的教师中, 高一教师占42.5%,高二教师占47.5%,高 三教师占10%。参加华东五市游的教师占 参加活动总人数的 1 4 ,且该组中,高一教师占 50%,高二教师占40%,高三教师占10%。 为了解各条线路不同年级的教师对本次活动 的满意程度,现用分层随机抽样的方法从参 加活动的全体教师中抽取一个容量为200的 样本。试确定: (1)参加长白山之旅的高一教师,高二教 师,高三教师在该组分别所占的比例。 (2)参加长白山之旅的高一教师,高二教 师,高三教师分别应抽取的人数。 17.为了丰富大学生的课外生活,某高校 团委组织了有奖猜谜知识竞赛,共有500名 学生参加,随机抽取了100名学生,记录他们 的分数,将其整理后分成4组,各组区间为 [60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并画 出如图3所示的频率分布直方图。 图3 (1)估计所有参赛学生的平均成绩(各组 的数据以该组区间的中间值为代表)。 (2)若团委决定对所有参赛学生中成绩 排在前50名的学生进行表彰,估计获得表彰 的学生的最低分数线。 18.从某中学随机抽样1000名学生,获 得了他们一周课外阅读时间(单位:h)的样本 数据,整理得到样本数据的频率分布直方图 (如图4),其中样本数据的分组区间为[0, 2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12], (12,14]。 图4 (1)求该样本数据的平均数。(同一组中 的每个数据可用该组区间的中点值代替) (2)估计该校学生每周课外阅读时间超 过8h的概率。 19.心绞痛是冠状动脉供血不足,心肌急 剧地暂时缺血与缺氧所引起的以发作性胸痛 或胸部不适为主要表现的临床综合征。在某 地随机调查10位心绞痛患者第一次出现症 状的年龄,得到如图5所示的样本数据的频 52 核心考点演练 高一数学 2025年5月 率分布直方图。 图5 (1)求频率分布直方图中a的值。 (2)估计这组数据的平均数。(同一组中 的数据以该组区间的中点值为代表) 20.镇海中学为了学生的身心建康,提高食 堂用餐质量(简称“美食”)的过程中,后勤部门 需了解学生对“美食”工作的认可程度,若学生 的认可系数 认可系数= 认可程度平均分 100 不 低于0.85,“美食”工作按原方案继续实施, 否则需进一步整改。为此该部门随机调查了 600名学生,根据这600名学生对“美食”工 作认可程度给出的评分,分成五组,即[50, 60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100], 得到如图6所示的频率分布直方图。 图6 (1)求频率分布直方图中x 的值和中位 数(保留2位小数)。 (2)为了解部分学生给“美食”工作评分 较低的原因,该部门从评分低于80分的学生 中用分层抽样的方法随机选取30人进行座 谈,求应选取评分在[60,70)的学生人数。 (3)根据你所学的统计知识,结合认可系 数,判断“美食”工作是否需要进一步整改,并 说明理由。 一、选择题 1.提示:对于A,300名学生的体重数据 是总体,A错误。对于B,每个被抽取学生的 体重数据是个体,B错误。对于C,因为要分 析50名学生的体重,所以样本是抽取的50 名同学的体重,样本容量是50,C正确。对于 D,由选项C分析知D错误。应选C。 2.提示:由题意可知,全校参加跑步的人 数为2000× 3 4=1500 ,所以a+b+c= 1500。因为a∶b∶c=2∶5∶3,所以c= 1500× 3 2+5+3=450 。因为按分层抽样的 方法从中抽取一个容量为200的样本,所以 应从高三年级参加跑步的学生中抽取的人数 为450× 200 2000=45 。应选D。 3.提示:①举反例,如0,0,0,4,11,其平 均数x=3<4,但不符合入冬指标。②假设 有数据大于或等于10,由极差小于或等于3 可知,此组数据中的最小值为10-3=7,此 时数据的平均数必然大于7,与x<4矛盾, 故假设错误,则此组数据全部小于10,符合 入冬指标。③举反例,如1,1,1,1,11,平均 数x=3<4,且标准差s=4,但不符合入冬指 标。④当众数等于5且极差小于或等于4 时,则最大数不超过9,符合入冬指标。应 选B。 4.提示:由平均数和中位数的性质可知, A,B,C均正确。从小到大排列的数据中,中 位数是中间的数(或者是中间两数的平均 数),因此不可能反映出极端数据的情况,D 不正确。应选D。 5.