精品解析：北京市房山区2024—2025学年下学期学业水平调研(一) 七年级数学试题

房山区2024－2025学年度第二学期学业水平调研（一） 七年级数学 本试卷共6页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 计算的结果是（ ） A. a B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 7. 已知m，n为有理数，则下列说法中正确的是（ ） A B. C. D. 8. 如图，由四个相同的长为a，宽为b的长方形（）拼成如图所示的图形，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则①；②；③；④中，正确的是（ ） A. ④ B. ②④ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 不等式2x-4＞0的解集是_______ 10. 已知，用含x的代数式表示y为_______． 11. 计算的结果是_______． 12. 已知是二元一次方程，则a的值为_______． 13. 已知，则_______． 14. 学习了二元一次方程组的解法后，小聪同学画出了下图： 请问图中①处应填______． 15. 若关于x的不等式的每一个解都能使成立，则m的取值范围是______． 16 观察下列各等式： ； ； ； ； …… 请你再找出一组满足以上特征的两个不相等的有理数， 并写成等式形式：_________ 三、解答题（本题共68分，第17－22题，第25题，每题5分；第23－24题，第27题，每题6分；第26题，7分，第28题，8分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18 用代入消元法解方程组 19 用加减消元法解方程组 20. 解方程组． 21. ________． 22. 计算：（m-n）（m2+mn+n2）． 23. 先化简，再求值：，其中， 24. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 25. 已知方程组的解x，y满足，且m为非负数，求m的取值范围． 26. 2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系列活动，3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动．为激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入A，B两种规格的书架用于布置数学图书角．经市场调查发现，若购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元． （1）A，B两种规格的书架单价分别是多少元？ （2）若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元，则B种规格的书架最多可以购买多少个？ 27. 在学习乘法公式时，我们经历了运用几何图形验证公式的过程，如在学习完全平方公式时，我们通过如下过程验证了和的完全平方公式，请你类比此过程，运用几何图形验证差的完全平方公式． 和的完全平分公式： 28. 定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： （1）若，则m＝______；若，则n＝______； （2）已知，，，x，y，z为正整数，且，求m值； （3）已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 房山区2024－2025学年度第二学期学业水平调研（一） 七年级数学 本试卷共6页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 计算结果是（ ） A. a B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了同底数幂乘法，根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式．先求出不等式的解集，根据在数轴上表示不等式的解集的方法进行判断即可． 【详解】解：解不等式得， ， 在数轴上表示不等式的解集如下： ； 故选：B． 3. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据加减消元法即可求解． 【详解】解 ②-①得x=2 把x=2代入①得y=3 ∴方程组的解为 故选A． 【点睛】此题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟知加减消元法的运用． 4. 已知，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ，故A不符合题意； B、， ，故B不符合题意； C、， ，故C不符合题意； D、 ∵， ，故D符合题意； 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项，根据同底数幂相乘、合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算正确，符合题意； B．，故原计算错误，不符合题意； C． ，故原计算错误，不符合题意； D． ，故原计算错误，不符合题意； 故选：A． 6. 《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设有x人，y辆车，根据“每三人共乘一车，最终剩余2辆车：每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x，y二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， ∵每三人共乘一车，最终剩余2辆车， ∴3（y−2）＝x； ∵每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， ∴x−9＝2y； ∴可列方程组， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7. 已知m，n为有理数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用举反例可说明A；利用举反例可说明B；利用偶次方的非负性可判断C；利用举反例可判断D． 【详解】解：当时，，故A错误； 当时，，故B错误； ∵， ∴， ∴，故C正确； 当时，，， 此时，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式计算，利用平方差公式计算，举反例说明命题是假命题，解题关键是熟悉完全平方公式． 8. 如图，由四个相同的长为a，宽为b的长方形（）拼成如图所示的图形，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则①；②；③；④中，正确的是（ ） A. ④ B. ②④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式及完全平方公式结合面积的变形运算，①由图即可判断；②由图可知，，即可得到，可判断；③即可进行判断；④，，即可对作出判断． 【详解】解：①由图得 ， 故①正确； ②由图得 ， ， ， ； 故②正确； ③由图得 ， ， ， 故③正确； ④由得， ， ， ， ， ； 故④正确； 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 不等式2x-4＞0的解集是_______ 【答案】x＞2 【解析】 【分析】两边同时加4，再同时除以2，不等号不变． 【详解】解：∵2x-4＞0， ∴2x＞4， ∴x＞2． 故答案为：x＞2. 【点睛】本题考查根据不等式的性质求解不等式，在不等式两边同时加上一个数或除以一个正数，不等式方向不变． 10. 已知，用含x的代数式表示y为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程．将x看作已知数，解关于y的一元一次方程即可． 【详解】解：，解得：． 故答案为：． 11. 计算的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可. 