统计常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■叶 超 统计是高中数学的重要内容,是高考的 常考知识点,同学们要掌握三种抽样方法的 应用,掌握频率分布直方图的应用,会用样本 的频率分布估计总体分布,理解百分位数,平 均数,中位数,众数的概念及应用。 题型一:样本的平均数估计总体的平均数 解答这类问题,根据题设条件,结合样本 平均数和总体平均数之间的关系进行求解。 例1 已知某样本的容量为50,平均数为 70。现发现在收集这些数据时,其中的两个数 据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错 将70记录为90,在对错误的数据进行更正后, 重新求得的样本平均数为x,则( )。 A.x=70 B.x>70 C.x<70 D.x 的大小无法判断 解:根据题意得80+70=60+90,可知 修改前后数据的总和不变,所以在对错误的 数据进行更正后,重新求得的样本平均数x 不变,即x=70。应选A。 跟踪训练1:某样本的平均数为a,总体 平均数为m,那么( )。 A.a=m B.a>m C.a<m D.a是m 的估计值 提示:已知样本平均数为a,总体平均数 为m,利用样本数据估计总体数据,可知样本 平均数a是总体平均数m 的估计值。应选D。 题型二:分层随机抽样中的相关计算 在分层随机抽样中,确定抽样比k 是抽 样的关键。按抽样比k= n N (N 为总体容量, n为样本容量),在各层中抽取个体。在每层 抽样时,常采用简单随机抽样的方法。 例2 某中学有高中生1800人,初中生 1200人,为了解学生课外锻炼情况,用分层 抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样 本。已知从高中生中抽取的人数比从初中生 中抽取的人数多24,则n= 。 解:由题意可知,分层抽样按照n∶3000 的比例进行抽取,所以高中生抽取的人数为 1800× n 3000= 3n 5 ,初 中 生 抽 取 的 人 数 为 1200× n 3000= 2n 5 。因为从高中生中抽取的 人数比从初中生中抽取的人数多24,所以 3n 5- 2n 5=24 ,解得n=120。 跟踪训练2:某地区高中分三类,A 类学 校共有学生2000人,B 类学校共有学生 3000人,C 类学校共有学生4000人,若采用 分层抽样的方法抽取900人,则A 类学校中 的学生甲被抽到的概率为 。 提示:高中学生的总人数为2000+3000 +4000=9000,所以所求概率为 900 9000= 1 10 。 题型三:分层随机抽样的平均数 涉及分层抽样的平均数问题,根据题目 条件,结合分层随机抽样的抽样比求解。 例3 某中学高一年级有女生380人,男 生420人,学校想通过抽样的方法估计高一 年级全体学生的平均体重。学校从女生和男 生中抽取的样本分别为40和80,经计算这 40个女生的平均体重为49kg,80个男生的 平均体重为57kg,依据以上条件,估计高一 年级全体学生的平均体重最合理的计算方法 为( )。 A. 49+57 2 B. 40 800×49+ 80 800×57 C. 40 120×49+ 90 120×57 D. 380 800×49+ 420 800×57 解:用女生样本的平均体重49kg估计 女生总体的平均体重,用男生样本的平均体 重57kg估计男生总体的平均体重,按女生 和男生在总人数中的比例计算总体的平均体 重,D选项最合理。应选D。 04 经典题突破方法 高一数学 2025年5月 跟踪训练3:某校有住宿的男生400人, 住宿的女生600人,为了解住宿生每天的运 动时间,通过分层随机抽样的方法抽取100 名学生,其中男生、女生每天运动时间的平均 值分别为100min、80min。结合此数据,请 你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平 均值为 。 提示:由分层抽样的性质得抽取男生人 数为100× 400 400+600=40 ,女生人数为100× 600 400+600=60 ,则样本中学生每天运动时间 的平均值x= 40×100+60×80 100 =88 (min), 所以估计该校全体住宿学生每天运动时间的 平均值为88min。 题型四:频率分布直方图的相关计算 涉及频率分布直方图的相关计算问题,需 掌握下列关系式:小长方形的面积=组距× 频率 组距=频率;各小长方形的面积之和等于1; 频数 样本容量=频率,样本容量×频率=频数。 例4 随着卡塔尔世界杯的举办,全民 对足球的热爱程度有所提高,组委会在某场 比赛结束后,随机抽取了若干名球迷对足球 “喜爱度”进行调查评分,把喜爱程度较高的 按年龄分成5组,其中第一组为[20,25),第 二组为[25,30),第三组为[30,35),第四组为 [35,40),第五组为[40,45],得到如图1所示 的频率分布直方图。