古典概型中的“一题多解”&统计压轴问题猜想揭秘-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■全 乐 从不同的层面、不同的角度,去思考、探 索、研究问题,可以有效地激发同学们的学习 兴趣,培养创造性思维能力和多种应变能力。 下面是概率问题的一题多解,供同学们学习 与提高。 例1 箱子中装有6张卡片,分别写有1 到6这6个整数。从箱子中任意取出1张卡 片,记下它的读数x,然后放回箱子,第二次 再从箱子中取出1张卡片,记下它的读数y, 试求x,y 中至少有一个5或6的概率。 解法1:将x,y的读数列表,如表1所示。 表1 y 号 x 号 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 由表1知读数的结果共有6×6=36(个) 基本事件。 利用互斥事件求解。记事件A 为“x,y 中至少有一个5或6”,事件B 为“只有x 的 读数是5或6”,事件C 为“只有y 的读数是5 或6”,事件D 为“x,y 的读数均为5或6”, 显然事件B,C,D 彼此互斥,且A=B∪C∪ D。事件B 与C 都包含8个不同的基本事 件,事件 D 有4个不同的基本事件,所以 P(A)=P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+ P(D)= 8 36+ 8 36+ 4 36= 5 9 。 解法2:利用对立事件求解。事件 A 的 对立事件A 是“x,y 都不是5或6”。由表1 知A 包含的基本事件有4×4=16(个),所以 “x,y 中至少有一个5或6”的概率P(A)= 1-P(A)=1- 16 36= 5 9 。 例2 已知射手甲射击一次,命中9环 (含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概 率为0.22,命中7环的概率为0.12。求甲射 击一次,至少命中7环的概率。 解法1:记“甲射击一次,命中7环”为事 件A,“甲射击一次,命中8环”为事件B,“甲 射击一次,命中9环(含9环)以上”为事件C, 则“甲射击一次,至少命中7环”的事件为A∪ B∪C,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+ P(C)=0.12+0.22+0.56=0.9。 解法2:设“甲射击一次,命中7环以下” 为事件D,则P(D)=1-P(A∪B∪C)= 1-0.9=0.1。因为“甲射击一次,至少命中 7环”为事件 D,所以 P(D)=1-P(D)= 1-0.1=0.9。 例3 某市一公交线路某区间内共设置 六个站点(如图1),分别为 A0,A1,A2,A3, A4,A5,现有甲、乙两人同时从A0 站点上车, 且他们中的每个人在站点 Ai(i=1,2,3,4, 5)下车是等可能的。求甲、乙两人不在同一 站点下车的概率。 图1 解法1:甲、乙两人在某站下车包含的基 本结果总数为n=5×5=25。 记事件B 为“甲、乙两人不在同一站点 下车”,则事件B 包含的基本结果数为m= 5×4=20,所以P(B)= m n= 20 25= 4 5 。 解法2:事件B 的对立事件B 为“甲、乙 两人在同一站点下车”,则事件B 包含的基 本结果数为k=5,所以P(B)= k n= 1 5 。所 以甲、乙两人不在同一站点下车的概率为 P(B)=1-P(B)= 4 5 。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 王琼霞) 73 创新题追根溯源 高一数学 2025年5月 ■王 倩 猜想一:分层随机抽样中的平均数和方差 例1 某校有高中学生1000人,其中男 生400人,女生600人。A 同学按男生、女生 进行分层,采用分层随机抽样的方法调查该 校全体高中学生的身高(单位:cm)情况,总 样本量为100,计算得到男生身高样本的平 均数为170,方差为16;女生身高样本的平均 数为160,方差为18。 (1)如果已知男、女样本量按比例分配, 求总样本的平均数x1 和方差s21。 (2)如果已知男、女样本量分别为30和 70,在这种情况下,总样本的平均数为x2,总 样本的方差为s22,分别直接写出x1 与x2,s21 与s22 的大小关系。 (3)如果已知B 同学采用了简单随机抽 样的方法调查该校全体高中学生的身高情 况,样本量为100,其样本平均数为x3,能否 认为x1 比x3 更接近总体平均身高,请说明 理由。 解:(1)利用按比例的分层抽样总样本的 平均数和总样本的方差公式求解。由题意可 知,总 样 本 的 平 均 数 为 x1= 40 100×170+ 60 100×160=68+96=164 。 总样本的方差为s21= 1 100 {40×[16+ (170-164)2]}+ 1 100 {60×[18+(160- 164)2]}=20.8+20.4=41.2。 (2)根据按比例的分层抽样总样本的平 均数和总样本的方差公式计算x2,s22,再比较 大小。当男、女样本量分别为30和70时,总 样本 的 平 均 数 为 x2= 30 100×170+ 70 100× 160=51+112=163,总样本的方差为s22= 1 100 {30×[16+(170-163)2]}+ 1 100 {70× [18+(160-163)2]}=19.5+18.9=38.4, 所以x1>x2,s21>s22。 (3)答案示例1:可以认为x1 比x3 更接 近总体平均身高。 理由如下:男、女生身高存在明显差异, 采用按男、女比例分配的分层随机抽样的效 果一般会好于简单随机抽样,所以可以认为 x1 比x3 更接近总体平均身高。 答案示例2:不能认为x1 比x3 更接近 总体平均身高。 理由如下:由于样本的随机性,对于一次 抽样而言,可能简单随机抽样的估计效果好 于分层随机抽的估计效果,所以不能认为x1 比x3 更接近总体平均身高。 答案示例3:无法确定x1 是否比x3 更 接近总体平均身高。 理由如下:由于样本的随机性,对于一次 抽样而言,并不能保证分层随机抽样的估计 效果一定好于简单随机抽样,所以无法确定 是否x1 比x3 更接近总体平均身高。 揭秘:个体存在明显差异时,分层抽样中 总体的平均数和方差就是根据按比例的分层 抽样的样本平均数和方差公式计算的。对于 一次抽样而言,可能简单随机抽样的估计效 果好于分层随机抽的估计效果,同一个总体 选用简单随机抽样和分层抽样得到的平均数 和方差无法比较,这是由个体的差异决定的。 猜想二:样本的方差最值中的“二次函数 和基本不等式” 例2 已知样本数据由小到大依次为2, 3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且样本的中位 数为10.5,若使该样本的方差最小,则a,b 的值分别为( )。 A.10,11 B.10.5,9.5 C.10.4,10.6 D.10.5,10.5 解:由中位数得a+b 2 =10.5 ,即a+b= 83 创新题追根溯源 高一数学 2025年5月 21。要 使 该 样 本 的 方 差 最 小,只 需 (a- 10)2+(b-10)2 最小,将b=21-a代入配方 即可求得a,b的值。 已知样本数据共有10个值,且中间的两 个数为a,b,结合中位数得 a+b 2 =10.5 ,即 a+b=21。 因为样本数据的平均数为(2+3+3+ 7+a+b+12+13.7+18.3+20)÷10=10, 所以 要 使 该 样 本 的 方 差 最 小,只 需(a- 10)2+(b-10)2 最小即可。 又(a-10)2+(b-10)2=(a-10)2+ (21-a-10)2=2a2-42a+221,所以当a= 10.5时,(a-10)2+(b-10)2 取得最小值, 此时b=10.5。 故a=b=10.5。应选D。 揭秘:利用样本数据的平均数和方差的 计算公式,构造二元变量满足的关系式,借助 中位数得到两变量的关系,通过降元、代入、 配方化归为二次函数的最值问题求解,凸显 函数与不等式的工具性和应用性。 猜想三:用样本估计总体 例3 为了落实习近平总书记提出“绿 水青山就是金山银山”的环境治理要求,某市 政府积极鼓励居民节约用水,计划调整居民 生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用 水量标准x(单位:t)。一位居民的月用水量 不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分 按议价收费。为了解居民用水情况,通过抽 样,获得了某年200位居民每人的月均用水 量(单位:t),将数据按照[0,1),[1,2),…, [8,9]分成9组,制成如图1所示的频率分布 直方图,其中0.4a=b。 图1 (1)求频率分布直方图中a,b的值,由 频率分 布 直 方 图 估 计 该 市 居 民 用 水 量 的 众数。 (2)若该市政府希望使85%的居民每月 的用水量不超过标准 x(单位:t),估计 x 的值。 解:(1)由 题 意 得 0.4a=b,0.04+ 0.08+a+0.2+0.26+a+b+0.04+ 0.02=1。 据上解得a=0.15,b=0.06。 由频率分布直方图估计该市居民用水量 的众数为4.5t。 (2)因为前6组的频率之和为0.04+ 0.08+0.15+0.2+0.26+0.15=0.88> 0.85,前5组的频率之和为0.04+0.08+ 0.15+0.2+0.26=0.73<0.85,所以5≤ x<6。 由0.15(x-5)=0.85-0.73,解得x= 5.8,所以估计月用水量标准为5.8t时,85% 的居民每月的用水量不超过这个标准。 揭秘:本题是一道有关频率分布直方图 的应用问题,解答的关键是明确题意,理解频 率分布直方图的含义。 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手 的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原 始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到 7个有效评分。7个有效评分与9个原始评 分相比,不变的数字特征是 。 提示:设9位评委的评分按从小到大排列 为x1<x2<x3<x4<…<x8<x9。 9个评分的中位数为x5,去掉最低分x1、最 高分x9 后,剩余评分为x2<x3<x4<…<x8, 中位数仍为x5。 由平均分的定义知平均数受极端值影响较 大,由方差公式知两个方差不相等,9个评分的 极差为x9-x1,7个评分的极差为x8-x2,显然 极差变小。故不变的是中位数。 作者单位:安徽省庐江第二中学 (责任编辑 郭正华) 93 创新题追根溯源 高一数学 2025年5月