抽象函数不“抽象”-《中学生数理化》高考数学2025年5月

■重庆市合川中学 王安国 柳家斌 李 娟 抽象函数是指不给出具体解析式,只给 出函数的特殊条件或特征。这类函数具有抽 象性、不确定性,常常作为考查数学抽象能力 的重要载体,受到命题者的青睐,频繁出现在 高考和各地模拟试题中。赋值法是处理这类 函数的常用方法,但在求解的过程中,同学们 对如何赋值、赋哪些特殊值,难以掌握。如果 能根据抽象函数具有的性质或结构式,寻找 到满足条件的函数模型,再利用得到的函数 探究其相关性质,使得抽象函数不再“抽象”, 问题便迎刃而解。下面以近年来各地模拟试 题出现的抽象函数为例,从函数性质、函数结 构关系式、变化函数结构式的角度,利用特殊 到一般的思维探究这类试题的解法———函数 模型法,供同学们复习时参考。 类型一、根据函数性质,选择函数模型 例 1 (2024年广东省实验中学高考 数学模拟试题)已知函数f(x)及其导函数 f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x),若 f(1-x),g(x+2)均为偶函数,则( )。 A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.g(x)是奇函数 D.g(x)是偶函数 分析:根据题中信息,函数f(x)具有以 下三个性质:(1)定义域为 R;(2)函数f(x) 经过对称和平移变换后得到函数f(1-x)为 偶函数;(3)函数f(x)的导函数g(x)经过平 移变换后得到的函数g(x+2)也为偶函数。 在学习过的基本初等函数中,能同时满足以 上三个条件的函数并不多,根据这些性质容 易联想到三角函数模型。 解:不妨令f(1-x)=Acos(ωx)+c,则 f(x)=Acos[ω(1-x)]+c,g(x)=f'(x) =ωAsin[ω(1-x)]。因 为 g(x+2)= -ωAsin[ω(x+1)]为偶函数,所以ω= π 2+ kπ(k∈Z),取k=0,则ω= π 2 ,从而f(x)= Asin π2x +c,g(x)=π2Acosπ2x 。故选D。 点评:根 据 函 数 的 对 称 性、周 期 性 等 性 质,探求函数某点的函数值或其他性质。这 类试题在近几年的高考试题中多次出现,如 2021年全国甲卷文科第12题、2021年新高 考Ⅱ卷第8题、2022年全国乙卷理科第12 题。解答这类试题的关键在于筛选题中信 息,明确函数性质,选择符合条件的函数模 型,然后利用待定系数法确定参数值,从而降 低思维的难度。 类型二、巧借函数结构,妙构函数模型 例 2 (2024年辽宁省辽阳市高考数 学一模试题)已知函数f(x)满足f(x+y) =f(x)+f(y)+2xy,f 1 2 = 34,则 f(100)=( )。 A.10 000 B.10 082 C.10 100 D.10 302 分析:观察函数关系式的结构特点,不难 发现,式子f(x)+f(y)与f(x+y)的次数 相同,而2xy 的次数为二次,可知二次函数 模型满足该条件。 解:令函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(x+y)=a(x+y)2+b(x+y)+c= ax2+ay2+2axy+bx+by+c,f(x)+f(y) +2xy=ax2+ay2+2xy+bx+by+2c,比 较系数得 a=1, c=0。 又f 12 =34,则b=1,故 f(x)=x2+x,则f(100)=10 100。故选C。 点评:通过分析函数等式结构,妙构函数模 型,这类题型经常出现在各地高考模拟试题中。 例 3 (江淮十校2025届高三第二次 联考试题)(多选题)已知定义在 R上的函数 f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+ y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)成立,且f(1) 51 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年5月 =2,若函数f(3x+1)为偶函数,则( )。 A.f(0)=0 B.f(4-x)+f(x)=0 C.f(x)为偶函数 D.