槪率典型问题揭秘&立足数学核心素养把握统计核心考点-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■杨守套 揭秘一:掷骰子中的互斥,对立,独立事 件的判断 例1 掷两颗骰子,观察掷得的点数。 设事件A 表示“两个点数都是偶数”,事件B 表示“两个点数都是奇数”,事件C 表示“两 个点数之和是偶数”,事件D 表示“两个点数 的乘积是偶数”。下列结论正确的是( )。 A.A 与B 是对立事件 B.A 与C∩D 是互斥事件 C.B 与D 是相互独立事件 D.B 与C∪D 是相互独立事件 解:利用互斥事件的概念,结合相互独立 事件的判断方法,计算各自发生的概率及同 时发生的概率,从而得出结果。对于A,掷两 颗骰子,两个点数可以都是偶数,也可以都是 奇数,还可以是一奇一偶,即一次试验,事件 A 和B 可以都不发生,A错误。对于B,事件 C∩D 为两个点数都是偶数,即事件 A 与 C∩D 可以同时发生,B错误。对于C,因为 P(B)= 3×3 6×6= 1 4 ,P(D)=1- 3×3 6×6= 3 4 ,又 P(BD)=0,所以P(BD)≠P(B)P(D),C 错误。对 于 D,因 为 P(C∪D)=1,又 P[B(C∪D)]=P(B)= 1 4 ,所以P[B(C∪ D)]=P(B)P(C∪D),D正确。应选D。 体验:互斥事件是不能同时发生,但可以 都不发生的事件;对立事件中的两个事件只 能发 生 其 中 一 个 事 件。若 P(A∩B)= P(A)P(B),则事件A 与B 相互独立,即A 与B 独立。独立事件是指两个事件的发生没 有任何关系,即一个事件的发生不会影响另 一个事件的发生,也就是说两个事件之间是 相互独立的。 揭秘二:钥匙开门中的古典概型 例2 某人有4把钥匙,其中2把能打开 门。现随机地取1把钥匙开门。 (1)如果将不能开门的钥匙立即扔掉,求 第二次才能打开门的概率。 (2)如果试过的钥匙不扔掉,求第二次才 能打开门的概率。 解:(1)将能打开门的两把钥匙记为 A 和B,不能打开门的两把钥匙记为a 和b,记 事件 M=“第二次能打开门”,(x1,x2)表示 开门两次事件的样本点,x1 和x2 表示第一 次和第二次取到的钥匙记号,则将不能开门 的钥匙立即扔掉且开门两次的事件的总样本 空间为Ω1={(A,B),(A,a),(A,b),(B, A),(B,a)(B,b),(a,A),(a,B),(a,b), (b,A),(b,B),(b,a)},共12个样本点,则 M={(a,A),(a,B),(b,A),(b,B)},共4 个样本点。 所以将不能开门的钥匙立即扔掉,第二 次才能打开门的概率为P(M)= 4 12= 1 3 。 (2)结合(1),将试过的钥匙不扔掉且开 门两次的事件的总样本空间为 Ω2={(A, A),(A,B),(A,a),(A,b),(B,B),(B, A),(B,a)(B,b),(a,A),(a,B),(a,a), (a,b),(b,A),(b,B),(b,a),(b,b)},共16 个样本点。记事件 N=“第二次能打开门”, 则N={(a,A),(a,B),(b,A),(b,B)},共 4个样本点。 所以试过的钥匙不扔掉,第二次才能打 开门的概率为P(N)= 4 16= 1 4 。 体验:第二次才能打开门,说明第一次没 有打开门,合理构建有序实数对列举出将不 能开门的钥匙立即扔掉(或钥匙不扔掉)且开 门两次的事件的总样本空间和“第二次能打 开门”事件的样本空间,再结合古典概型的概 率公式即可求解。 揭秘三:对钩函数值域中的古典概型 例3 设函数y=f(x),其中f(x)= ax+ 4 x (x>0),a∈R且a>0。若连续抛掷 81 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月 两次骰子(骰子六个面上分别标有数字1,2, 3,4,5,6),得到的点数分别作为a 和b,求 f(x)>b2 恒成立的概率。 解:连续抛掷两次骰子,得到的点数的基 本事件总数为6×6=36。求f(x)>b2 恒成 立的概率,可结合所求事件个数即得结果。 对钩函数f(x)=ax+ 4 x (x>0),a∈R 且a>0,当ax= 4 x ,即x= 2 a 时,f(x)取得 最小值,所以 f(x)的最小值为 f 2 a = 4a,即f(x)min=4a。 若f(x)>b2 恒成立,则16a>b4。 连续抛掷两次骰子,得到的点数的基本 事件总数为6×6=36。 已知f(x)>b2 恒成立,即16a>b4 恒成 立,当a=1时,b=1,有1种情况;当a=2, 3,4,5时,b=1,2,有4×2=8(种)情况;当 a=6时,b=1,2,3,有1×3=3(种)情况。所 以所求事件的个数为1+8+3=12。 故所求概率为 12 36= 1 3 。 体验:本题将函数、不等式及恒成立问题有 机结合,考查古典概率应用中的“数学素养”。 揭秘四:摸球中的独立事件辨析 例4 已知甲、乙两袋中分别装有编号 为1,2,3,4的四个球。从甲、乙两袋中各取 出一个球,每个球被取出的可能性相同。事 件A 为“从甲袋中取出的球的编号是偶数”, 事件B 为“从乙袋中取出的球的编号是奇 数”,事件C 为“取出的两个球的编号都是偶 数或都是奇数”。