导数应用中的易错点归类剖析-《中学生数理化》高考数学2025年5月

■湖北省襄阳市第三中学 宋勇林 导数是高中数学的重要内容之一,也是 每年高考的重点考查对象。通过对高考卷中 导数试题的研究,不难发现,这部分内容不仅 常出现在小题压轴题的位置,比如存在单调 区间或者极值,由最值、极值、单调区间求参 数范围等,而且还会出现在计算量和思维量 较大的大题中,比如含参数函数单调区间的 讨论问题,零点问题,不等式的证明问题等。 由于同学们对概念与概念之间的关系理解不 清楚,审题不严谨,导致解题错误。本文对导 数应用中的常见易错点进行归类剖析,供同 学们学习时参考。 易错点一、混淆原函数与导函数的对称 关系致错 例 1 若偶函数 f(x)在(-∞,+∞) 内可导,且lim x→0 f(1)-f(1-x) 2x =-1 ,f(x+ 2)=f(x-2),则曲线y=f(x)在点(-5, f(-5))处的切线的斜率为( )。 A.2 B. 1 2 C.-2 D.- 1 2 易错点提示:本题由原函数是偶函数可 知导函数是奇函数,由原函数的周期是4易 知导函数的周期也是4,从而将问题简化。 本题的易错点在于对原函数和导函数之间的 转化掌握不透。 解:因为lim x→0 f(1)-f(1-x) 2x =-1 ,所 以 1 2limx→0 f(1)-f(1-x) x =-1 。 所以lim x→0 f(1)-f(1-x) x =-2 。 所以f'(1)=-2。 由f(x+2)=f(x-2)可得f(x+4)= f(x),对f(x+4)=f(x)两边求导可得 f'(x+4)=f'(x)。 因为f(x)为偶函数,所以f(-x)= f(x),故 f'(-x)(-x)'=f'(x),即 f'(-x)= -f'(x),即 f'(x +4)= -f'(-x),所 以 f'(-5)=f'(-1)= -f'(1)=2,即所求切线的斜率为2。 故选A。 易错点二、忽略倾斜角的取值范围致错 例 2 已知点P 在曲线y= 4ex+1 上,α 为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取 值范围是( )。 A.3π4 ,π B.0,π4 C.- 3π 4 ,0 D.π4,3π4 易错点提示:求出函数的导函数,利用基 本不等式及不等式的性质求出导函数的值 域,即tan α∈[-1,0),在由斜率的范围求倾 斜角α的取值范围时应注意α∈[0,π),这是 一个高频易错点! 解:因为y= 4 ex+1 ,所以y'= -4ex (ex+1)2 = -4ex e2x+2ex+1 = -4 ex+2+ 1 ex 。 因为ex+2+ 1 ex ≥2 ex· 1 ex +2=4,当 且仅当ex= 1 ex ,即x=0时取等号,所以0< 1 ex+2+ 1 ex ≤ 1 4 ,所以-1≤ -4 ex+2+ 1 ex <0,即 y'= -4 ex+2+ 1 ex ∈[-1,0),即tan α∈[-1,0)。 又因为α∈[0,π),所以α∈ 3π4 ,π 。 故选A。 13 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年5月 易错点三、运用导函数解决原函数极值 点问题时忽略原函数的定义域致错 例 3 (2024年广东佛山二模)若函数 f(x)=aln x+ 4 x+ b x2 (a≠0)既有极大值也 有极小值,则下列结论正确的是( )。 A.a<0 B.b<0 C.ab<-2 D.a+b>0 易错点提示:由于f(x)既有极大值也有 极小值,因此函数f'(x)在(0,+∞)上有两 个零点,此处要注意考虑函数f(x)的定义 域。 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)= a x- 4 x2 - 2b x3 = ax2-4x-2b x3 。 又函数f(x)既有极大值也有极小值,所 以函数f'(x)在(0,+∞)上有两个零点。 因为a≠0,所以方程ax2-4x-2b=0 有两个不同的正实数x1,x2。 所 以 Δ=(-4)2-4a(-2b)>0, x1+x2= 4 a>0 , x1x2= -2b a >0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 ab >-2,a>0,b<0。 故选B。 易错点四、混淆“函数极值点”和“导函数 零点”关系致错 例 4 若函数f(x)=x3+ax2+bx- a2-7a在x=1处取得极大值10,则 b a 的值 为( )。 A.- 3 2 或- 1 2 B.- 3 2 或 1 2 C.- 3 2 D.- 1 2 易错点提示:在原函数可导的前提下,原 函数的极值点是导函数的零点,但反过来不 一定成立,极值点应满足两个条件:一是导数 等于零;二是在极值点两边导函数的符号相 反。如y=x3 的导函数零点为x=0,但0并 不是y=x3 的极值点。导函数的零点与原函 数的极值点有关系但并不是等价的,前者是 后者的必要不充分条件,在解题时并没有进 行等价转换,而是将范围变大,所以求出参数 后要检验是否符合题意。 解:因为f(x)=x3+ax2+bx-a2- 7a,所以f'(x)=3x2+2ax+b。 又因为函数f(x)在x=1处取得极大值 10,所 以 f'(1)=3+2a+b=0, f(1)=1+a+b-a2-7a=10, Δ=4a2-12b>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 a=-2, b=1, 或 a=-6 , b=9。 若a=-2,b=1,则f'(x)=3x3-4x+ 1=(3x-1)(x-1)。