内容正文:
4t4+(4-3e)t2+1
t(2t2+1)2
。
由于t>1,令m=t2>1,则有4t4+(4-
3e)t2+1=4m2+(4-3e)m+1。
因为y=4m2+(4-3e)m+1的对称轴
为m=
3e-4
8 <1
,所以y=4m2+(4-3e)m
+1在(1,+∞)上单调递增,所以4t4+(4-
3e)t2+1>4+(4-3e)+1>0,于是F'(t)>
0在(1,+∞)上恒成立,即F(t)在(1,+∞)
上单调递增。
所 以 F(t)>F(1)=0,
2a
x21
+
a
x22
<
-
e
2
。
点评:该题是基于函数的零点场景,通过
“根商”代换,并利用构造函数来证明不等式。
此类问题的破解步骤是:(1)巧妙消参:基于
函数的零点,利用方程f(x1)=f(x2)=0消
掉解析式中的参数;(2)抓商构元:恒等变换,
整体换元,令t=
x2
x1
,消掉变量x1,x2,构造关
于t的函数F(t);(3)求导应用:利用函数与
导数的应用,合理研究函数F(t)的单调性和
极值(或最值)等,最终实现不等式的证明。
总之,在利用导数法研究函数的零点及
其综合应用问题时,其关键在于深挖题设条
件的内涵与实质,从具体问题场景入手,采取
适当措施,抓住“一个定理(函数零点存在性
定理)”,构造“一类函数(新函数)”,借助“一
种性质(函数的单调性)”,化归与转化,利用
函数与方程、分类讨论、数形结合等思想,综
合逻辑推理与数学运算,探究函数零点的场
景与应用,从而达到巧妙破解问题的目的。
(责任编辑 王福华)
■陕西省靖边中学 段雄伟
导数双变量不等式证明问题对深化函数
与导数知识的理解,提升逻辑推理能力、问题
转化与化归能力等具有重要意义,因此导数双
变量不等式证明问题是高中数学学习的重点
问题,也是高考考查的热点问题。由于该类问
题的综合性较强,难度较大,求解过程中的易
错易漏点较多,故本文结合实例,探秘导数双
变量不等式证明问题中的易错易漏点,剖析错
因,帮助同学们提高导数双变量不等式证明问
题求解的得分率,从而提高高考竞争力。
例 1 已知f(x)=-12e
2x+4ex-ax
-5。
(1)
当a=3时,求f(x)的单调区间;
(2)
若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:
f(x1)+f(x2)+x1+x2<0。
解析:(1)当a=3时,f'(x)=-e2x+
4ex-3=-(ex-1)(ex-3)。
令f'(x)>0,得0<x<ln
3;
令f'(x)<0,得x<0或x>ln
3。
故f(x)的单调递增区间为(0,ln
3),单
调递减区间为(-∞,0)和(ln
3,+∞)。
(2)f'(x)=-e2x+4ex-a。
令t=ex,则-t2+4t-a=0有两个不相
等的正实数解,t1=ex1,t2=ex2。则Δ=16-
4a>0,t1+t2=4,t1t2=a>0,
则0<a<4,
ex1+ex2=4,ex1·ex2=a(或x1+x2=ln
a)。
f(x1)+f(x2)+x1+x2=-
1
2e
2x1 +
4ex1-ax1-5-
1
2e
2x2+4ex2-ax2-5+x1+
x2=-
1
2
(e2x1 +e2x2)+6-aln
a+ln
a=
-
1
2
(16-2a)+6+(1-a)ln
a=(1-a)·
ln
a+a-2。
设g(a)=(1-a)ln
a+a-2(0<a<
4),则g'(a)=
1
a-ln
a。
92
解题篇 易错题归类剖析
高考数学 2025年5月
设h(a)=
1
a-ln
a,则h'(a)=-
1
a2
-
1
a<0
,故h(a)单调递减。
而h(1)=1>0,h(2)=
1
2-ln
2<0,故
存在唯一的实数a0∈(1,2),使得h(a0)=0,
即ln
a0=
1
a0
。
