概率常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■邵长军1 张文伟2 概率是研究随机现象的内在规律的数学 学科。本章主要研究随机事件、互斥事件、对 立事件、事件相互独立性的区别与应用及概 率的意义。下面就这部分的知识点与典型考 题进行解读,希望对同学们的学习有所帮助。 题型一:事件与样本空间 求试验的样本空间主要是通过观察、分 析、模拟试验,列举出各个样本点。对于样本 点个数的计算,要保证列举出的试验结果不 重不漏。求样本空间时应注意两点:一是抽 取的方式是否为不放回抽取;二是试验结果 是否与顺序有关。 例1 先后抛掷两枚质地均匀的硬币, 观察它们落地时朝上的面的情况,此试验的 样本空间为( )。 A.正面,反面 B.{正面,反面} C.{(正面,正面),(反面,正面),(反面, 反面)} D.{(正面,正面),(正面,反面),(反面, 正面),(反面,反面)} 解:先后抛掷两枚质地均匀的硬币,观察 它们落地时朝上的面的情况,此试验的样本 空间为{(正面,正面),(正面,反面),(反面, 正面),(反面,反面)}。应选D。 跟踪训练1:在试验“连续射击一个目标 10次,观察命中的次数”中,事件 A=“至少 命中6次”,则下列说法正确的是( )。 A.样本空间中共有10个样本点 B.事件A 中有6个样本点 C.样本点6在事件A 中 D.事件A 中包含样本点11 提示:连续射击一个目标10次,可能全 部脱靶,最好的情况是全部命中,即样本空间 共有11个样本点,A错误。事件A={6,7, 8,9,10},共有5个样本点,B错误,C正确,D 错误。应选C。 题型二:事件的关系及运算 涉及事件之间的关系,结合具体问题,进 行转化求解。进行事件的运算时,一是要紧 扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下 的试验可能出现的全部结果,必要时可列出 全部的试验结果进行分析。也可类比集合之 间的关系和运算,利用Venn图分析事件。 例2 设 M,N 为两个随机事件,如果 M,N 为互斥事件,那么( )。 A.M∪N 是必然事件 B.M∪N 是必然事件 C.M 与N 一定是互斥事件 D.M 与N 一定不是互斥事件 解:因为 M,N 为互斥事件,所以有以下 两种情况,如图1,图2所示。 图1 图2 由图知无论哪种情况,M∪N 均是必然 事件,A正确。如果是第一种情况,M∪N 不 是必然事件,B不正确。如果是第一种情况, M 与N 不一定是互斥事件,C不正确。如果 是第二种情况,M 与 N 一定是互斥事件,D 不正确。应选A。 跟踪训练2:抛掷一枚骰子,“向上的面 的点数是1或2”为事件A,“向上的面的点数 是2或3”为事件B,则( )。 A.A⊆B B.A=B 44 经典题突破方法 高一数学 2025年5月 C.A∪B 表示向上的面的点数是1或2 或3 D.A∩B 表示向上的面的点数是1或2 或3 提示:由题意知 A={1,2},B={2,3}, 所以 A∩B={2},A∪B={1,2,3}。因为 A∪B 表示向上的面的点数是1或2或3,所 以A,B,D错误,C正确。应选C。 题型三:概率的基本性质的应用 涉及概率的基本性质的应用问题,先准 确表示事件,分析事件之间的关系,再结合概 率的基本性质计算概率。 例3 若事件A,B 为两个互斥事件,且 P(A)>0,P(B)>0,有以下四个结论,其中 正确的结论是( )。 ①P(AB)=0,②P(AB)=[1-P(A)]· P(B),③P(A∪B)=1,④P(A∪B)= P(A)+P(B)。 A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③ 解:因为事件A,B 为两个互斥事件,即 A∩B=⌀,所以P(AB)=0,①正确。因为 事件A,B 为两个互斥事件,所以B⊆A,所 以P(AB)=P(B),②错误。P(A∪B)= 1-P(AB)=1-0=1,③正确。P(A∪B) =P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B), ④正确。应选A。 跟踪训练3:若随机事件 A,B 互斥,事 件A,B 发生的概率均不等于0,且P(A)= 2-a,P(B)=4a-5,则实数a 的取值范围 是( )。 A.54 ,2 B.54,32 C.54 ,4 3 D.54,32 提示:因为随机事件 A,B 互斥,所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)=3a-3。