例析两种常用的统计图&相互独事件题型例讲-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■马春林 统计中的图形较多,其中频率分布直方 图和频率分布折线图是常用的两种统计图。 下面举例分析,供同学们参考。 例1 袁隆平院士是中国杂交水稻事业 的开创者,是当代神农,50多年来,他始终在 农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索,为人 类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望 和金色的收获。袁老的科研团队发现“野败” 后,将其带回实验,在试验田中随机抽取了 100株水稻统计每株水稻的稻穗数(单位: 个)得到如图1所示的频率分布直方图(同一 组中的数据用该组区间的中点值为代表),则 下列说法错误的是( )。 图1 A.a=0.01 B.这100株水稻的稻穗数平均值在区间 [280,300)中 C.这100株水稻的稻穗数的众数是250 D.这100株水稻的稻穗数的中位数在区 间[240,260)中 解:由图知0.005+0.0075+0.0175+ a+0.0075+0.0025)×20=1,解得a= 0.01,A正确。这100株水稻的稻穗数平均 值为x=20×(0.005×210+0.0075×230+ 0.0175×250+0.01×270+0.0075×290+ 0.0025×310)=256,所以这100株水稻的稻 穗数平均值在区间[240,260)中,B错误。由 频率分布直方图知第三个小矩形最高,所以这 100株水稻的稻穗数的众数是250,C正确。 前两个小矩形的面积为0.25<0.5,前三个小 矩形的面积为0.6>0.5,所以中位数在第三组 中,所以这100株水稻的稻穗数的中位数在区 间[240,260)中,D正确。应选B。 名师点评:由频率之和为1可计算a 的 值,利用各区间中点值可估计平均数,众数在 频率最大的区间中,由频率0.5对应的数值 可得中位数。 例2 (多选题)2023年秋季,某省在高 一推行新教材,为此该省教育部门组织高中 教师在暑假期间进行有关培训,培训后举行 测试(满分100分)。从参加培训的教师中随 机抽取100名教师并统计他们的测试分数, 得到如图2所示的频率分布折线图,则下列 说法正确的是( )。 图2 A.这100名教师的测试分数的极差是20 B.这100名教师中测试分数不低于90 分的人数占总人数的30% C.这100名教师的测试分数的中位数为 87.5 D.这100名教师的测试分数的众数是87.5 解:由图知这100名教师的测试分数的 最高分与最低分都无法确定,A不正确。这 100名教师中测试分数不低于90分的人数 占总人数的(0.03+0.03)×5×100%= 30%,B正确。设这100名教师的测试分数 的中位数为a,则(0.02+0.04)×5+(a- 85)×0.08=0.5,解得a=87.5,C正确。由 图知 这100名 教 师 的 测 试 分 数 的 众 数 为 87.5,D正确。应选BCD。 名师点评:利用频率分布折线图,可估计 众数、中位数、平均数的值。 作者单位:河南省商丘市实验中学 (责任编辑 王琼霞) 7 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月 ■张天乐 概率中的事件名称较多,相互独立事件 就是其中的一种。相互独立事件的常见题型 有以下六种,下面举例分析。 一、相互独立事件的判断 例1 若 P(AB)= 1 9 ,P(A)= 2 3 , P(B)= 1 3 ,则事件A 与B 的关系是( )。 A.事件A 与B 互斥 B.事件A 与B 对立 C.事件A 与B 相互独立 D.事件A 与B 既互斥又相互独立 解:因为 P(A)= 2 3 ,所以 P(A)= 1 3 。 又P(B)= 1 3 ,P(AB)= 1 9 ,所以P(AB)= P(A)P(B),所以事件A 与B 相互独立但不 互斥。应选C。 评注:判断两个事件的相互独立性,一般 可以从两个方面着手:一是直接判断,也就是 从事件本身出发来直接下结论;二是严格按 照定义,判断两个事件A,B 发生概率的积是 否等于事件A,B 同时发生的概率。 二、相互独立事件的概率计算 例2 事 件 A,B,C 相 互 独 立,如 果 P(AB)= 1 6 ,P(BC)= 1 8 ,P(ABC)= 1 8 ,则 P(B)= ,P(AB)= 。 解:因为事件A,B,C 相互独立,所以事 件A,B,C 也相互独立。 因为 P(AB)= 1 6 ,所以 P(ABC)= P(AB)P(C)= 1 6P (C)= 1 8 ,所以P(C)= 3 4 ,所以P(C)= 1 4 。 又因为P(BC)=P(B)P(C)= 1 8 ,所以 P(B)= 1 2 ,所以P(B)= 1 2 。 因为P(AB)=P(A)P(B)= 1 6 ,所以 1 2P (A)= 1 6 ,所以P(A)= 1 3 。所以P(AB) =P(A)P(B)= 1- 1 3 ×12=13。 评注:相互独立事件的概率:若事件A1, A2,…,An 相互独立,则 P(A1∪A2∪…∪ An)=1-P(A1)P(A2)…P(An)。 三、恰有一人参与的问题 例3 甲、乙两人各投篮一次,投进的概 率分别是 2 3 ,1 4 ,则两人中恰有一人投进的概 率为 。 解:设事件A 表示“甲投进”,事件B 表 示“乙投进”,则P(A)= 2 3 ,P(B)= 1 4 ,所以 两人中恰有一人投进的概率为 P(AB)+ P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)= 2 3× 1- 1 4 + 1-23 ×14=712。 