当 1 3<x<1 时,f'(x) <0,f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0, f(x)单调递增。所以f(x)在x=1处取得 极小值,不符合题意。 若a=-6,b=9,则f'(x)=3x2-12x +9=3(x-1)(x-3)。当x<1时,f'(x)> 0,f(x)单调递增;当1<x<3时,f'(x)<0, f(x)单调递减。所以f(x)在x=1处取得 极大值,符合题意,此时b a= 9 -6=- 3 2 。 故选C。 易错点五、混淆“在某点”和“过某点”切 线的区别致错 例 5 (2024年上海高三(上)开学考 试)经过点P(1,-2)可以作与曲线2x3-3x -y=0相切的不同直线共有( )。 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 易错点提示:本题容易误将P(1,-2)当 作函数的切点而出错,要注意P 不一定是切 点。利用导数研究曲线的切线问题,一定要 熟练掌握以下三点:(1)曲线y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指P 为切点,若切线的 斜率存在,则切线的斜率k=f'(x0),这是点 P 处曲线y=f(x)唯一的一条切线。(2)曲 线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切 线经过点P,点P 可以是切点,也可以不是 切点,而且这样的直线可能有多条。切线还 有可能与曲线有其他的公共点。(3)求过一 点的切线时,要设切点为(x0,y0),切线方程 23 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年5月 为y-y0=f'(x0)(x-x0),又因为切线方程 过点 P(m,n),所以n-y0=f'(x0)(m- x0),然后解出x0 的值。(x0 有几个值,就有 几条切线) 解:设切点为(x0,2x30-3x0),y'=6x2- 3,则切线的斜率为6x20-3。 因为切线过点P(1,-2),所以2x30-3x0 +2=(6x20-3)(x0-1),则4x30-6x20+1=0。 设g(x0)=4x30-6x20+1,则g'(x0)= 12x20-12x0。 令g'(x0)=0,解得x0=0或x0=1。 所以当x0∈(-∞,0)和(1,+∞)时, g'(x0)>0,函数g(x0)单调递增; 当x0∈ (0,1)时,g'(x0)<0,函 数 g(x0)单调递减。 又因为g(-1)=-4-6+1=-9<0, g(0)=1>0,g(1)=4-6+1=-1<0,g(2) =4×8-6×4+1=9>0,所以存在x1∈ (-∞,0),g(x1)=0;x2∈(0,1),g(x2)=0; x3∈(1,+∞),g(x3)=0。 所以g(x0)=4x30-6x20+1与x 轴有3 个交点,则经过点P(1,-2)有3条切线。 故选D。 易错点六、混淆原函数的单调性与导函 数正负致错 例 6 (2025年全国高三专题练习)已 知函数f(x)=(2x2+ax+1)eax-1(a>0)在 区间 D= - 1 2 ,- 1 4 上存在单调递减区 间,则a的取值范围为( )。 A.(0,1)∪(4,+∞) B.(1,4) C.0, 1 8 ∪(8,+∞) D.18,8 易错点提示:本题易混淆f(x)在区间D 上单调递减,f(x)的单调递减区间是 D, f(x)在区间D 上存在单调递减区间三个概 念而出错。利用导数研究单调性要注意以下 三点:(1)可导函数f(x)在某区间上单调,则 可以转化为f'(x)≥0(f'(x)≤0)在给定区 间上恒成立;(2)可导函数f(x)在某区间上 不单调,可转化为f'(x)在给定区间上有变 号零点或者运用正难则反来解答;(3)可导函 数f(x)在某区间上存在单调区间,可转化为 f'(x)>0(f'(x)<0)在区间上有解。 解:由题意得f'(x)=(4x+a)eax-1+ (2x2+ax+1)aeax-1=(2x+a)(ax+2)· eax-1。 要使f(x)在区间 - 1 2 ,- 1 4 上存在单 调 递 减 区 间,只 需 存 在 区 间 c,d ⊆ - 1 2 ,- 1 4 ,使得当x∈[c,d]时,f'(x)≤0。 当a=2时,f'(x)=4(x+1)2e2x-1≥0, 显然不存在满足条件的区间[c,d]; 当 a>2 时,f'(x)≤0 的 解 集 为 - a 2 ,- 2 a ,因为-a2<-1<-12,所以要 使f(x)在区间 - 1 2 ,- 1 4 上存在单调递 减区间,则- 2 a>- 1 2 ,解得a>4; 当0<a<2时,f'(x)≤0的解集为 - 2 a ,-a2 ,因为-2a<-1<-12,所以要 使f(x)在区间 - 1 2 ,-14 上存在单调递 减区间,则- a 2>- 1 2 ,解得0<a<1。 综上可得,a 的取值范围为(0,1)∪(4, +∞)。 故选A。 易错点七、判断函数零点或者方程根的 个数时忽略渐近线致错 例 7 (2025年内蒙古赤峰高三阶段 练习)已知函数f(x)= -x3+x2,x≤0, ln x x ,x>0, 若 函数g(x)=f(x)-m 有三个零点,则实数 m 的取值范围是( )。 A.1e ,+∞ B.(e,+∞) C.0, 1 e D.(-∞,0)∪ 1e,+∞ 易错点提示:在通过图像判断函数零点 个数时,容易由于图像的不准确或导数符号 变化的错误判断,导致零点个数错误。在分析 33 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年5月