概率核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■刘大鸣(特级教师) 一、选择题 1.下列说法正确的是( )。 A.任何事件的概率总是在(0,1)之间 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数的增加,频率一般会越 来越接近概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定 2.在5张电话卡中,有3张移动卡和2 张联通卡,从中任取2张,则下列说法正确的 是( )。 A.“至少一张是移动卡”和“2张都是移 动卡”是互斥事件 B.“至少一张是移动卡”和“至少一张是 联通卡”是互斥事件 C.“恰有一张是移动卡”和“2张都是移 动卡”是互斥事件,也是对立事件 D.“至少一张是移动卡”和“2张都是联 通卡”是对立事件 3.下列各对事件中,不互为相互独立事 件的是( )。 A.甲、乙两名运动员各射击一次,事件 M“甲射中10环”,事件N“乙射中9环” B.甲组3名男生,2名女生。乙组2名 男生,3名女生。现从甲、乙两组中各选1名 学生参加演讲比赛,事件 M“从甲组中选出1 名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生” C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的 小球,依次有放回地摸两球,事件 M“第一次 摸到白球”,事件N“第二次摸到白球” D.袋中有3白、2黑共5个大小相同的 小球,依次不放回地摸两球,事件 M“第一次 摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球” 4.在6月6日全国“爱眼日”即将到来之 际,呼吁青年学生爱护眼睛,保护视力。众所 周知,长时间玩手机可能影响视力。据调查, 某校学生大约40%的人近视,而该校大约有 30%的学生每天玩手机超过2h,这些人的近 视率约为50%。现从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生,则该名学生近 视的概率为( )。 A. 3 14 B. 5 14 C. 3 7 D. 4 7 5.(多 选 题)下 列 说 法 中 正 确 的 是( )。 A.笼子中有4只鸡和3只兔,依次取出 一只,直到3只兔全部取出。记录剩下动物 的脚数,则该试验的样本空间Ω={0,2,4, 6,8} B.从3双鞋子中任取4只,其中至少有 2只鞋是一双,这个事件是必然事件 C.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,观察 正反面出现的情况,样本空间Ω={(Z,Z), (Z,F),(F,Z),(F,F)} D.抛掷骰子100次,掷得的点数是6的 结果有14次,则掷得1点的概率是 7 50 6.(多选题)下列说法不正确的是( )。 A.若 A,B 为两个事件,则“A 与B 互 斥”是“A 与B 相互对立”的必要不充分条件 B.若A,B 为两个事件,则P(A∪B)= P(A)+P(B) C.若 事 件 A,B,C 两 两 互 斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B 满足P(A)+P(B)=1, 则A 与B 相互对立 7.(多选题)连掷一枚均匀的骰子两次, 向上的点数分别为 m,n,记t=m+n,则下 列说法错误的是( )。 A.事件“t=12”的概率为 1 21 B.事件“t是奇数”与“m=n”互为对立 92 核心考点演练 高一数学 2025年5月 事件 C.事件“t=2”与“t≠3”为互斥事件 D.事件“t>8且mn<32”的概率为 1 4 二、填空题 8.在公元前100年左右,我国古代数学 著作《周髀算经》中有这样的表述:“髀者股 也,正晷者勾也”,并且指出:“若求斜至日者, 以日下为勾,日高为股,勾、股各自乘,并而开 方除之,得斜至日”,这就是我们熟知的勾股 定理,勾股数组是指满足a2+b2=c2 的正整 数组(a,b,c)。现将一枚质地均匀的骰子抛 掷三次,则三次向上的点数恰好组成勾股数 组的概率是 。 9.高三某位同学准备参加物理、化学、政治 科目的等级考。已知这位同学在物理、化学、政 治科目考试中达A+的概率分别为 2 3 、3 4 、4 5 ,假 定这三门科目考试成绩的结果互不影响,那么 这位同学恰好得2个A+的概率是 。 10.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数 可以表示为两个素数的和”,如8=3+5,在 不超过11的素数中,随机选取两个不同的 数,其和为偶数的概率是 。 11.