例析互斥事件和对立事件的概率&借助模型简化求解概率问题-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■胡贵平 如果事件A 与事件B 不能同时发生,也 就是说A∩B=⌀,那么称事件A 与B 互斥 (或互不相容)。如果事件A 和事件B 有且 仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=⌀, 那么称事件A 与B 互为对立。两个事件A 与B 是互斥事件,有如下三种情况:若事件A 发生,则事件B 就不发生;若事件B 发生,则 事件A 就不发生;事件 A,B 都不发生。两 个事件A 与B 对立是指其中必有一个发生 的互斥事件。因此,互斥未必对立,但对立一 定互斥。 题型一:互斥事件和对立事件的判断 例1 从装有2件正品和2件次品的盒 子内任取2件产品,下列选项中是互斥而不 对立的两个事件为( )。 A.“至少有1件正品”与“都是次品” B.“恰好有1件正品”与“恰好有1件次 品” C.“至少有1件次品”与“至少有1件正 品” D.“都是正品”与“都是次品” 解:从装有2件正品和2件次品的盒子 内任取2件产品,可能的结果为:1件正品和 1件次品,2件正品,2件次品。对于 A,“至 少有1件正品”与“都是次品”是对立事件。 对于B,“恰好有1件正品”与“恰好有1件次 品”是同一个事件。对于C,“至少有1件次 品”包括1件正品和1件次品,2件次品,“至 少有1件正品”包括1件次品和1件正品,2 件正品,这两个事件不是互斥事件。对于D, “都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是 对立事件。应选D。 题型二:利用对立事件的概率公式求 概率 例2 已知袋中装有5个小球,其中3个 黑球记为A,B,C,2个红球记为a,b,现从中 随机摸出2个球,求2个球中至少有1个黑 球的概率。 解:袋中装有5个小球,其中3个黑球记 为A,B,C,2个红球记为a,b,现从中随机摸 出2个球,以有序实数对表示摸球的结果,所 有的基本事件为(A,B),(A,C),(A,a), (A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C, b),(a,b),共10个,即基本事件的总数为 10。设“2个球中至少有1个黑球”为事件 N,则事件N 的对立事件N 为“2个球中没 有黑球”,事件 N 包含的基本事件为(a,b), 共1个。由古典概型的概率公式得P(N)= 1 10 ,所以2个球中至少有1个黑球的概率为 P(N)=1-P(N)=1- 1 10= 9 10 。 题型三:利用互斥事件的概率公式求 概率 例3 某项选拔共有三轮考核,每轮设 有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮 考核,否则即被淘汰。已知某选手能正确回 答第一、二、三轮问题的概率分别为4 5 ,3 5 , 2 5 ,且各轮问题能否正确回答互不影响。求 该选手被淘汰的概率。 解:记事件“该选手能正确回答第i轮问 题”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)= 4 5 , P(A2)= 3 5 ,P(A3)= 2 5 ,所以该选手被淘汰 的概率为P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3) =P(A1)+P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)· P(A3)= 1 5+ 4 5× 2 5+ 4 5× 3 5× 3 5= 101 125 。 或 者,该 选 手 被 淘 汰 的 概 率 为 1- P(A1A2A3)=1- 4 5× 3 5× 2 5= 101 125 。 作者单位:甘肃省白银市第一中学 (责任编辑 王琼霞) 01 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月 ■刘克禄 模型一:掷骰子模型构建有序实数对理 解事件的性质 例1 依次抛掷一枚质地均匀的骰子两 次,A1 表示事件“首次抛掷骰子向上的点数 为2”,A2 表示事件“首次抛掷骰子结果属于 奇数集合{1,3,5}”,A3 表示事件“抛掷两次 骰子后,将点数相加得到的和为6”,A4 表示 事件“抛掷两次骰子后,将点数相加得到的和 为7”,则( )。 A.A3 与A4 是对立事件 B.A1 与A3 是相互独立事件 C.A2 与A4 是相互独立事件 D.A2 与A4 是互斥事件 解:依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次, 两次的结果用有序实数对表示,其中第一次 在前,第二次在后,样本空间 Ω 为{(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1), (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1), (6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36个 样本点。事件A1 包括(2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(2,5),(2,6),共 6个 样 本 点,则 P(A1)= 1 6 。事件A2 包括(1,1),(1,2),(1, 3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3, 3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5, 3),(5,4),(5,5),(5,6),共18个样本点,则 P(A2)= 1 2 。