依题意 及 概 率 的 性 质 得 0<P(A)<1, 0<P(B)<1, 0<P(A+B)≤1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 0<2-a<1, 0<4a-5<1, 0<3a-3≤1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 5 4<a≤ 4 3 ,所以实数a 的取值范围是 5 4 ,4 3 。应选C。 题型四:事件独立性的判断 事件独立性判断的两种方法:定量法,利 用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以准确 地判断两个事件是否相互独立;定性法,直观 地判断一个事件发生与否对另一个事件的发 生的概率是否有影响,若没有影响就是相互 独立事件。 例4 下列事件中,A,B 是相互独立事 件的是( )。 A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正 面”,B=“第二次为反面” B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地 摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次 摸到白球” C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”, B=“出现点数为偶数” D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活 到50岁” 解:对于A,一枚硬币掷两次,每次而言是 相互独立的,其结果不受先后影响,A正确。 对于B,两个事件是不放回地摸球,显然事件 A 与事件B 不相互独立。对于C,事件A,B 应为互斥事件,不相互独立。对于D,是条件 概率,事件B 受事件A 的影响。应选A。 跟踪训练4:抛掷一红一绿两枚质地均匀的 骰子,记下骰子朝上面的点数。用x 表示红色 骰子的点数,用y表示绿色骰子的点数,用(x, y)表示一次试验的结果。定义:事件A=“x+ y为奇数”,事件B=“x=y”,事件C=“x>4”, 则下列结论不正确的是( )。 A.P(A)=3P(B) B.A 与B 互斥 C.B 与C 独立 D.A 与B 独立 提示:由题意可得,当x,y 一奇一偶时, x+y 为奇数,若x 为奇数,y 为偶数,则有 3×3=9(种)情况;若x 为偶数,y 为奇数,则 有3×3=9(种)情 况。因 此 共 有9+9= 18(种)情 况。所 以 P (A)= 18 6×6= 1 2 , P(B)= 6 6×6= 1 6 ,所以 P(A)=3P(B),A 正确。因为当x,y 一奇一偶时,x+y 为奇 54 经典题突破方法 高一数学 2025年5月 数,所以x≠y。同理,当x=y 时,x+y 一 定是偶数,所以P(A∩B)=0,即A,B 互斥, B正确。“x>4”包含x=5或x=6,而y 可 能取值有6种情况,故共有2×6=12(种)情 况,所以P(C)= 12 6×6= 1 3 。因为事件B∩C 包含2种情况,即(5,5),(6,6),所以P(BC)= 2 6×6= 1 18 。由P(BC)=P(B)·P(C),可得 B 与 C 独立,C正确。因为 P(AB)=0≠ P(A)·P(B),所以A 与B 不独立,D错误。 应选D。 题型五:事件相互独立性的应用 在实际问题中,计算相互独立事件同时 发生的概率,先用字母表示出事件,再分析题 中涉及的事件。对于计算问题,将题中所求 事件转化为若干个独立事件的交事件,利用 独立事件的性质求解。 例5 一个袋子中有4个红球,n 个绿 球,采用不放回的方式从中依次随机地取出 2个球,若取出第二个球是红球的概率为 0.4,则n的值是( )。 A.3 B.4 C.6 D.8 解:若取出的第一个球为红色,则第二个 球也 是 红 色 的 概 率 P1= 4 n+4 · 3 n+3= 12 (n+4)(n+3) ;若取出的第一个球为绿色, 则第二个球为红色的概率P2= n n+4 · 4 n+3 = 4n (n+4)(n+3) 。所以取出第二个球是红 色的概率 P=P1+P2= 12+4n (n+4)(n+3)= 0.4,解得n=6。应选C。 跟踪训练5:高一年级某同学参加了学校 “数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔, 该同学能否成功进入这三个社团是相互独立 的。假设该同学能够进入“数学社”“物理社” “话剧社”三个社团的概率分别为m,n, 1 5 ,该 同学进入两个社团的概率为 3 20 ,且三个社团都 进不了的概率为 2 5 ,则m+n=( )。 