提示:对生产的件数由小到大的排序 为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,所以 中位数a= 15+15 2 =15 ,众数b=17。因为 10×0.25=2.5,所以第一四分位数为第三个 数,即c=14。故c<a<b。应选B。 6.提示:对于 A,一个总体含有50个个 体,某个个体被抽到的概率为1 50 ,以简单随机 抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的 样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 1 50×10= 1 5=0.2 ,A正确。对于B,由数据 62 核心考点演练 高一数学 2025年5月 1,2,m,6,7的平均数是4,可得m=4×5- 1-2-6-7=4,则这组数据的方差是s2= 1 5 [(1-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2+ (7-4)2]= 26 5 ,B错误。对于C,由8×50% =4,可得第50百分位数为 17+19 2 =18 ,C错 误。对于D,结合题意得方差 D(x)=82,则 D(2x-1)=22×D(x)=162,所 以 数 据 2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为16, D正确。应选AD。 7.提示:根据抽样结果,此次抽样可能采 用的是抽签法,A正确。若按分层抽样,则抽 取的男女人数分别为4,3,所以这次抽样不 可能是按性别分层随机抽样,B正确。若按 抽签法,则每个男生被抽到的概率和每个女 生被抽到的概率均相等,C,D 错误。应选 AB。 8.提示:随机抽出的1000名学生中,回 答第一个问题的概率是 1 2 ,其编号是奇数的 概率也是 1 2 ,所以回答问题1且回答“是”的 学生人数为1000× 1 2× 1 2=250 ,则回答问 题2且回答“是”的人数为260-250=10。由 此可估计该地区中学生吸烟人数的百分比为 10 500=2% ,估计被调查者中吸烟的人数为 1000×2%=20。应选BC。 9.提示:由图可知,众数出现在[80,85) 内,所以众数为82.5,A正确。由图可得,该 次考试成绩在90分以下所占比例为5× (0.01+0.03+0.06+0.05)=0.75,在95分 以下所占比例为5×(0.01+0.03+0.06+ 0.05+0.03)=0.9,因此第80百分位数一定 位于[90,95)内,所以第80百分位数为90+ 5× 0.8-0.75 0.9-0.75≈91.7 ,B 正 确。平 均 数 为 (0.01×72.5+0.03×77.5+0.06×82.5+ 0.05×87.5+0.03×92.5+0.02×97.5)× 5=85.5,C错误。由(0.06+0.05)×5= 0.55>0.5,可知有一半以上干部的成绩在 80~90分之间,D错误。应选AB。 10.提示:设第一组数据x1,x2,…,xn 的 平均数为x,方差为s2,则ax1+b,ax2+ b,…,axn+b 的平均数为ax+b,方差为 a2s2。对于 A,根据以上性质及b>0可知, 第二组样本数据的平均数为x+b>x,故平 均数不相同,A正确。对于B,由极差的定义 知,若第一组的极差为xmax-xmin,则第二组 的极差为ymax-ymin=a(xmax+b)-a(xmin+ b)=a(xmax-xmin)且a>0,即第二组样本数 据的样本极差是第一组的a 倍,B正确。对 于C、D,根据样本数据的上述性质,第二组样 本数据的样本方差是第一组方差的a2 倍,第 二组样本数据的样本标准差是第一组标准差 的a倍,C正确,D错误。应选ABC。 11.提示:由频率分布直方图可得,男生 成绩的样本数据在[90,110)内的频率为1- (0.0025+0.0075+0.0075+0.0125+ 0.005)×20=0.3,A错误。男生成绩的平均 数为40×0.05+60×0.15+80×0.15+ 100×0.3+120×0.25+140×0.1=97,B正 确。易得男生成绩的样本数据低于110的频 率为0.65,男生成绩的样本数据低于130的 频率为0.9,所以男生成绩的样本数据的第 75百分位数为110+ 0.1 0.0125=118 ,C正确。 易得总样本的平均数为 80 80+40×97+ 40 80+40 ×91=95,D正确。应选BCD。 二、填空题 12.