2025年数学中考冲刺专题提升导与练一次函数与反比例函数的图象和性质综合

2025年数学中考冲刺专题提升导与练 一次函数与反比例函数的图象和性质综合 1．如图，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移，平移后的直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点C． (1)求m，n的值及反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 2．如图，反比例函数 的图象与一次函数 (k为常数，且)的图象交于，B两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值． 3．如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于点两点，点纵坐标为． (1)求点的坐标与反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出满足不等式 的的取值范围； (3)将直线向上平移个单位，交轴于点，当的面积为时，求直线平移后的函数表达式． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)如图2，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，与双曲线在第一象限内交于点，连接，，若四边形是平行四边形，求的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于两点，其中点A的横坐标为1． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若将一次函数图象向下平移8个单位长度后，与x轴交于点C，连接，求的面积： (3)在（2）的条件下，设平移后的直线为，请结合图象，直接写出不等式的解集． 6．如图，一次函数y=x+4图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于B（－1，m），A（n，1）两点． (1)求A，B两点的坐标和反比例函数的表达式． (2)连接OA，OB，求OAB的面积． 7．如图，直线分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，轴，B为垂足，． (1)求点A、C的坐标； (2)求反比例函数解析式； (3)在第一象限内，直接写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围． 8．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求k的值； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点D．设四边形的面积为S，探究S随x的变化情况． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积； (3)若、是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系． 10．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)点，，都在反比例函数的图象上，若，比较，，的大小（用号连接），其结果是__________； (3)过点作轴于点，求的面积． 11．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将点先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的点恰好落在反比例函数的图象上．    (1)求该反比例函数的表达式； (2)已知点是该反比例函数图象上一点，当时，请根据图象直接写出横坐标的取值范围． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)若点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标； (3)直接写出时，的取值范围． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，B两点．    (1)求b和k的值； (2)在反比例函数的图象上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； (3)请直接写出关于x的不等式组的解集是 ． 15．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．    (1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______． A．      B．  C．  D．   (2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项） A．的图象与x轴没有公共点 B．的图象关于原点对称 C．在每一个象限内，随x的值增大而减小 D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象 ②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年数学中考冲刺专题提升导与练一次函数与反比例函数的图象和性质综合》参考答案 1．(1)，，； (2)12． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据点在直线上，可求出，进而求出反比例函数解析式，最后可求出的值； （2）求出一次函数平移后的解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ， ∴， 反比例函数的图象过， ， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上， ∴ ∴； （2）解：由（1）可得：点， 设直线平移后的解析式为， 把代入，得， ， 故直线的解析式为， 令，得， ， ． 2．(1)； (2)m的值为1或9． 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中求得b的值，从而得点A的坐标，再代入一次函数解析式中，即可求得一次函数解析式； （2）由题意平移后的直线解析式为，与反比例函数解析式联立组成方程组，消去未知数y，得到关于x的一元二次方程，由判别式为0，即可求得m的值． 【详解】（1）解：由题意知，点A在反比例函数的图象上， 则，即； 由题意知，点A在一次函数的图象上， 则， 解得：， 故一次函数的解析式为． （2）解：平移后的直线解析式为， 根据题意，得方程组只有一组解， 即方程有两个相等的实数根， 所以， 整理得：， 解得或， 即m的值为1或9． