频率分布直方图中的常见题型及解法-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■沈小卫 频率分布直方图是表示和分析统计数据 的重要工具,是高考的常考点。下面介绍频 率分布直方图的几种常见题型,希望对同学 们的学习有所帮助。 一、频率分布直方图中的几个等量关系 频率= 频数 总数 ;各小组的频数之和等于总数; 各小组的频率之和等于1;各组的组距相等,即 每个小长方形的宽都相等;各小长方形的高= 频率 组距 ,小长方形的高与频率成正比,与频数也成 正比;各小长方形的面积为各组的频率;各小长 方形面积之和等于频率之和,即为1。 二、题型分析 1.求某一范围内的频数或频率(概率) 例1 2023年第1期深圳车牌摇号竞价 指标共6668个,某机构从参加这期车牌竞拍 且报价在1~8万元的人员中,随机抽取了若 干人的报价,得到的部分数据整理结果如表 1,得到的频率分布直方图,如图1。 表1 报价区间(单位:万元) [1,2) [2,3) [3,4) 频数 10 36 40 图1 在这些竞拍人员中,报价不低于5万元 的人数为( )。 A.30 B.42 C.54 D.80 解:设竞拍人员的总数为a。由表1和 图1得 10 a=0.05 ,解得a=200。 由第四组的频数为0.3×200=60,可得 报价低于5万元的人数为10+36+40+60= 146,所以报价不低于5万元的人数为200- 146=54。应选C。 名师指导:频数表示某一项或某一组出 现的次数,是直观的数量;频率是某一组在总 体中所占的比例,即 频数 总数=频率,所以频率之 和一定等于1。 2.补全(绘制)频数分布直方图 例2 随着车辆的增加,交通违规现象 越来越严重,交警对某雷达测速区检测到的 一组汽车的时速数据进行整理,得到的频数 及频率如表2(未完成)。 表2 数据段 频数 频率 30~40 10 0.05 40~50 36 50~60 0.39 60~70 70~80 20 0.1 总计 200 1 说明:30~40为时速大于等于30km而 小于40km,其他类同。 (1)请你把表中的数据填写完整。 (2)补全图2所示的频数分布直方图。 图2 (3)如果汽车时速不低于60km即为违 章,则违章车辆共有多少辆? 5 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月 解:(1)填表,如表3所示。 表3 数据段 频数 频率 30~40 10 0.05 40~50 36 0.18 50~60 78 0.39 60~70 56 0.28 70~80 20 0.1 总计 200 1 (2)根据(1)中数据,补全频率分布直方 图,如图3所示。 图3 (3)由题意可得,时速不低于60km的违 章车辆数为56+20=76。 名师指导:利用频数分布直方图,可以清 晰看出数据在各个区间的分布疏密程度、集 中趋势和离散状况等信息,帮助大家快速把 握数据的整体特征。 3.求样本数据的众数、中位数和平均数 例3 从某校参加数学竞赛的试卷中抽 取一个样本,考查竞赛的成绩分布,将样本分 成6组,得到频率分布直方图如图4所示,从 左到右各小组的小长方形的高的比为1∶ 1∶3∶5∶4∶2,最右边的一组的频数是8。 图4 (1)求样本的容量N 和图中a的值。 (2)求人数最多的小长方形的分数的取 值范围,并求该小组的频数和频率。 (3)估计参加这次数学竞赛成绩的众数, 中位数,平均数。 解:(1)由已知条件知从左到右小长方形 的高的比为1∶1∶3∶5∶4∶2,最右边的一 组的频数是8。 结合小长方形的高的比得样本的容量 N= 8 2 1+1+3+5+4+2 =64。 由题设得a= 4 1+1+3+5+4+2× 1 10= 0.025。 (2)由图知人数最多的小长方形的分数 的取值范围是[70,80),所以该小组的频率为 5 1+1+3+5+4+2=0.3125 。 故该小组的频数为0.3125×64=20。 (3)由图可知,估计参加这次数学竞赛成 绩的众数为 70+80 2 =75 。 易得 从 左 到 右 各 小 组 的 频 率 分 别 为 0.0625,0.0625,0.1875,0.3125,0.25, 0.125。由前四组的频率之和为0.625知中 位数位于区间[70,80)内,所以估计参加这次 数 学 竞 赛 成 绩 的 中 位 数 为 70 + 0.5-0.0625-0.0625-0.1875 0.3125 ×10=76 。 估计参加这次数学竞赛成绩的平均数为 45×0.0625+55×0.0625+65×0.1875+ 75×0.3125+85×0.25+95×0.125=75。 名师指导:在频率分布直方图中,样本数 据的众数就是最高小长方形的中点所对应的 数据,它表示样本数据的中心值;在频率分布 直方图中,样本数据的中位数左边和右边的 小长方形的面积相等,由此可估计中位数的 值,但是有偏差;在频率分布直方图中,样本 数据的平均数等于每个小长方形的面积乘以 小长方形底边中点的横坐标之和。 作者单位:陕西省汉阴县汉阴中学 (责任编辑 王琼霞) 6 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月