所以当0<a<a0 时,h(a)>0,g(a)单
调递增;当a0<a<4时,h(a)<0,g(a)单调
递减。
所以g(a)max=g(a0)=(1-a0)ln
a0+
a0-2=a0+
1
a0
-3。
由a0∈(1,2)得a0+
1
a0
∈ 2,
5
2 ,故
g(a0)<0,从而g(a)<0,即f(x1)+f(x2)
+x1+x2<0,问题得证。
易错易漏点总结:第(1)问,不会或没有
意识对导函数进行因式分解,主要原因是没
有掌握好十字相乘法,或没有积累好此类问
题的解题经验,从而导致求解受阻;不会解指
数不等式,主要原因是没有掌握好对数的概
念、指数与对数的互化,以及利用指数函数的
单调性解指数不等式等。第(2)问,不会换元
转化,主要是没有这方面的解题经验,需要积
累解题经验;换元后忽略了变量t的取值范
围,以及一元二次方程的两个根是正根,这些
都是思维不够严谨的重要体现;不会将两个
极值点x1,x2 转化为ln
t1,ln
t2;缺乏考虑a0
的范围从而无法完成最后证明,说明数学综
合能力不足。
例 2 已知函数f(x)=(x+k)ex,
k∈R。
(1)当k=-1时,讨论关于x 的方程
f(x)=a(a∈R)的实根个数;
(2)当k>-1时,证明:对于任意的实数
x1,x2 (x1 ≠x2),都 有
f(x1)-f(x2)
ex1-ex2
>
x1+x2
2
。
解析:(1)方程f(x)=a解的个数,转化
为y=a与y=f(x)交点的个数。
y=f(x)=(x-1)ex 的定义域为 R,求
导得f'(x)=xex。
由f'(x)>0得x>0;由f'(x)<0得
x<0。所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,
在(0,+∞)上单调递增。
当x→-∞时,f(x)→0,且当x<0时,
f(x)<0;当x→+∞时,f(x)→+∞,且
f(0)=-1,f(1)=0。
所以当a<-1时,f(x)=a 有0个解;
当a=-1或a≥0时,f(x)=a 有1个解;
当-1<a<0时,f(x)=a有2个解。
(2)要证
f(x1)-f(x2)
ex1-ex2
>
x1+x2
2
,即证
x1ex1-x2ex2
ex1-ex2
+k>
x1+x2
2
。又k>-1,故只
需证
x1ex1-x2ex2
ex1-ex2
-1>
x1+x2
2
。
不妨设 x1>x2,即 证 x1ex1 -x2ex2 >
x1+x2
2 +1 (ex1-ex2),两边同时除以ex2 并
化简得(x1-x2-2)ex1-x2+x1-x2+2>0。
令t=x1-x2,则t>0。
设F(t)=(t-2)et+t+2(t>0),则
F'(t)=(t-1)et+1。
由(1)知F'(t)在(0,+∞)上单调递增,
故F'(t)>F'(0)=0,即F(t)在(0,+∞)上
单调递增,所以F(t)>F(0)=0,命题得证。
易错易漏点总结:第(1)问,不会将方程
f(x)=a 解的个数问题转化为图像交点个
数问题,体现出对函数与方程的联系不清楚;
缺乏分析当x→-∞时,f(x)→0,且当x<0
时,f(x)<0,主要是因为缺乏渐近线意识。
第(2)问,没有分离常数意识,主要是因为解
题经验积累不足;没有设x1>x2,导致去掉
分母时出错,误认为t的范围是一切实数;没
有意识到通过换元将双变量问题转化为单变
量问题。这些都是体现出缺乏严密的思维和
理性精神。
总之,在平时的学习中,同学们不仅需要
做好知识积累,解题经验积累,还需格外留意
上述易错点,准确把握变量范围,合理构造函
数,正确运用导数知识与逻辑推理,才能顺利
完成证明。 (责任编辑 王福华)
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解题篇 易错题归类剖析
高考数学 2025年5月