口袋里装有1红,2白,3黄共6个形 状相同的小球,从中取出2球,事件A=“取 出的2球同色”,B=“取出的2球中至少有 一个黄球”,C=“取出的2球中至少有一个 白球”,D=“取出的2球中不同色”,E=“取 出的2球中至多有一个白球”。下列判断中 正确的序号为 。 ①A 与D 为对立事件;②B 与C 是互斥 事件;③C 与E 是对立事件;④P(C∪E)= 1;⑤P(B)=P(C)。 12.给出下列四个说法:①现有一批产 品,次品率为0.05,则从中选取200件,必有 10件是次品;②做100次抛掷一枚硬币的试 验,结果有51次出现正面向上,因此,出现正 面向上的概率是 51 100 ;③抛掷一枚骰子100 次,有18次出现1点,则出现1点的频率是 9 50 ;④随机事件的概率一定等于这个事件发 生的频率。 其中正确的说法是 。(填序号) 三、解答题 13.掷一个骰子,有下列五个事件:A= {出现奇数点},B={出现偶数点},C={出现 点数小于3},D={出现点数大于2},E={出 现点数是3的倍数}。求: (1)A∩B,B∩C。 (2)A∪B,B∪C。 (3)记 H 是事件 H 的对立事件,求 D, A∩C,B∪C,D∪E。 14.某地区疫情期间,为了有效阻断疫情 的快速传播,提供了生活必需品线上采购服 务。为了更好地做好此项工作,高质量服务 于百姓生活,对爱好线上采购生活必需品的 人员进行了调查,随机调查了100位线上采 购爱好者的年龄,得到的样本数据的频率分 布直方图,如图1所示。 图1 (1)估计该地区爱好线上采购生活必需 品人员的平均年龄(同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表)。 (2)估计该地区一位线上采购爱好者的 年龄位于区间[20,70)的概率。 (3)工作人员为了确定20岁以下和80 岁以上是否具有主动性和代表性,在参与调 查的100位线上采购爱好者中20岁以下和 80岁以上人员中抽取两名进行电话访问,求 被访问者恰有一名是80岁以上的概率。 15.某中学为研究本校高一学生市联考 的语文成绩,随机抽取了100位同学的语文 成绩作为样本,按分组[80,90),[90,100), [100,110),[110,120),[120,130),[130, 140),[140,150]整理后得到的频率分布直方 03 核心考点演练 高一数学 2025年5月 图,如图2所示。 图2 (1)求图中x 的值。 (2)请用样本数据估计本次联考该校语 文的平均成绩(同一组数据用该组区间的中 点值代替)。 (3)用分层随机抽样的方法,从样本中语 文成绩在[130,140),[140,150]的两组学生 中抽取5名学生,再从这5名学生中随机选 出2人,求选出的2名学生中恰有1人语文 成绩在[130,140)的概率。 16.开学初某校进行了一次摸底考试,物 理老师为了解自己所教的班级参加本次考试 的物理成绩情况,从参加的本班学生中随机 抽取n名学生的物理成绩(满分100分)作为 样本,将所得数据进行分析整理后画出频率 分布直方图,如图3所示,已知抽取的学生中 成绩在[50,60)内的有3人。 图3 (1)求n的值。 (2)已知抽取的n名参加学生中,在[90, 100]的人中女生有甲、乙两人,现从[90,100] 的人中随机抽取2人参加物理竞赛,求女学 生甲被抽到的概率。 一、选择题 1.提示:必然事件发生的概率为1,不可 能事件发生的概率为0,A错误。频率是由 试验的次数决定的,B错误。概率是频率的 稳定值,C正确,D错误。应选C。 2.提示:“至少一张是移动卡”和“2张都 是移动卡”可以同时发生,不是互斥事件,A 错误。“至少一张是移动卡”和“至少一张是 联通卡”可以同时发生,不是互斥事件,B错 误。“恰有一张是移动卡”和“2张都是移动 卡”是互斥事件,不是对立事件,C错误。“至 少一张是移动卡”和“2张都是联通卡”是对 立事件,D正确。应选D。 3.提示:对于 A,甲、乙两名运动员各射 击一次,甲的成绩与乙的成绩互不影响,事件 M 与N 为相互独立事件。对于B,从甲、乙 两组中各选1名学生参加演讲比赛,甲的选 择与乙的选择互不影响,事件 M 与N 为相 互独立事件。对于C,依次有放回地摸两球, 则第一次的结果与第二次的结果互不影响, 事件M 与N 为相互独立事件。对于D,依次 不放回地摸两球,则第一次的结果会影响第 二次的结果,事件 M 与N 不为相互独立事 件。应选D。 4.提 示:设 该 校 有 a 名 同 学,则 约 有 0.4a名学生近视,约有0.3a 名学生每天玩 手机超过2h,且每天玩手机超过2h的学生 中近视的学生人数为0.3a×0.5=0.15a,所 以有0.7a 名学生每天玩手机不超过2h,且 其中有0.4a-0.15a=0.25a(名)学生近视, 所以从每天玩手机不超过2h的学生中任意 调查一名学生,则该名学生近视的概率为 P= 0.25a 0.7a= 5 14 。应选B。 5.