A. 7 12 B. 1 12 C. 3 15 D. 9 20 提示:由题意可知,该同学可以进入两个 社 团 的 概 率 为 3 20 ,则 mn · 1- 1 5 + 1 5m (1-n)+ 1 5n (1-m)= 3 20 ,即2mn+ m+n= 3 4 。因为三个社团都进不了的概率 为 2 5 ,所以(1-m)(1-n)1- 1 5 =25,即 2mn-2m-2n=-1。 由上可得,m+n= 7 12 。应选A。 题型六:互斥事件、事件的相互独立性的 应用 解答这类问题,先阅读题目,分析事件之 间的关系,一般将问题划分为若干个彼此互 斥的事件,然后运用互斥事件的概率加法公 式和相互独立事件的概率乘法公式求解。 例6 甲、乙两名运动员进行乒乓球比 赛,采用七局四胜制。在一局比赛中,先得 11分的运动员为胜方,但打到10∶10平后, 先多得2分者为胜方。在10∶10平后,双方 实行轮换发球法,每人每次只发1个球。若 在某局比赛中,甲发球时甲得分的概率为3 5 , 乙发球时甲得分的概率为 1 3 ,各球的结果相 互独立,在双方10∶10平后,甲先发球,则甲 以13∶11赢下此局的概率为( )。 A. 4 25 B. 2 25 C. 8 75 D. 2 75 解:由题意知此局分两种情况:后四球胜 方依次为甲、乙、甲、甲,概率为3 5× 2 3× 3 5× 1 3= 2 25 ;后四球胜方依次为乙、甲、甲、甲,概 率为 2 5× 1 3× 3 5× 1 3= 2 75 。所以所求事件的 概率为 2 25+ 2 75= 8 75 。应选C。 跟踪训练6:甲、乙两人比赛,每局甲获 胜的概率为 1 3 ,各局的胜负之间是独立的,某 天两人要进行一场三局两胜的比赛,先赢得 64 经典题突破方法 高一数学 2025年5月 2局者为胜,无平局。若第一局比赛甲获胜, 则甲获得最终胜利的概率为( )。 A. 1 3 B. 5 9 C. 2 3 D. 1 9 提示:根据题意知,只需考虑剩下两局的 情况:①甲要获胜,则甲第二局获胜,此时甲 获得最终胜利的概率为 1 3 。②甲要获胜,则 甲第二局负,第三局获胜,这时甲获得最终胜 利的概率为 2 3× 1 3= 2 9 。故甲获得最终胜利 的概率为 1 3+ 2 9= 5 9 。应选B。 题型七:游戏公平性的判断 无论是怎样的游戏,游戏公平与否就是 看参与游戏的每个个体获胜的概率是否相 同,相同则公平,不相同则不公平。 例7 甲、乙两人做游戏,下列游戏中不 公平的是( )。 A.抛一枚骰子,向上的点数为奇数则甲 胜,向上的点数为偶数则乙胜 B.同时抛两枚相同的骰子,向上的点数 之和大于7则甲胜,否则乙胜 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一 张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜 D.甲、乙两人各写一个数字,若是同奇 或同偶则甲胜,否则乙胜 解:对于A,P(点数为奇数)=P(点数为 偶数)= 1 2 。对于B,P(点数之和大于7)= 15 36= 5 12 ,P(点数之和小于或等于7)= 21 36= 7 12 。 对于C,P(牌色为红)=P(牌色为黑)= 1 2 。 对于D,P(同奇或同偶)=P(奇偶不同)= 2 4= 1 2 。应选B。 跟踪训练7:甲、乙两人玩一种游戏,每 次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数 算甲赢,否则算乙赢。 (1)若以 A 表示和为6的事件,写出事 件A 的样本点。 (2)现连玩三次,若以B 表示甲至少赢 一次的事件,C 表示乙至少赢两次的事件,试 问:B 与C 是否为互斥事件? 为什么? (3)这种游戏规则公平吗? 试说明理由。 提示:(1)用x,y 表示甲、乙两人各出的 手指头数,则(x,y)表示这个试验的一个样本 点,所以该试验的样本空间为S={(x,y)|x∈ N*,y∈N*,1≤x≤5,1≤y≤5},共有25个样 本点,其中事件A 包含的样本点共有5个,即 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)。 (2)B 与C不是互斥事件。因为事件B 与 C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件 即符合题意,所以事件B 与C不是互斥事件。 (3)这种游戏规则不公平。由题意可知, 和为偶数的样本点为(1,1),(1,3),(1,5), (2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2), (4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13种。