【详解】解：， 故答案为： 12. 已知是二元一次方程，则a的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定的取值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得． 故答案为：2． 13. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘，解题关键是掌握幂的乘方的逆用法则． 先用将待求式子表示出来，再代入求值． 【详解】解：当时， ． 14. 学习了二元一次方程组的解法后，小聪同学画出了下图： 请问图中①处应填______． 【答案】方程两边分别相加 【解析】 【分析】此题考查了加减法解二元一次方程组的步骤，根据加减法的步骤进行解答即可． 【详解】解：根据加减法解二元一次方程组的步骤可知，相同未知数系数的绝对值相同，系数的符号不同，则方程两边分别相加， 故答案为：方程两边分别相加 15. 若关于x不等式的每一个解都能使成立，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集．先求出每一个不等式的解集，再根据两个解集之间的关系，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵不等式的每一个解都能使成立， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 观察下列各等式： ； ； ； ； …… 请你再找出一组满足以上特征的两个不相等的有理数， 并写成等式形式：_________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知满足题意的式子的特点为两个不相等的有理数的和等于这两个有理数的乘积，据此特点求解即可． 【详解】解：， ∴符合题意的式子可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题（本题共68分，第17－22题，第25题，每题5分；第23－24题，第27题，每题6分；第26题，7分，第28题，8分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴表示不等式的解集，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 先去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：． 数轴表示为： 18. 用代入消元法解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由②，得， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， ∴方程组的解为． 19. 用加减消元法解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解题的关键． 利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ∴方程组的解为． 20. 解方程组． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法．根据二元一次方程组的解法直接求解即可得到答案． 【详解】解：， 由得， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组解为． 21. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则． 根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 详解】解： ， 故答案为：． 22. 计算：（m-n）（m2+mn+n2）． 【答案】m3-n3 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则即可求出答案． 【详解】（m-n）（m2+mn+n2） =m3+m2n+ mn2- m2n- mn2-n3 = m3-n3 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题 23. 先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先利用完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 24. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，所有非负整数解是 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴原不等式组的解集为：， ∴非负整数解为：． 25. 已知方程组的解x，y满足，且m为非负数，求m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出的取值范围． 根据消元法，得出的值，再根据，且为非负数，可得答案． 【详解】解：， ，得：， ， ， ∴， 解得，， 又 ∵， ． 26. 2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系列活动，3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动．为激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入A，B两种规格的书架用于布置数学图书角．经市场调查发现，若购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元． （1）A，B两种规格的书架单价分别是多少元？ （2）若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元，则B种规格的书架最多可以购买多少个？ 【答案】（1）A种规格的书架单价是元，B种规格的书架单价是元 （2）B种规格的书架最多可以购买个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种书架的单价是x元，B种书架的单价是y元，根据购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买B种书架m个，则购买A种书架个，根据总费用不能超过10000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求解． 【小问1详解】 解：设A种书架的单价是x元，B种书架的单价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A种规格的书架单价是元，B种规格的书架单价是元； 【小问2详解】 解：设购买B种书架m个，则购买A种书架个，根据题意： ， 解得：， 答：B种规格的书架最多可以购买个． 27. 在学习乘法公式时，我们经历了运用几何图形验证公式的过程，如在学习完全平方公式时，我们通过如下过程验证了和的完全平方公式，请你类比此过程，运用几何图形验证差的完全平方公式． 和的完全平分公式： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了差完全平方公式用几何法的证明，掌握差的完全平方公式的结构特征是作图的关键． 边长为的小正方形面积等于边长为的大正方形面积减去2个长为，宽的长方形面积，再加上1个边长为的正方形面积，即可得到． 【详解】解：如图所示： 边长为的小正方形面积等于边长为的大正方形面积减去2个长为，宽的长方形面积，再加上1个边长为的正方形面积，即可得到． 28. 定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： （1）若，则m＝______；若，则n＝______； （2）已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； （3）已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； 【小问2详解】 由题意可得，， ∵， ∴ ∴ 【小问3详解】 ∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$