提示:对于 A,最少需要取3次,最多 需要取7次,那么剩余鸡的只数最多4只,最 少0只,所以剩余动物的脚数可能是8,6,4, 2,0,A正确。对于B,从3双鞋子中任取4 只,至少有2只鞋是一双,所以这个事件是必 然事件,B正确。对于 C,考虑到有先后顺 序,可以用(Z,F)表示第1枚硬币出现正面, 第2枚硬币出现反面,其他样本点用类似的 方法表示,则样本空间为Ω={(Z,Z),(Z, F),(F,Z),(F,F)},C正确。对于D,概率 是客观存在的,是一个确定值,即掷得1点的 概率为 1 6 ,D不正确。应选ABC。 13 核心考点演练 高一数学 2025年5月 6.提示:对于 A,若 A,B 为两个事件, “A 与B 互斥”,则“A 与B 不一定相互对 立”,若“A 与B 相互对立”,则“A 与B 互 斥”,所以“A 与B 互斥”是“A 与B 相互对 立”的必要不充分条件,A正确。对于B,若 A,B 为两个事件,则 P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B),B错误。对于C,若事件 A,B,C 两 两 互 斥,则 P(A)+P(B)+ P(C)=1不一定成立,如掷骰子一次,记事 件A=“向上的点数为1”,B=“向上的点数 为2”,C=“向上的点数为3”,事件 A,B,C 两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)= 1 6+ 1 6+ 1 6= 1 2 ,C错误。对于D,“抛掷一枚均 匀的骰子,所得的点数为偶数”为事件A,则 P(A)= 1 2 ,“掷一枚硬币,正面向上”为事件 B,则P(B)= 1 2 ,满足P(A)+P(B)=1,但 是A 与B 不对立,D错误。应选BCD。 7.提示:连掷一枚均匀的骰子两次,向上 的点数分别为m,n,共有6×6=36(个)样本 点。因为t=m+n,所以事件“t=12”为两次 都掷出6点,则事件“t=12”的概率为 1 36 ,A 错误。事件“t是奇数”即两次向上的点数为 一次奇数、一次偶数,与“m=n”互斥但不对 立,B错误。事件“t=2”与事件“t≠3”可以 同时发生,故二者不是互斥事件,C错误。事 件“t>8 且 mn <32”的 可 能 情 况 为 m=3, n=6, m=4 , n=5, m=4 , n=6, m=5 , n=4, m=5 , n=5, m=5, n=6, m=6 , n=3, m=6 , n=4, m=6 , n=5, 共9 种 可 能 情况,故事件“t>8且 mn<32”的概率为 9 36= 1 4 ,D正确。应选ABC。 二、填空题 8.提示:将一枚质地均匀的骰子抛掷三 次,基本事件总数为n=63=216,三次向上 的点数恰好组成勾股数组包含的基本事件个 数为3×2×1=6,所以三次向上的点数恰好 组成勾股数组的概率为P= 6 216= 1 36 。 9.提示:设这位同学在物理、化学、政治 科目考试中达A+的事件分别为A,B,C。因 为这位同学在物理、化学、政治科目考试中达 A+的概率分别为 2 3 、3 4 、4 5 ,所以 P(A)= 2 3 ,P(B)= 3 4 ,P(C)= 4 5 。因为这三门科目 考试成绩的结果互不影响,所以这位考生至 少得 2 个 A+ 的 概 率 P =P (ABC)+ P(ABC)+P(ABC)= 2 3× 3 4× 1 5+ 2 3× 1 4× 4 5+ 1 3× 3 4× 4 5= 13 30 。 10.提示:因为不超过11的素数有2,3, 5,7,11这五个数,从中选取两个不同的数的 基本事件为(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3, 5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共 10种情况,其中和为偶数的基本事件为(3, 5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共 6种情况,所以和为偶数的概率为 6 10= 3 5 。 11.提示:口袋里装有1红,2白,3黄共6 个形状相同的小球,从中取出2球,事件A= “取出的2球同色”,B=“取出的2球中至少 有一个黄球”,C=“取出的2球中至少有一 个白球”,D=“取出的2球不同色”,E=“取 出的2球中至多有一个白球”。由对立事件 定义得A 与D 为对立事件,①正确。B 与C 有可能同时发生,故B 与C 不是互斥事件,② 错误。C 与E 有可能同时发生,不是对立事 件,③错误。由P(C)=1- 6 15= 3 5 ,P(E)= 14 15 ,P(CE)= 8 15 ,可得P(C∪E)=P(C)+ P(E)-P(CE)=1,④正确。由C≠B,可知 P(B)≠P(C),⑤错误。答案为①④。 12.