因为 甲赢的概率为 13 25 ,乙赢的概率为12 25 ,所以这种 游戏规则不公平。 题型八:概率与统计的交汇 解决概率与统计的交汇问题的两个关键 点:一是会观图读数据,能从频率分布直方图 中读出频率,进而求出频数;二是会合理转 化,会对开放性问题进行转化求解。 例8 从某高校随机抽样100名学生,获 得了他们一周课外阅读时间(单位:h)的样本 数据,整理得到样本数据的频率分布直方图 (如图3所示),其中样本数据的分组区间为 [0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10, 12],(12,14]。 图3 (1)求这100名学生中该周课外阅读时 间在(8,10]范围内的学生人数。 (2)估计该校学生每周课外阅读时间超 过6h的概率。 解:(1)由图易知该周课外阅读时间在 (8,10]的频率为1-2×(0.025+0.05+ 74 经典题突破方法 高一数学 2025年5月 0.075+0.15+0.075+0.025)=0.2,所以这 100名学生中该周课外阅读时间在(8,10]范 围内的学生人数为100×0.2=20。 (2)每周课外阅读时间超过6h的频率 为2× 0.15+ 0.2 2 +0.075+0.025 =0.7, 所以估计该校学生每周课外阅读时间超过 6h的概率为0.7。 跟踪训练8:某超市从2024年甲、乙两种 酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随 机抽取100个,并按[0,10],(10,20],(20, 30],(30,40],(40,50]分组,得到甲、乙两种 酸奶的日销售量的频率分布直方图,如图4, 图5所示。假设甲、乙两种酸奶的日销售量 相互独立。 图4 图5 (1)写出频率分布直方图4(甲)中a 的 值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位: 箱)的方差分别为s21,s22,试比较s21 与s22 的大 小。(只需写出结论) (2)用频率估计概率,求在未来的某一天 里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20箱的概率。 提示:(1)根据频率分布直方图4(甲)可 得,(0.02+0.01+0.03+a+0.025)×10= 1,解得a=0.015。 由两个频率分布直方图可知,乙种酸奶 日销售量数据更集中,所以s21>s22。 (2)设事件A 为“在未来的某一天里,甲 种酸奶的销售量不高于20箱”,事件 B 为 “在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高 于20箱”,事件C 为“在未来的某一天里,甲、 乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱”, 则P(A)=0.2+0.1=0.3,P(B)=0.1+ 0.2=0.3,所 以 P(C)=P(A)P(B)+ P(A)P(B)=0.42。 1.在掷硬币试验中,设事件A=“正面朝 上”,则下列论述正确的是( )。 A.掷2次硬币,事件“一个正面,一个反 面”发生的概率为1 3 B.掷8次硬币,事件A 发生的次数一定 是4 C.重复掷硬币,事件A 发生的频率等于 事件A 发生的概率 D.当投掷次数足够多时,事件A 发生的 频率接近0.5 提示:掷2次硬币,事件“一个正面,一个 反面”发生的概率P= 1 2× 1 2×2= 1 2 ,A错 误。掷8次硬币,事件A 发生的次数是随机 的,B错误。重复掷硬币,事件A 发生的频率 无限接近于事件A 发生的概率,C错误。当 投掷次数足够多时,事件A 发生的频率接近 0.5,D正确。应选D。 2.抛掷一枚硬币100次,正面向上的次 数为48次,则下列说法正确的是( )。 A.正面向上的概率为0.48 B.反面向上的概率是0.48 C.正面向上的频率为0.48 D.反面向上的频率是0.48 提示:对于 A,正面向上的概率为0.5, 是固定不变的,A错误。对于B,反面向上的 概率也是0.5,是固定不变的,B错误。对于 C,抛掷一枚硬币100次,正面向上的次数为 48次,根据频率的定义可知,正面向上的频 率为0.48,C正确。对于 D,抛掷一枚硬币 100次,正面向上的次数为48,反面向上的次 数为52,根据频率的定义可知,反面向上的 频率是0.52,D错误。应选C。 作者单位:1.深圳市富源学校 2.河南省开封高级中学 (责任编辑 郭正华) 84 经典题突破方法 高一数学 2025年5月