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根的判别式，一次函数图象的平移，求函数解析式等知识； 3．(1)点的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)或； (3)． 【分析】（）把代入可得点的纵坐标，进而可得点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （）利用对称性求出点的坐标，再根据函数图象即可求解； （）设，则，根据的面积为可得，即得， 得到，由直线向上平移个单位后的函数表达式为，把代入计算即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的平移，求一次函数解析式，掌握一次函数和反比例函数的图象及性质是解题的关键 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点的坐标为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点关于原点对称， ∴， 由图象可得，当或时，； （3）解：设，则， ∵的面积为， ∴， 即， ∴， ∴， 将直线向上平移个单位后的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴直线平移后的函数表达式为． 4．(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为 (2)或． (3) 【分析】（1）将，代入，即可求出m和k的值，得出反比例函数的表达式和A，B两点坐标，再将A点坐标代入，即可求出b的值，即一次函数得出表达式； （2）求出一次函数位于反比例函数下方时x的取值范围即可． （3）根据平移可知平移后直线的表达式为，再结合平行四边形的性质即可将看作是由平移得到，根据A，B两点坐标，得出平移规律向右平移4各单位，向上平移4个单位，则设，则，最后根据函数图象上点的坐标特征求出t的值，和a的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知点，位于双曲线上， ∴， 解得：， ∴双曲线解析式为，，． 将代入，得：， 解得：， ∴一次函数表达式为； （2）解：由图象可知当或时，一次函数位于反比例函数下方， ∴的解集为或； （3）解：根据平移可知平移后直线的表达式为， ∵四边形是平行四边形， ∴可将看作是由平移得到． ∵，， ∴得出平移方式：向右平移4各单位，向上平移4个单位， ∴点D向右平移4各单位，向上平移4个单位，得到点E． 设，则， ∵点D在上，点E在上， ∴，， ∴， ∴，，则， ∴， 解得：． ∵点E在第一象限， ∴， ∴． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，平行四边形的性质，一次函数图象的平移，函数图象上点的坐标特征．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 5．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)16 (3)或 【分析】（1）先把点B的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再根据点A的横坐标为1求出点A的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先求出平移后的直线解析式，进而求出点C的坐标，再求出直线与x轴交点D的坐标，从而得到的长，再根据进行求解即可； （3）先求出平移后的直线与反比例函数交点的横坐标，再根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：将一次函数图象向下平移8个单位长度后得到的解析式为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线与x轴交于点D，则点D的坐标为， ∴， ∴ ； （3）解：联立得：， 解得或， ∴由函数图象可知，当或时，，即． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的平移，图象法求不等式的解集，正确求出一次函数与反比例函数的解析式是解题的关键． 6．(1)B（﹣1，3），A（﹣3，1）， (2)4 【分析】（1）把A（－1，m）、B（n，1）两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值； （2）求得C的坐标，然后根据求得即可． 【详解】（1）解：把B（－1，m）、A（n，1）两点的坐标代入y=x+4， 得m=－1+4=3，n+4=1， 故m=3，n=－3， 则B（－1，3）、A（－3，1）． 把B（－3，1）代入，得k=－3×1=－3， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵一次函数y=x+4的图象与y轴交于点C， ∴C（0，4），OC=4， ∵B（－1，3）、A（－3，1）， ∴=×4×3－×4×1=4． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键（1）是熟练掌握待定系数法，（2）运用割补法求三角形的面积． 7．(1)，； (2)反比例函数的解析式为； (3)． 【分析】（1）在中，令，求得x的值即可求得A的坐标，令，求得y的值，即可求得C的坐标； （2）证明，利用线段比求出，的值从而可求出点P的坐标即可； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解∶在中，令，则 解得， 令，则， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵轴，轴， ∴， ∴， ∴即 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P点坐标为； 设反比例函数的解析式为， 把点的坐标代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：∵， ∴由图像可知在第一象限内，一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是． 【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质，函数与不等式的关系，求得点P的坐标是解题的关键． 8．(1) (2)S随x的增大而增大 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）先求出点A和点B的坐标，进而得出点C的坐标，即可得出k的值； （2）设，则，设，则，结合一次函数和反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵A为线段的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点C， ∴； （2）解：∵点P是反比例函数的图象上一个动点， ∴设， ∴， 设，则， ∴S随a的增大而增大， 在中，， ∴时，a随x的增大而增大， ∴S随x的增大而增大． 