求解统计中的最值或范围问题的“数学素养-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■梁雪芹 策略一:依据中位数和平均数的意义确 定最大值 例1 已知5个相异自然数的平均数为 10,中位数为15,则这5个自然数中最大的数 可能是( )。 A.16 B.17 C.18 D.19 解:记5个不同的自然数从小到大依次 为a,b,c,d,e。 要求这5个数中的最大数,由中位数为 15,结合题意得a=0,b=1,c=15,d=16,所 以最大数e=10×5-0-1-15-16=18。 应选C。 素养:依据5个自然数的中位数为15,平 均数为10,根据平均数公式,结合中位数的 定义求解。 策略二:依据中位数,众数,极差的意义 合理分类确定最值 例2 样本中共有5个个体,其值分别为 a,1,2,3,4,若该样本的中位数为2,则a 的 取值范围为( )。 A.(0,1) B.(1,2) C.(-∞,2] D.[1,2] 解:依据中位数为2,由参数a 所在的位 置分类求解。 若a>4,则这组数据由小到大排列依次 为1,2,3,4,a,这时中位数为3,不符合题意; 若3≤a≤4,则这组数据由小到大排列 依次为1,2,3,a,4,这时中位数为3,不符合 题意; 若2≤a<3,则这组数据由小到大排列 依次为1,2,a,3,4,这时中位数为a=2,符合 题意; 若1≤a<2,则这组数据由小到大排列依 次为1,a,2,3,4,这时中位数为2,符合题意; 若a<1,则这组数据由小到大排列依次 为a,1,2,3,4,这时中位数为2,符合题意。 综上所述,实数a 的取值范围是(-∞, 2]。应选C。 素养:求实数a的取值范围,要依据a所 在的位置分五类,每类逐一验证对应的中位 数,也就是依据中位数所在的位置进行分类 讨论,将数据由小到大排序,结合中位数的定 义得出实数a的取值范围。 策略三:依据平均数,中位数的意义构建 二次函数和反比例函数求最值 例3 已知x 是-4,-2,-1,1,x,3,5, 6,11这9个数据的中位数,且-1,0,2,x2, y- 1 x 这5个数据的平均数为3,则y 的取值 范围为( )。 A.173 ,12 B.[6,14] C.163 ,14 D.[5,14] 解:由x 是-4,-2,-1,1,x,3,5,6,11 这9个数据的中位数,依据x 所在的位置,可 得x∈[1,3]。由-1,0,2,x2,y- 1 x 这5个 数据的平均数为3,可得-1+0+2+x2+ y- 1 x=15 ,即y= 1 x-x 2+14,所以函数 y= 1 x-x 2+14,x∈[1,3]。 因为函数y= 1 x 和y=-x2+14在x∈ [1,3]上均为减函数,所以函数y= 1 x-x 2+ 14在[1,3]上为单调递减函数。 因为y|x=1= 1 1-1 2+14=14,y|x=3= 1 3-3 2+14= 16 3 ,所 以 y 的 取 值 范 围 为 16 3 ,14 。应选C。 素养:由中位数的意义确定变量x∈[1, 3],由平均数的意义构建函数y= 1 x-x 2+14, 借助反比例函数和二次函数在区间上的单调性 确定复合函数的单调性,从而求出最值。利用 中位数确定变量的范围,结合平均数构建目标 函数求最值,使得统计与函数知识有机交汇。 12 数学文化与赏析 高一数学 2025年5月 策略四:依据中位数的意义转化为三角 函数的值比较大小 例4 已知角α∈ 0, π 4 ,则数据sinα, sin(π-α),cos(π-α),tanα 的 中 位 数 为( )。 A.sinα B.cos(π-α) C.cosα D.tanα 解:结合诱导公式对已知式子进行化简, 再结合三角函数的性质判断各式的大小。因 为角 α∈ 0, π 4 ,所 以 sinα∈ 0,22 , sin(π-α)=sinα∈ 0, 2 2 ,cosα∈ 22,1 , cos(π-α)=-cosα∈ -1,- 2 2 ,tanα∈ (0,1),所以cos(π-α)<sinα=sin(π-α), cos(π-α)<tanα。 下面利用三角函数线,比较sinα与tanα 的大小。 当0<x< π 2 时,sinx<x<tanx,证明 过程如下。 构造单位圆O,如图1所示。 图1 显然 点 A (1,0)。设 ∠POA =x∈ 0, π 2 ,则点P(cosx,sinx)。过点A 作直 线AT 垂直于x 轴,交OP 所在的直线于点 T。由 AT OA=tanx ,可得AT=tanx,所以点 T(1,tanx)。 由图知S△OPA<S扇形OPA<S△TOA,即 1 2× 1×sinx< 1 2×1 2×x< 1 2×1×tanx ,所以 sinx<x<tanx,所以sinα<tanα。 综上可知,四个数据按照从小到大的顺 序排列为cos(π-α),sinα,sin(π-α),tanα。 应选A。 素养:确定四个不同的三角函数值的中 位数,其实就是比较四个三角函数值的大小 关系。借助诱导公式和正弦、余弦、正切函数 的单调性,可得cos(π-α)<sinα,cos(π- α)<tanα,再借助单位圆,确定“当0<x< π 2 时,sinx<x<tanx”。中位数与三角函数及 单位圆知识的有机交汇,耐人回味! 策略五:方差型范围与最值转化为不等 式求最值 例5 已知一样本数据(如茎叶图2所 示)的中位数为12,若x,y 均小于4,则当该 样本的方差最小时,x,y 的值分别为( )。 图2 A.1,3 B.11,13 C.2,2 D.12,12 解:由题意结合中位数求出平均数,再根 据方差公式化为不等式求最值。 已知x,y 均小于4,由茎叶图知中位数 为 10+x+10+y 2 =12 ,所以x+y=4,所以 样本的平均数为 1 10× (1+2+3+5+10+ x+10+y+14+15+16+20)=10。 由x+y=4,结合方差公式可知,要使样 本的方差s2 最小,只需x2+y2 的值最小即可。 因为x2+y2≥ (x+y)2 2 =8 ,当且仅当 “x=y=2”时等号成立,所以x,y 的值均为 2。应选C。 素养:依据茎叶图和中位数得到两变量 的和为定值,借助方差的意义将方差的最小 值转化为 x2+y2 的最小值,再利用 x2+ y2≥ (x+y)2 2 =8 求解,凸显统计最值问题求 解中的“函数及不等式”数学素养的应用。 作者单位:甘肃省榆中县第二中学 (责任编辑 王琼霞) 22 数学文化与赏析 高一数学 2025年5月