提示:由题意知学校共有教职员工 800人,抽取一个 容 量 为50的 样 本,所 以 x+320=800, 20+y=50, 解得 x=480 , y=30, 所以x+y= 510(人)。 13.提示:平均数不大于3,有可能其中 某个值大于5,①不符合指标。举反例,0,3, 3,3,3,3,6,其平均数x=3,且标准差s= 18 7<2 ,②不符合指标。平均数x≤3且极 差小于或等于2,最大值必不大于5,③符合 指标。当众数等于1且极差小于或等于4 时,则最大值必不大于5,④符合指标。答案 72 核心考点演练 高一数学 2025年5月 为③④。 14.提示:因为6×0.3=1.8,6×0.5= 3,所以甲组的第30百分位数为28,乙组的第 30百分位数为n,则n=28。由甲组的第50 百分位数为 m+37 2 ,乙组的第50百分位数为 34+43 2 = 77 2 ,可得m+37 2 = 77 2 ,所以m=40, 所以 n m= 28 40= 7 10 。 三、解答题 15.提示:(1)若n=200,则在A 工种中 抽取的人数为200×40%=80,B 工种中抽 取的人数为200×50%=100,C 工种中抽取 的人数为200×10%=20。 (2)若抽取的A 工种比C 工种多30人, 则40%×n-10%×n=30,解得n=100,则 抽取的B 工种的人数为100×50%=50。 16.提示:(1)设参加华东五市游的人数 为x,参加长白山之旅的高一教师,高二教 师,高三教师所占的比例分别为a,b,c,则 x·40%+3xb 4x =47.5% ,x ·10%+3xc 4x = 10%,解得b=50%,c=10%,所以a=100% -50%-10%=40%。 故参加长白山之旅的高一教师,高二教 师,高 三 教 师 在 该 组 所 占 的 比 例 分 别 为 40%,50%,10%。 (2)参加长白山之旅的高一教师应抽取 的人数为200× 3 4×40%=60 ,抽取的高二 教师人数为200× 3 4×50%=75 ,抽取的高 三教师人数为200× 3 4×10%=15 。 17.提示:(1)由10×(0.01+0.03+m+ 2m)=1,可得m=0.02。所以这100名参赛 学生 的 平 均 成 绩 约 为 0.01×10×65+ 0.03×10×75+0.04×10×85+0.02×10× 95=82(分),故估计所有参赛学生的平均成 绩为82分。 (2)获得表彰的学生人数的频率为 50 500= 0.1。设获得表彰的学生的最低分数线为x。 由分 数 在 区 间 [90,100]的 频 率 为 10× 0.02=0.2,且前50名的频率为0.1,可知 x∈[90,100]。由(100-x)×0.02=0.1,可 得x=95,所以估计获得表彰的学生的最低 分数线为95分。 18.提示:(1)依题意结合频率分布直方 图可得,该周课外阅读时间在(8,10]的频率 为1-2×(0.025+0.05+0.075+0.15+ 0.075+0.025)=0.2,所以该样本数据的平 均数为2×(0.025×1+0.05×3+0.075× 5+0.15×7+0.075×11+0.025×13)+ 0.2×9=7.3。 (2)每周课外阅读时间超过8h的频率 为0.2+2×(0.075+0.025)=0.4,所以估 计该校学生每周课外阅读时间超过8h的概 率为0.4。 19.提示:(1)由频率分布直方图可知, 0.005×10+0.015×10+0.02×10+a× 10+0.015×10+0.01×10+0.005×10=1, 所以a=0.03。 (2)由频率分布直方图可知,这组数据的 平均数为25×0.05+35×0.15+45×0.2+ 55×0.3+65×0.15+75×0.1+85×0.05= 53.5。 20.提示:(1)由图可知,x+0.015+ 0.02+0.03+0.025= 1 10 ,解得x=0.01,所 以中位数为80+ 0.5-(0.1+0.15+0.2) 0.3 × 10=80+ 5 3= 245 3 ≈81.67 。 (2)低于80分的学生中三组学生的人数 比(频率之比)为0.1∶0.15∶0.2=2∶3∶ 4,则应选取评分在[60,70)的学生人数为 30× 3 2+3+4=10 。 (3)由图可知,认可程度平均分为55× 0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95× 0.25=79.5<0.85×100=85,所以“美食”工 作需要进一步整改。 作者单位:河南省开封市第十中学 (责任编辑 郭正华) 82 核心考点演练 高一数学 2025年5月