评注:两个事件A,B 恰有一个发生的概 率为 P[(AB)∪(AB)]=P(A)P(B)+ P(A)P(B)。注意事件A 的对立事件是A, A 与A 的概率之和为1。 四、至多、至少问题 例4 在某生产车间,周一到周五的五 个工作日中,甲、乙、丙、丁4名工人使用某种 设备的概率依次是0.6,0.5,0.5,0.4,且每 名工人是否使用设备相互之间没有影响,那 么在同一个工作日中至少有3名工人使用设 备的概率为( )。 A.0.25 B.0.30 C.0.31 D.0.35 解:设甲、乙、丙、丁使用设备分别为事件 A,B,C,D,则P(A)=0.6,P(B)=P(C)= 0.5,P(D)=0.4。 恰好 有3名 工 人 使 用 设 备 的 概 率 为 P1=P(ABCD∪ABCD∪ABCD∪ABCD) 8 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月 =(1-0.6)×0.5×0.5×0.4+0.6×(1- 0.5)×0.5×0.4+0.6×0.5×(1-0.5)× 0.4+0.6×0.5×0.5×(1-0.4)=0.25,而 4 名 工 人 均 使 用 设 备 的 概 率 为 P2 = P(ABCD)=0.6×0.5×0.5×0.4=0.06, 所以至少有3名工人使用设备的概率为P= P1+P2=0.25+0.06=0.31。应选C。 评注:两个事件A,B 中至少有一个发生的 概率为P[(AB)∪(AB)∪(AB)]=P(A)· P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)。 五、决策问题 例5 如图1所示,现有 A,B,C,D 四 种不同的元件,它们分别连接构成了两个系 统 M 和系统N。对于系统 M 而言,在元件 A 和B 都正常工作,或元件C 正常工作,或 元件D 正常工作的情况下,系统 M 就会正 常运行;对于系统N 而言,当元件A 和B 都 正常工作,或元件B 和D 都正常工作,或元 件C 正常工作时,系统N 就会正常运行。已 知元件A,B,C,D 正常工作的概率分别是 0.5,0.9,0.7,0.8,且各个元件能否正常工作 相互独立。 图1 试从能否正常工作的角度判断这两个系 统中哪一个的连接方式更为合理。 解:由题目给出的条件可知,元件 A 正 常工作的概率p1=0.5,元件B 正常工作的 概率p2=0.9,元件C 正常工作的概率p3= 0.7,元件D 正常工作的概率p4=0.8。系统 M 不能正常工作意味着以下三个部分同时 出现故障:一是元件A 和元件B 同时不能正 常工作,二是元件C 不能正常工作,三是元件 D 不能正常工作。所以系统 M 正常工作的概 率为1-(1-p1p2)(1-p3)(1-p4)=1-(1- 0.5×0.9)(1-0.7)(1-0.8)=1-0.033= 0.967。同理得系统N 正常工作的概率为1- {1-[1-(1-p1)(1-p4)]·p2}·(1-p3)= 1-[1-(1-0.5×0.2)×0.9]×0.3=1- 0.057=0.943。 因为0.967>0.943,所以系统M 的连接 方式更合理。 评注:事件发生的概率越大,说明该事件 发生的可能性越大。 六、复杂事件的概率问题 例6 某同学在一次考试中,语文、数 学、英语三科成绩分别获得全班第一的概率 为0.9,0.8,0.85,求: (1)该同学三科成绩均未获得第一名的 概率是多少? (2)该同学恰有一科成绩未获得第一名 的概率是多少? 解:记这位同学三科考试分别获得全班 第一名的事件为 A,B,C。由题意可知,A, B,C 三个事件两两相互独立,且 P(A)= 0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85。 (1)“三科成绩均未获得第一名”可用 ABC 表示,其概率为P(ABC)=P(A)· P(B)P(C)=[1-P(A)][1-P(B)][1- P(C)]=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)= 0.003,所以三科成绩均未获得第一名的概率 为0.003。 (2)“恰有一科成绩未获得第一名”可用 (ABC)∪(ABC)∪(ABC)表示。 由事件ABC,ABC 和ABC 两两互斥, 结合概率的加法公式和事件独立性定义,可 得所 求 概 率 为 P(ABC)+P(ABC)+ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)· P(C)+P(A)P(B)P(C)=[1-P(A)]· P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+ P(A)P(B)[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8× 0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8× (1-0.85)=0.329。 评注:求复杂事件的概率,一般有如下四 个步骤:将题中涉及的各个事件罗列出来,用 符号连接表示;弄清楚事件彼此间是互斥还 是独立的关系,列出关系式;从所掌握的概率 公式中,选取合适的代入计算;若直接计算事 件概率过程烦琐,步骤多,那么可以采用“正 难则反”的策略。 作者单位:山东省邹平市第二中学 (责任编辑 王琼霞) 9 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月