∑ 2 025 k=1 f(k)=2 解:由 于 sin(x+y)sin(x-y)= sin2xcos2y-cos2xsin2y=sin2x(1-sin2y) -(1-sin2x)sin2y=sin2x-sin2y,结合函数 关系式f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y), 可知函数f(x)符合正弦函数模型。不妨令 函数 f(x)=Asin(ωx),则 f(3x+1)= Asin[ω(3x+1)]。因为函数f(3x+1)为偶 函数,所以ω= π 2+kπ ,k∈Z,取k=0,则 ω= π 2 。又 因 为 f(1)=2,所 以 A=2,故 f(x)=2sin π 2x ,逐项验证,可知选项ABD 正确。故选ABD。 点评:利用熟悉的函数使抽象问题具体 化,简化推理过程,直接使用具体函数的性质 解题,简单明了。根据三角函数两角和与差 的运算法则,我们还可以得到其他关系式: ①cos(x+y)cos(x-y)=cos2xcos2y- sin2xsin2y=cos2x+cos2y-1,可 表 示 为 f(x+y)f(x-y)=f2(x)+f2(y)-1,其 中f(x)=cos x,还可以是f(x)=cos(ωx)。 ②sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y= sin xsin π2-y +sin π2-x sin y,可表示 为f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)或 f(x+y)=f(x)f π 2-y +f π2-x f(y), 其中 f(x)=sin x。特 别 地,当 f(x)= sin π2x 时,对应的函数关系式为f(x+y) =f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)。 类型三、变化函数等式,同构函数模型 例 4 (2024年江西省抚州市高考数 学模拟试题)(多选题)已知定义域为 R的连 续函 数 f(x)不 是 常 函 数,且 1 f(x+y) = 1 f(x)f(y) - 1 f(x) - 1 f(y) +2,则( )。 A.f(0)= 1 4 B.对任意x∈R,f(x)≠1 C.f(x)可能是增函数 D.f(x)的图像关于点 0, 1 2 对称 分析:观察函数等式结构特点,对函数等 式进行简单变形,转化为熟悉的函数模型进 行求解。 解:把 原 式 变 形 为 1 f(x+y) -1= 1 f(x)-1 1f(y)-1 。令g(x)= 1f(x)- 1,则g(x+y)=g(x)g(y)。设g(x)=ax (a>0,a≠1),则f(x)= 1 ax+1 ,所以f(0) = 1 2 ,f(x)≠1,f(x)+f(-x)=1。当 0<a<1时,f(x)是增函数。故选BCD。 点评:解决本题的关键是将 1 f(x+y) = 1 f(x)f(y) - 1 f(x) - 1 f(y) +2同构变形为 1 f(x+y) -1= 1 f(x)-1 1f(y)-1 ,再转 化为熟悉的指数函数模型,使得抽象问题具 体化。其实,我们也可做逆向思考,窥探这一 类试题的命制过程:首先,选定一个函数模 型,如对数函数模型g(xy)=g(x)+g(y) (常以三 角 函 数 为 模 型);其 次,令 g(x)= h(f(x)),如 g(x)= f(x) x2 ,得 到 关 系 式 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)(x,y≠0);最后, 增加限制条件确定部分参数的值再设置选项, 便可得到2023年新高考全国Ⅰ卷第11题。 通过以上试题的分析,我们不难发现,借 助特殊函数模型来解决抽象函数问题的一般 思路为:分析抽象函数结构式或性质→选择 函数模型→待定系数法确定参数值→求得函 数解析式→探究函数性质。其中,根据函数 关系式,选择函数模型尤为关键,需要充分利 用题中抽象函数的结构特征以及与之对应的 函数基本性质,合理联想、变形,选择相应的 函数模型,使之符合题设条件,进而利用特殊 到一般思维来分析与解决,优化解题过程,提 升解题效益,实现了抽象函数不“抽象”。 (责任编辑 王福华) 61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年5月