已知第一组与第二组共 有32人,第三组中女性球迷有4人,则第三 组中男性球迷的人数为 。 图1 解:由题意结合频率分布直方图可得,第 一组与第二组的频率之和为(0.01+0.07)× 5=0.4,第三组的频率为0.06×5=0.3。因为 第一组与第二组共有32人,所以样本容量 n= 32 0.4=80 ,所以第三组的人数为80×0.3= 24。故第三组中男性球迷人数为24-4=20。 跟踪训练4:图2是一学校期末考试中某 班物理成绩的频率分布直方图,数据的分组 依次为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80), [80,90),[90,100],若成绩不低于70分的人 数比成绩低于70分的人数多4,则该班的学 生人数为 。 图2 提示:由题意得10×(0.004+a+0.022+ 0.026+a+0.008)=1,所以a=0.02。因为低 于70分 的 频 率 为10×(0.004+0.02+ 0.022)=0.46,所以不低于70分的频率为 1-0.46=0.54。设该班的学生人数为n,则 n×0.54-n×0.46=4,所以n=50。 题型五:百分位数的有关问题 涉及百分位数问题,结合计算一组数据 的第p 百分位数的步骤进行分析与判断。 例5 某校从高一新生中随机抽取了一 个容量为10的身高样本,数据(单位:cm)从 小到 大 排 序 如 下:158,165,165,167,168, 169,x,172,173,175。若样本数据的第60百 分位数是170,则x= 。 解:样本容量为10,样本数据从小到大 排序为158,165,165,167,168,169,x,172, 173,175。因为10×60%=6,所以第60百分 位数为 169+x 2 。由已知得169+x 2 =170 ,所 以x=171。 跟 踪 训 练 5:《中 国 居 民 膳 食 指 南 (2022)》数据显示,6岁至17岁儿童青少年 超重肥胖率高达19%。为了解某地中学生 的体重情况,某机构从该地中学生中随机抽 取100名学生,测量他们的体重(单位:kg), 14 经典题突破方法 高一数学 2025年5月 根据测量数据,按[40,45),[45,50),[50, 55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六组,得 到的频率分布直方图如图3所示。根据调查 的数据,估计该地中学生体重的第75百分位 数是 。 图3 提示:因为(0.01+0.03+0.08)×5= 0.6<0.75,0.6+0.04×5=0.8>0.75,所以 该地中学生体重的第75百分位数在[55,60) 内。设第75百分位数为 m,则(m-55)× 0.04+0.6=0.75,解得m=58.75。 题型六:众数、中位数、平均数的应用 中位数不受极端值的影响,能够较好地 反映数据的“中等水平”;众数反映了一组数 据的“多数水平”,适用于测度分类数据的集 中趋势;平均数反映了一组数据的平均水平, 是数据集中趋势的最主要测度值。 例6 某企业有1000名职工,现按照总 体的10%抽取样本,通过分层抽样得到的年 收入,如表1所示。 表1 年收入(元)50万 15万 8万 4万 3万 1.2万 人数 1 6 15 55 20 3 某次工资上调中,只提高了最低收入,即 从年收入1.2万元提高到2万元,其他职工 的收入不变,则下列关于本企业职工年收入 的说法中正确的是( )。 A.平均数和众数都提高了 B.平均数和中位数都提高了 C.平均数不变,中位数提高了 D.中位数和众数不变,平均数提高了 解:因为提高了最低收入,即从年收入 1.2万元提高到2万元,其他职工的收入不 变,所以平均数提高了。提高最低收入后,有 1人年收入50万,6人年收入15万,15人年 收入8万,55人年收入4万,20人年收入3 万,3人年收入2万,所以众数还是4万,中位 数还是4万,即众数和中位数没有变化。应 选D。 跟踪训练6:经团委统计,某校申请“志 愿服务之星”的10名同学在本学期的志愿服 务时长(单位:h)分别为26,25,23,24,29, 25,32,25,24,23,记这一组数据的平均数为 a,上四分位数为b,众数为c,则( )。 A.c<a<b B.b<c<a C.c=b<a D.c<b<a 提示:将10个数据由小到大排列为23, 23,24,24,25,25,25,26,29,32,则平均数 a=(23+23+24+24+25+25+25+26+ 29+32)÷10=25.6。 上四分位数即为第75百分位数,由10× 75%=7.5,可得上四分位数为第8个数,则 b=26。25出现的次数最多,有3次,则众数 c=25。故c<a<b。应选A。 题型七:方差、标准差的应用 涉及方差、标准差的应用问题,根据方 差、标准差的概念和计算公式分析与求解。 例7 期末考试后,高二某班50名学生 物理成绩的平均分为85,方差为8.2,则下列 四个数中不可能是该班物理成绩的是( )。 