提示:次品率为0.05,即出现次品的 概率(可能性)是0.05,所以200件产品中可 能有10件是次品,并非“必有”,①错误。在 100次具体的试验中,正面向上的次数与试 验的总次数之比是频率,而不是概率,②错 误。③由频率的定义知出现1点的频率是 23 核心考点演练 高一数学 2025年5月 9 50 ,③正确。由概率的定义知概率是频率的 稳定值,频率在概率附近摆动,故随机事件的 概率不一定等于该事件发生的频率,④错误。 答案为③。 三、解答题 13.提示:(1)因为A={出现奇数点}= {1,3,5},B={出现偶数点}={2,4,6},C= {出现点数小于3}={1,2},所以A∩B=⌀, B∩C={2}。 (2)因为A={出现奇数点}={1,3,5}, B={出现偶数点}={2,4,6},C={出现点数 小于3}={1,2},所以A∪B={1,2,3,4,5, 6},B∪C={1,2,4,6}。 (3)因为A={出现奇数点}={1,3,5}, B={出现偶数点}={2,4,6},C={出现点数 小于3}={1,2},D={出现点数大于2}= {3,4,5,6},E={出现点数是3的倍数}= {3,6},所以A={2,4,6},B={1,3,5},E= {1,2,4,5}。 故D={1,2},A∩C={2},B∪C={1, 2,3,5},D∪E={1,2,4,5}。 14.提示:(1)该地区爱好线上采购生活 必需品人员的平均年龄为5×0.01+15× 0.02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+ 55×0.2+65×0.17+75×0.06+85× 0.02=47.9≈48(岁)。 (2)这100位线上采购爱好者的年龄位 于区间[20,70)的频率为(0.012+0.017+ 0.023+0.02+0.017)×10=0.89,所以估计 该地区一位线上采购爱好者的年龄位于区间 [20,70)的概率为0.89。 (3)参与调查的100位线上采购爱好者 中20岁以下的人数为0.03×100=3,记为 1,2,3。80岁以上的人数为0.02×100=2, 记为a,b。 从这五名中抽取两名进行电话访问,所 有情况如下:{1,2},{1,3},{1,a},{1,b},{2, 3},{2,a},{2,b},{3,a},{3,b},{a,b},共10 种情况。其中被访问者恰有一名是80岁以 上的为{1,a},{1,b},{2,a},{2,b},{3,a}, {3,b},共6种情况。 故被访问者恰有一名是80岁以上的概 率为 6 10=0.6 。 15.提示:(1)由频率分布直方图可知, (0.012+0.022+0.028+0.018+x+0.008+ 0.002)×10=1,解得x=0.01。 (2)由图可知,语文成绩在[80,90),[90, 100),[100,110),[110,120),[120,130),[130, 140),[140,150]的频率分别为0.12,0.22, 0.28,0.18,0.1,0.08,0.02。设样本数据中语 文的平均成绩为x,则x=85×0.12+95× 0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.1+ 135×0.08+145×0.02=107.4,故估计本次联 考该校语文的平均成绩为107.4分。 (3)由 题 意 可 知,样 本 中 语 文 成 绩 在 [130,140),[140,150]的学生分别有8名和2 名,按分层随机抽样抽取的5名学生,分数在 [130,140)的学生有4名,记为 A,B,C,D, 分数在[140,150]的学生有1名,记为e,从这 5名学生中随机选出2人,所有的情况有10 种,即 AB,AC,AD,Ae,BC,BD,Be,CD, Ce,De,其中恰有1人语文成绩在[130,140) 的有4种,即 Ae,Be,Ce,De,所以从这5名 学生中随机选出2人,恰有1人语文成绩在 [130,140)的概率P= 4 10= 2 5 。 16.提示:(1)由频率分布直方图可知,成 绩在[50,60)内的频率为1-(0.04+0.03+ 0.0125+0.01)×10=0.075。 因为成绩在[50,60)内的频数为3,所以 抽取的样本容量n= 3 0.075=40 。 (2)由频率分布直方图可知,抽取的学生 中成绩在[90,100]的人数为0.01×10× 40=4。因为有甲、乙两名女生,所以有两名 男生,用丙,丁表示两名男生。从4人中任取 2人的所有情况为甲乙,甲丙,甲丁,乙丙,乙 丁,丙丁,共6种,其中女生甲被抽到的情况 共3种,所以随机抽取2人参加物理竞赛,其 中女生甲被抽到的概率为 3 6= 1 2 。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) 33 核心考点演练 高一数学 2025年5月