9．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)3 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和反比例函数的性质． （1）把B点坐标代入得，则反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定A点坐标；然后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）利用一次函数解析式确定，求出,根据三角形面积公式进行计算即可； （3）根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：把代入得； ∴反比例函数解析式为， 把代入得，解得； ∴， 把，分别代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，，则， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴, ∴； （3）解：根据图象知，当时，． 10．(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握函数图象上点的坐标特征及数形结合思想的灵活运用． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图象与性质即可求解； （3）连接， 的面积可以用为底边，高为点的横坐标减去点的横坐标求出，利用三角形的面积公式即可求出的面积； 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点和， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x的增大而减小， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：连接，设为点的横坐标，为点的横坐标， ∵轴， 由（1）知：和， ∴，， ∴， ∴的面积为． 11．(1) (2)或 【分析】先利用一次函数求出，再将点A代入带反比例函数解析式中，即可得到答案； （2）点是该反比例函数图象上一点，求出当时，对应得x值，再根据图象写出取值范围即可 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 点先向右平移2个单位，再向上平移5个单位 点C的坐标为， 将点C代入反比例函数 求得 该反比例函数的表达式． （2）解：点是该反比例函数图象上一点， 当时，，则 当时，横坐标的取值范围：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，掌握函数平移的规律以及函数解析式的求法是解答此题的关键． 12．(1)反比例函数为，一次函数为 (2)或 【分析】（1）根据点A的坐标，用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，将点代入反比例函数解析式，求出m的值，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）把分别代入反比例函数解析式，求出对应x的值，结合图象，即可进行解答． 【详解】（1）解：点为 ，即反比例函数为 将 代入反比例函数得 点为 将 、代入一次函数得 解得 ， 所以一次函数为． （2）解：把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； ∵点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． 13．(1)； (2)点的坐标为或； (3)或． 【分析】（）先把点坐标代入一次函数解析式中求出点坐标，再把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （）由一次函数的图象得，求出，则，设点的坐标为，则，求出的值即可； （）根据解析式得出点,，结合函数图象即可求解； 本题考查了一次函数与反比例数综合，交点问题，面积问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）将代入，得， ∴，      将代入，得，     ∴反比例函数的解析式为； （2）∵一次函数的图象交轴于点，令，则， ∴， ∴，     ∴， ∵， ∴，    设点的坐标为， 则， ∴或．     ∴点的坐标为或． （3）联立，解得：或， ∴,， 结合图象可知：当时或． 14．(1) (2)当或时，；当时， (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）将点代入反比例函数，求得，将点代入，求得即可； （2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解； （3）根据函数图象即可求解； 【详解】（1）解：将点代入反比例函数和一次函数， ， ； （2）解：∵， ∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴当或时，， 当时，根据图象可得， 综上所述，当或时，；当时，． （3）解：由（1）得反比例函数和一次函数， 联立得， 解得：或， ， 根据图象可知，， 令，则，故，    根据图象可知，当时，． 15．(1)①，或；②C； (2)①BD；②当且且时，公共点的个数为2；当或时，公共点的个数为1；当时，公共点的个数为0 【分析】（1）①直接代入求解即可； ②通过求在一三象限的最值确定函数图象； （2）①根据函数的性质依次判断即可； ②将函数交点问题转化为对一元二次方程根的判别式问题求解． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， 把代入得：， 两边同乘，得：， 解得，， 经检验，，都是方程的解． 所以当或时，的值为； ②由完全平方公式可知：，，，即， 当时，， 当时，，， ∴，， 观察四个函数图象，C选项符合题意， 故选：C； （2）①解：∵，， ∴， A．当时，，所以图象与x轴有公共点，该选项错误； B．任选上的一点，，P关于原点对称点，代入得出 成立，故在上，所以的图像关于原点对称，该选项正确； C．当时，，当时，，此时y随x的增大而增大，该选项错误； D．，随着x的增大，越趋近于0，即和的图象越接近，该选项正确， 故选：BD； ②解：根据题意可得：， 即，该方程， 当且且时，公共点的个数为2； 当或时，公共点的个数为1； 当时，公共点的个数为0． 【点睛】本题考查新定义，函数的性质，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$