给出下列三个命题:①事件 A 与事件B 相互独立;②事件B 与事件C 相 互独立;③事件C 与事件A 相互独立。 那么 这 三 个 命 题 中 的 真 命 题 的 个 数 为( )。 A.0 B.1 C.2 D.3 解:根据事件相互独立性的定义进行判 断。由题意得P(A)= 2 4= 1 2 ,P(B)= 2 4= 1 2 ,P(C)= 2×2+2×2 4×4 = 1 2 。事件 AB 为 “从甲袋中取出的球的编号是偶数,乙袋中取 出的球的编号是奇数”,所以P(AB)= 2×2 4×4 = 1 4 。事件BC 为“甲、乙两袋中取出的球的 编号都是奇数”,所以 P(BC)= 2×2 4×4= 1 4 。 事件AC 为“甲、乙两袋中取出的球的编号都 是偶数”,所以P(AC)= 2×2 4×4= 1 4 。 据 上 可 得,P (AB)= P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C), 所以事件A,B 相互独立,事件B,C 相互独 立,事件A,C相互独立。应选D。 体验:独立事件的判断,可依据定义,验 证P(AB)=P(A)P(B)是否成立即可。 将号码分别为1,2,…,9的九个小球放 入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全 相同,甲从袋中摸出一个球,其号码为a,放 回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b,则使不等式a-2b+10>0成立的事件发 生的概率等于 。 提示:甲、乙两人每人摸出一个小球都有 9种不同的结果,则基本事件为(1,1),(1, 2),(1,3),…,(9,7),(9,8),(9,9),共81种 不同的情况。 由不等式a-2b+10>0,可得2b<a+10。 当b=1,2,3,4,5时,每种情形a 可取 1,2,…,9中每个值,使不等式成立,有45 种;当b=6时,a 可取3,4,…,9中每个值, 使不等式成立,有7种;当b=7时,a可取5, 6,7,8,9中每个值,使不等式成立,有5种; 当b=8时,a 可取7,8,9中每个值,使不等 式成立,有3种;当b=9时,a只能取9,使不 等式成立,有1种。 故所求事件的概率为 45+7+5+3+1 81 = 61 81 。 作者单位:郑州一中 (责任编辑 王琼霞) 91 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月 ■杨成武 统计中的众数,中位数,平均数,百分位 数和频数是同学们学习的重点和难点,解题 的关键是要理解和掌握核心概念,灵活运用 概念。 一、众数与中位数 例1 甲、乙两人进行5轮投篮训练,每 轮投篮10次,每轮投进的次数如下: 甲:7,7,9,7,8。 乙:4,5,7,9,9。 若甲的中位数为a,乙的众数为b,则 b-a= 。 解:由题意得a=7,b=9,所以b-a=2。 评析:本题主要考查对众数和中位数的 定义的理解与应用。 二、平均数 例2 设一组数据x1,x2,…,x8 的平均 数为11,则8x1+2,8x2+2,…,8x8+2的平 均数为 。 解:因为x1,x2,…,x8 的平均数x=11, 所以8x1+2,8x2+2,…,8x8+2的平均数为 x'=8x+2=8×11+2=90。 评析:由原有数据的平均数,计算新数据 的平均数的关键是平均数概念的灵活运用。 三、百分位数 例3 续航能力关乎无人机的“生命 力”,太阳能供能是实现无人机长时续航的重 要路径之一。某大学科研团队,利用自主开 发的新型静电电机,成功研制出仅重4.21g 的太阳能动力微型无人机,实现纯自然光供 能下的持续飞行。为激发同学们对无人机的 兴趣,某校无人机兴趣社团在校内进行选拔 赛,8名参赛学生的成绩依次为65,95,75, 70,95,85,92,80,则这组数据的上四分位数 (也叫第75百分位数)为( )。 A.93 B.92 C.91.5 D.93.5 解:将8名学生的成绩从低到高排列依 次为65,70,75,80,85,92,95,95,且8× 75%=6,所以上四分位数为第6与第7个数 的平均数,即92+95 2 =93.5 。应选D。 评析:本题主要考查总体百分位数的计算。 四、频数 例4 某市安踏专卖店,为了解某日旅 游鞋的销售情况,抽取了部分顾客所购旅游 鞋的尺寸,将所得数据整理后,画出频率分布 直方图。已知从左到右前3个小组的频率之 比为1∶2∶3,第4小组与第5小组的频率分 布直方图,如图1所示,第2小组的频数为 10,则第5小组的频数是( )。 图1 A.4 B.5 C.8 D.10 解:设从左到右前3个小组的频率分别 为x,2x,3x,第5小组的频数是y。由题意 得 x+2x+3x+0.15×2+0.05×2=1, 10 2x= y 0.05×2 , 解 得 x=0.1, y=5。 应选B。 评析:本题主要考查频率、频数、样本容 量、总体容量及频率分布直方图的应用。 作者单位:山东省滨州市邹平市第一中学 (责任编辑 王琼霞) 02 数学文化与赏析 高一数学 2025年5月