A.60 B.78 C.85 D.100 解:由x=85,s2= 1 50∑ 50 i=1 (xi-85)2=8.2, 可得∑ 50 i=1 (xi-85)2=8.2×50=410。若存在 x=60,则(60-85)2=625>410,即方差必然 大于8.2,不符合题意,所以60不可能是所有 成绩中的一个数据。因为(78-85)2=49< 410,(85-85)2=0<410,(100-85)2= 225<410,所以B,C,D可以是所有成绩中的 一个数据。应选A。 跟踪训练7:某校举行校园歌手大赛,5 名参赛选手的得分分别是9,8.7,9.3,x,y。 已知这5名参赛选手得分的平均数为9,方差 为0.1,则|x-y|= 。 提示:由9+8.7+9.3+x+y 5 =9 ,可得 x+y=18。由方差为 1 5× [(9-9)2+(8.7- 24 经典题突破方法 高一数学 2025年5月 9)2+(9.3-9)2+(x-9)2+(y-9)2]= 0.1,可得(x-9)2+(y-9)2=x2+y2- 18x-18y+162=0.32,即x2+y2=162.32。 因为(x+y)2=x2+y2+2xy=324,所以 2xy=161.68,所 以(x-y)2=x2+y2- 2xy=0.64,所以|x-y|= (x-y)2=0.8。 题型八:频率分布直方图中集中趋势参 数的计算 在频率分布直方图中,用每个小矩形底 边中点的横坐标与小矩形的面积(即该小组 的频率)的乘积之和近似代替平均数;根据中 位数左边和右边的频率分布直方图的面积相 等求中位数;用最高小矩形底边中点的横坐 标来近似代替众数。 例8 “天宫课堂”是为发挥中国空间站 的综合效益,推出的首个太空科普教育品牌。 “天宫课堂”是结合载人飞行任务,贯穿中国 空间站建造和在轨运营系列化推出的,将由 中国航天员担任“太空教师”,以青少年为主 要对象,采取天地协同互动方式开展。2022 年10月12日15时40分,“天宫课堂”第三 课在中国空间站开讲。学校针对这次直播 课,举办了”天宫课堂”知识竞赛,有100名学 生代表参加了竞赛,竞赛后对这100名学生 的成绩(满分100分)进行统计,将数据分为 [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]这4 组,画出如图4所示的频率分布直方图。 图4 (1)求频率分布直方图中m 的值。 (2)估计这100名学生竞赛成绩的平均 数(同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表)。 (3)若该校准备对本次知识竞赛成绩较 好的40%的学生进行嘉奖,试问被嘉奖的学 生的分数不低于多少。 解:(1)由图得(m+5m+0.03+0.04) ×10=1,解得m=0.005。 (2)估计这100名学生竞赛成绩的平均 数为x=65×0.005×10+75×0.025×10+ 85×0.04×10+95×0.03×10=84.5。 (3)设被嘉奖的学生的分数不低于x。 因为第四组的频率为0.03×10=0.3,第三 组的频率为0.04×10=0.4,所以x∈[80, 90),所以0.04×(90-x)+0.3=0.4,解得 x=87.5。 跟踪训练8:某小区为了提高小区内人 员的读书兴趣,准备举办读书活动,并购买一 定数量的书籍丰富小区图书站。由于不同年 龄段的人看不同类型的书籍,为了合理配备 资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随 机抽取了40名读书者进行调查,将他们的年 龄(单位:岁)分成6段,即[20,30),[30,40), [40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的 频率分布直方图如图5所示。 图5 (1)求在这40名读书者中年龄分布在 [40,70)的人数。 (2)求这40名读书者的年龄的平均数和 中位数(同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表)。 提示:(1)由图知年龄在[40,70)的频率 为(0.02+0.03+0.025)×10=0.75,所以这 40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数为 40×0.75=30。 (2)这40名读书者年龄的平均数为25× 0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65× 0.25+75×0.1=54。 设中位数为x,则0.005×10+0.01× 10+0.02×10+0.03×(x-50)=0.5,解得 x=55,即这40名读书者年龄的中位数为55。 作者单位:江苏省高邮中学 (责任编辑 郭正华) 34 经典题突破方法 高一数学 2025年5月