事件A3 包括(1,5),(2,4),(3, 3),(4,2),(5,1),共5个样本点,则P(A3)= 5 36 。事件A4 包括(1,6),(2,5),(3,4),(4, 3),(5,2),(6,1),共 6 个 样 本 点,则 P(A4)= 6 36= 1 6 。对于 A,因为 A3∩A4= ⌀,A3∪A4≠Ω,所以A3 与A4 不是对立事 件,A错误。对于B,由事件 A1A3 包括(2, 4),即1个样本点,可得P(A1A3)= 1 36 ,结合 P(A1)= 1 6 ,P(A3)= 5 36 ,可知P(A1)P(A3)≠ P(A1A3),即A1 与A3 不相互独立,B错误。 对于C,由事件A2A4 包括(1,6),(3,4),(5, 2),即3个样本点,可得P(A2A4)= 1 12 ,结合 P(A2)= 1 2 ,P(A4)= 1 6 ,可知P(A2)P(A4) =P(A2A4),即A2 与A4 相互独立,C正确。 对于D,由事件A2A4 包括(1,6),(3,4),(5, 2),可得A2∩A4≠⌀,可知A2 与A4 不是互 斥事件,D错误。应选C。 体验:利用抛掷骰子两次的有序性,构建 有序实数对,结合列举法与古典概型的概率 公式求得各事件的概率。由 A3∩A4=⌀, A3∪A4 ≠Ω,可判断选项 A;由 P(A1)· P(A3)≠ P(A1A3),可 判 断 选 项 B;由 P(A2)P(A4)=P(A2A4),可判断选项C;由 A2∩A4≠⌀,可判断选项D。 模型二:在求解电路图模型的概率时,通 过构建对立事件与相互独立事件来简化计算 例2 如图1所示,元件A1、A2、A3 无法 正常工作的概率均为 1 2 ,元件A4、A5 无法正 常工作的概率均为 1 3 ,元件A6 无法正常工作 的概率为 1 4 ,则闭合开关时,灯泡L亮的概率 为( )。 图1 11 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月 A. 7 24 B. 7 12 C. 5 24 D. 5 12 解:分别求出 A1、A2、A3,A4、A5 和 A6 这三段正常工作的概率,再根据相互独立事 件的概率即得结果。依题意得 A2、A3 这段 无法 正 常 工 作 的 概 率 为 1- 1- 1 2 × 1- 1 2 =34,则A1、A2、A3 这段正常工作的 概率为1- 1 2× 3 4= 5 8 ,A4、A5 这段正常工 作的概率为1- 1 3× 1 3= 8 9 ,A6 正常工作的 概率为1- 1 4= 3 4 ,所以灯泡L亮的概率为 5 8× 8 9× 3 4= 5 12 。应选D。 体验:在利用电路图模型求事件的概率 时,对于并联情况,可借助对立事件来计算概 率,而对于串联情况,可通过相互独立事件同 时发生的概率来求解。 模型三:在取球模型中求概率时,通过构 建对立事件与互斥事件来简化求解过程 例3 袋子中有大小和质地相同的12个 小球,分别为红球、黄球、绿球、黑球,从中任 取1个球,得到红球的概率是 1 3 ,得到黑球或 黄球的概率是 5 12 ,得到黄球或绿球的概率是 5 12 ,则得到黄球的概率是( )。 A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 12 解:从袋子中随机取出1个球,将“取出 红球”这一事件记为A,“取出黑球”记为B, “取出黄球”记为C,“取出绿球”记为D,显然 事件A、B、C、D 两两互斥。 由已知条件得P(A)= 1 3 ,P(B∪C)= P(B)+P(C)= 5 12 ,P(C∪D)=P(C)+ P(D)= 5 12 。 因为 P(A)=1-P(A)= 2 3 ,所 以 P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)= 2 3 ,所以P(D)= 2 3- 5 12= 1 4 ,所以P(C)= 5 12-P (D)= 5 12- 1 4= 1 6 。故从中任取1个 球,得到黄球的概率是1 6 。应选A。 体验:取球模式求事件的概率,借助对立 事件及互斥事件的性质求解。 模型四:在求解投篮模型的概率时,通过 互斥事件进行分类,利用相互独立事件分步 来计算 例4 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投 一球。投篮顺序是甲先开始投,在投篮过程 中,率先投中的人将赢得胜利。同时规定,一 旦出现有人获胜的情况,或者是甲、乙每人都 已经投球2次,此时投篮环节就会结束。已 知甲每次投篮命中的概率为 1 3 ,乙每次投篮 命中的概率为 1 2 ,并且每次投篮的结果相互 之间没有影响。那么在投篮结束时,乙恰好 只投了1个球的概率是( )。 A. 1 3 B. 4 9 C. 5 9 D. 2 3 解:甲、乙两人依次进行投篮,每人每次 投一球。由甲率先投篮,谁先投中谁就获胜。 若出现有人获胜的情况,或者当两人都各投 球2次后,投篮活动便宣告结束。设Ak,Bk 分别表 示 甲,乙 在 第k 次 投 篮 时 投 中,则 P(Ak)= 1 3 ,P(Bk)= 1 2 (k=1,2)。记“投篮 结束时,乙只投了1个球”为事件D。 由题 意 可 得,P (D)=P (A1B1)+ P(A1B1A2)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(B1)· P(A2)= 2 3× 1 2+ 2 3× 1 2× 1 3= 4 9 。应选B。 体验:本题属于复杂事件的概率,利用互斥 事件的加法分类,在每一类下利用相互独立事 件同时发生分步求概率。题中乙只投了1个球 包括:甲未投进、乙投进结束,甲未投进、乙未投 进、甲再投进结束,这两个互斥事件的和。 作者单位:湖北省监利市新沟中学 (责任编辑 王琼霞) 21 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月